Polynôme/Racines d’un polynôme

Déterminer les racines de $P$ revient donc à résoudre l'équation $P(x)=0$ dans le corps $K$. Par exemple, les racines de $X^2+1$ sont $\pm \mathrm{i}$ dans $ℂ$, alors qu’elles n'existent pas dans $ℝ$. Enfin, dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.

Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante : Modèle:Théorème

On en déduit ce corollaire souvent utile :

Nous admettrons le théorème suivant (souvent appelé « théorème fondamental de l'algèbre » mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'analyse). Sa formulation nécessite une définition préalable.

Modèle:Théorème Ce théorème n’est pas vrai si on remplace $ℂ$ par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que $ℂ$ est un corps algébriquement clos.

L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :