Théorie des groupes/Exercices/Groupes commutatifs finis, 1

Problème 1 (facile)

Soient G un groupe commutatif (non forcément fini) et p un nombre premier. Démontrer, sans utiliser la théorie des groupes nilpotents, que les éléments de G dont l’ordre est une puissance de p forment un sous-groupe de G.

Problème 2 (facile)

Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif d'exposant p. Prouver qu'une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si et seulement si c’est une famille linéairement indépendante (autrement dit libre) dans le ${𝔽}_p$-espace vectoriel G.

Problème 3 (facile)

Soit G un groupe commutatif fini d'ordre n, soit a un diviseur naturel de n tel que a et n/a soient premiers entre eux. Prouver que G admet un et un seul sous-groupe d'ordre a et que ce sous-groupe est formé des éléments x de G tels que ax = 0.

Problème 4 (facile)

a) Soient a₁, ... , a_s des nombres naturels, a leur somme et b un nombre naturel ≤ a. Prouver qu’il existe des nombres naturels b₁, ... , b_s tels que b_i ≤ a_i pour tout i et que b₁ + ... + b_s = b. (La démonstration ne fait pas intervenir la théorie des groupes. Le point a) servira à démontrer le point b).)

b) Soient G un groupe commutatif fini d'ordre n et d un diviseur naturel de n. Prouver que G admet au moins un sous-groupe d'ordre d. (Utiliser le point a).)

Problème 5

Soient p un nombre premier et G un p-groupe abélien élémentaire d'ordre pⁿ. Calculer l’ordre de Aut(G). (Indication : d’après le chapitre théorique, G peut être assimilé à un espace vectoriel sur le corps à p éléments.)

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque : cet énoncé sera utilisé pour démontrer une conséquence du [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]].

Problème 6

Soit n un nombre naturel > 1, soit p le plus petit facteur premier de n, soit q un facteur premier de 2ⁿ - 1. Prouver que p < q. (Indication : raisonner sur l'ordre de 2 + qZ dans le groupe multiplicatif (Z/qZ)^* du corps Z/qZ.) Modèle:Clr Modèle:Solution