Relativité générale/Einstein et Newton

Équation d'Einstein radiale

On a obtenu une équation de Laplace en deux dimensions à partir de l'hypothèse d'une courbure de Gauss nulle d'un espace à deux dimensions. Le champ de gravitation étant généralement faible, on peut admettre que l'équation de Laplace reste valable en trois dimensions d'espace plus une de temps. Pour retrouver la loi de la gravitation universelle, on utilisera, pour l'espace physique, le laplacien en coordonnées sphériques de symétrie radiale, c'est-à-dire sans longitude ni colatitude. Dans l'hypothèse statique, les coefficients de la métrique sont indépendants du temps, de sorte que les dérivées par rapport au temps disparaissent des équations d'Einstein qui se réduisent à l'équation de Laplace dans l'espace à trois dimensions. En utilisant le laplacien en coordonnées radiales, on se ramène à deux pseudo-dimensions, r et t ce qui nous évite l’utilisation du tenseur de Ricci. L'équation d'Einstein en r s'écrit alors, pour $g_{rr}$ :

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}{g}_{rr}}{\mathrm{d}r}\right)=0$

et, de même pour l'équation en $g_{tt}$ dont une solution est le potentiel de Coulomb en 1/r avec, en tout quatre constantes d'intégration A, A' , B, B' , à déterminer :

$\mathrm{d}{s}^2=g_{rr}\mathrm{d}{r}^2-g_{tt}{c}^2\mathrm{d}{t}^2=(A+\frac{B}{r})\mathrm{d}{r}^2-c^2(A^{\prime }+\frac{B^{\prime }}{r})\mathrm{d}{t}^2$

Pour obtenir les constantes d'intégration A et A’ on applique le principe de correspondance avec la relativité restreinte pour r = ∞ :

$\mathrm{d}{s}^2=A\mathrm{d}{r}^2-c^2{A}^{\prime }\mathrm{d}{t}^2$

Métrique de Minkowski à l'infini

On doit retrouver la métrique de Minkowski à l'infini :

$\mathrm{d}{s}^2=-c^2\mathrm{d}{\tau }^2=\mathrm{d}{r}^2-c^2\mathrm{d}{t}^2$

En identifiant les deux métriques, on a A = A' = 1. Comme ds est imaginaire, on préfère souvent utiliser l'intervalle de temps propre dτ au lieu de l'intervalle d'espace-temps ds.

Principe de correspondance

Pour obtenir B’, on applique le principe de correspondance entre la relativité générale et la loi de la gravitation universelle de Newton. Pour cela considérons un rayon lumineux en rotation autour d'un astre (par exemple un trou noir) suffisamment attractif pour qu'un photon ait une trajectoire circulaire de rayon r = R. Dans ce cas dr = 0, ce qui simplifie la métrique :

$\mathrm{d}{s}^2=-c^2{g}_{tt}\mathrm{d}{t}^2=-c^2(1+\frac{B^{\prime }}{R})\mathrm{d}{t}^2$

On a ds = 0 lorsque v = dr/dt = c : le chemin utilisé par un photon dans l'espace-temps de Minkowski est nul. On admet que cela reste vrai en relativité générale, ce qui permet d'obtenir la trajectoire du rayon lumineux, qui est courbe et non rectiligne comme en relativité restreinte. On a donc la condition :

$1+\frac{B^{\prime }}{R}=0$

En mécanique newtonienne, l'énergie cinétique est égale à l'énergie potentielle de gravitation. G est la constante de gravitation universelle, M la masse de l'astre attracteur, m la masse de l'astre attiré et c la vitesse de la lumière. On a, dans l'hypothèse newtonienne,

$\frac{1}{2}m{c}^2=\frac{GmM}{R}$

En éliminant R des deux relations précédentes on obtient :

$B^{\prime }=-\frac{2GM}{c^2}$

Transformation de Lorentz

En appliquant cette fois la transformation de Lorentz à la chute d'un corps dans un champ de gravitation, la dilatation du temps s'accompagne d'une contraction des longueurs égale, ce qui conduit à prendre $B=-B^{\prime }$. La métrique devient une approximation de celle de Schwarzschild en champ faible et en coordonnées sphériques radiales :

$\mathrm{d}{s}^2=(1+\frac{2GM}{c^{2}r})\mathrm{d}{r}^2-c^2(1-\frac{2GM}{c^{2}r})\mathrm{d}{t}^2$

Dans cette métrique, à la fois le temps et l'espace physique sont courbes, d'où le coefficient 2 par rapport à la version de 1911 de la relativité générale où seul le temps était courbe.

De même que la transformation de Lorentz, les équations d'Einstein peuvent s'écrire en deux dimensions. Elles expriment la nullité de la courbure de Gauss, c'est-à-dire qu'un espace à deux dimensions, vide de matière, ne peut être courbe, l'espace correspondant est plat comme un plan, un cône, une feuille de papier ou encore comme l'espace-temps à deux dimensions de Minkowski.

Quatre dimensions

En quatre dimensions, il n'en est plus de même, le tenseur de Riemann n'est plus nul, c’est le tenseur de Ricci qui l'est; on dit que l'espace est Ricci-plat. Pour obtenir d'autres solutions des équations d'Einstein, comme la métrique de Schwarzschild ou celle de Friedmann, on ne peut plus se contenter des coordonnées locales de Riemann car la symétrie sphérique est globale. Il est nécessaire d’utiliser les coordonnées de Gauss, en l’occurrence les coordonnées sphériques en quatre dimensions d'espace-temps r, ϑ, φ, t. Les manuels ne donnent généralement du calcul que la marche à suivre.

Dans la matière, comme à l'intérieur de la Terre où s'applique classiquement l'équation de Poisson, les équations d'Einstein ont un second membre. Elles ont pour solution un espace-temps vraîment courbe: le tenseur de Ricci est alors différent de zéro. Les équations d'Einstein avec second membre sont nécessaires en cosmologie, vu que l'Univers n’est pas vide de matière dans son ensemble.

Les calculs présentés ici sont très simplifiés et parfois approximatifs mais ils permettent de comprendre la relativité générale sans avoir à passer par les équations compliquées habituelles.