Relativité générale/Le tenseur de Riemann

Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions.

$R_{xyxy}=-\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^2{g}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{g}_{yy}}{\partial x^2})$

Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss K :

$R_{xyxy}=-\frac{1}{2}(0-2K)=K$

On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :

$\frac{{\partial }^2{g}_{xx}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{g}_{xx}}{\partial y^2}=0$

On a bien zéro puisque g_xx = 0. On dérive de même g_yy :

$\frac{{\partial }^2{g}_{yy}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{g}_{yy}}{\partial y^2}=-4K$

On obtient une équation de Laplace triviale pour g_xx et une équation de Poisson pour g_yy.

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