Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions

Le résultat important de ce chapitre est le suivant :

La démonstration, longue, repose sur l’utilisation des polynômes de Bernstein.

Du point de vue de la topologie de l'espace fonctionnel ${𝒞}^0([a,b])$, ce théorème signifie que :

Démonstration

Polynômes de Bernstein

Comme la formulation des polynômes de Bernstein nous y invite, on fera la démonstration sur [0,1]. Un simple changement de coordonnées peut ramener au cas général de l'intervalle [a, b].

Nous allons, avant de démontrer le théorème en lui-même, voir quelques propriétés utiles de ces polynômes :

Démonstration

Remarquons que cette démonstration offre un intérêt supplémentaire, puisqu'elle fournit un exemple de suite de polynômes convergeant vers la fonction désirée.