Ondes électromagnétiques guidées/Annexe/Fonctions génératrices

Modèle:Annexe

Cette annexe établit l’expression des champs électrique et magnétique transversaux en fonction des champs électrique et magnétique longitudinaux E_z et B_z indépendamment de la base choisie.

L'équation de Maxwell $d i v (\vec{E}) = 0$ permettent également d'exprimer des liens entre $d i v ({\vec{E}}_{t})$ et E_z.

On a

d i v ({\vec{E}}_{t}) = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} (x, y) + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} (x, y)

On exploite l'équation de Maxwell :

$d i v (\vec{E}) = 0 \Leftrightarrow e^{j (k z - ω t)} (\frac{\partial E_{x}}{\partial x} (x, y) + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} (x, y) + j k E_{z} (x, y)) = 0$

Modèle:Encadre

De même, $d i v (\vec{B}) = 0$ implique :

Modèle:Encadre

Exploitons maintenant l'équation $\vec{r o t} (\vec{E}) = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

$\begin{matrix} \vec{\nabla} \land \vec{E} & = \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix} \land \begin{matrix} E_{x} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \\ E_{y} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \\ E_{z} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \end{matrix} & = \begin{matrix} e^{j (k z - ω t)} (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} (x, y) - E_{y} (x, y) j k) \\ e^{j (k z - ω t)} (E_{x} (x, y) j k - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} (x, y)) \\ e^{j (k z - ω t)} (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} (x, y) - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} (x, y)) \end{matrix} \end{matrix}$

Le rotationnel de

{\vec{E}}_{t}

vaut :

$\begin{matrix} \vec{\nabla} \land {\vec{E}}_{t} & = \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix} \land \begin{matrix} E_{x} (x, y) \\ E_{y} (x, y) \\ 0 \end{matrix} \\ = (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} (x, y) - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} (x, y)) {\vec{u}}_{z} \end{matrix}$

et

\vec{r o t} (\vec{E}) = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \begin{matrix} j ω B_{x} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \\ j ω B_{y} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \\ j ω B_{z} (x, y) e^{j (k z - ω t)} \end{matrix}

Modèle:Encadre

Par ailleurs, en remarquant que

$\vec{\nabla} E_{z} \land {\vec{u}}_{z} = \begin{matrix} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} (x, y) \\ \frac{\partial E_{z}}{\partial y} (x, y) \\ 0 \end{matrix} \land \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} = \begin{matrix} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} (x, y) \\ - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} (x, y) \\ 0 \end{matrix}$ et que ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{E}}_{t} = \begin{matrix} - E_{y} (x, y) \\ E_{x} (x, y) \\ 0 \end{matrix}$ , on aboutit au résultat suivant :

Modèle:Encadre

De manière analogue, l'exploitation de l'équation $\vec{r o t} (\vec{B}) = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ donne

Modèle:Encadre

Combinons les équations :

$\begin{matrix} - \frac{j ω}{c^{2}} {\vec{E}}_{t} = {\vec{u}}_{z} \land ({\vec{u}}_{z} \land (j k {\vec{E}}_{t} - \vec{\nabla} E_{z}) \frac{k}{ω} - \vec{\nabla} B_{z}) & \Leftrightarrow - \frac{j ω^{2}}{ω c^{2}} {\vec{E}}_{t} = {\vec{u}}_{z} \land ({\vec{u}}_{z} \land (i \frac{k^{2}}{ω} {\vec{E}}_{t} - \frac{k}{ω} \vec{\nabla} E_{z})) + {\vec{u}}_{z} \land \vec{\nabla} B_{z} \\ \Leftrightarrow - \frac{j ω^{2}}{ω c^{2}} {\vec{E}}_{t} = {\vec{u}}_{z} \land ({\vec{u}}_{z} \land i \frac{k^{2}}{ω} {\vec{E}}_{t}) + \frac{k}{ω} {\vec{u}}_{z} \land ({\vec{u}}_{z} \land \vec{\nabla} E_{z}) + {\vec{u}}_{z} \land \vec{\nabla} B_{z} \\ \Leftrightarrow - \frac{j ω^{2}}{ω c^{2}} {\vec{E}}_{t} = - \frac{i k^{2}}{ω} {\vec{E}}_{t} - \frac{k}{ω} \vec{\nabla} E_{z} + {\vec{u}}_{z} \land \vec{\nabla} B_{z} \\ \Leftrightarrow \frac{j}{ω} (\frac{ω^{2}}{c^{2}} - k^{2}) {\vec{E}}_{t} = \frac{k}{ω} \vec{\nabla} E_{z} - {\vec{u}}_{z} \land \vec{\nabla} B_{z} \end{matrix}$

Modèle:Encadre

Modèle:Propriété

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