Ondes électromagnétiques/Interface entre deux diélectriques

Dans ce chapitre, on suppose vérifiées les hypothèses suivantes sur les milieux considérés :

• diélectriques
• linéaires, homogènes et isotropes (LHI)
• sans charges ni courants
• non absorbants
• non magnétiques

On se placera dans la jauge de Lorenz. L'origine du repère utilisé est un point O situé à la surface de séparation entre les deux milieux considérés. Le point courant est noté M et repéré par le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\overrightarrow{r}$.

Lois de Snell-Descartes

On étudie le comportement d'une onde électromagnétique :

• plane
• progressive, se propageant dans la direction ${\overrightarrow{u}}_i$
• monochromatique, de pulsation ω
• polarisée rectilignement

à l'interface entre deux milieux d'indices optiques respectifs n₁ et n₂.

On note :

• $k_0=\frac{\omega }{c}$ le nombre d'onde dans le vide de cette onde
• $k_1=n_1{k}_0$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 1
• $k_2=n_2{k}_0$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 2
• $\overrightarrow{n}$ la normale au dioptre au lieu d'incidence

L'onde incidente a pour vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_i=k_1{\overrightarrow{u}}_i$. L'angle d'incidence que ${\overrightarrow{k}}_i$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_1$

L'expérience montre qu’il se forme alors deux ondes planes, progressives, monochromatiques de même pulsation ω :

• une onde transmise, de vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_t=k_2{\overrightarrow{u}}_t$. L'angle d'incidence que ${\overrightarrow{k}}_t$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_2$
• une onde réfléchie, de vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_r=k_1{\overrightarrow{u}}_r$. L'angle d'incidence que ${\overrightarrow{k}}_r$ forme avec la normale au dioptre est noté $i{\text{'}}_1$

Au niveau du dioptre, les champs électrique et magnétique, incident, réfléchi et transmis s'écrivent sous la forme générale :

• ${\overrightarrow{s}}_i(\overrightarrow{r},t)={\overrightarrow{s}}_{0i}{e}^{j(\omega t-{\overrightarrow{k}}_i\cdot \overrightarrow{r})}$
• ${\overrightarrow{s}}_r(\overrightarrow{r},t)={\overrightarrow{s}}_{0r}{e}^{j(\omega t-{\overrightarrow{k}}_r\cdot \overrightarrow{r})}{e}^{j{\phi }_r}$
• ${\overrightarrow{s}}_t(\overrightarrow{r},t)={\overrightarrow{s}}_{0t}{e}^{j(\omega t-{\overrightarrow{k}}_t\cdot \overrightarrow{r})}{e}^{j{\phi }_t}$
• ${\phi }_t$ et ${\phi }_r$ ne dépendent pas de $\overrightarrow{r}$

Le déphasage entre l'onde transmise et l'onde incidente vaut $({\overrightarrow{k}}_i-{\overrightarrow{k}}_t)\cdot \overrightarrow{r}+{\phi }_t$. Les milieux étant supposés homogènes, il est alors nécessaire que cette valeur soit indépendante de $\overrightarrow{r}$.

De même, le déphasage entre l'onde réfléchie et l'onde incidente vaut $({\overrightarrow{k}}_i-{\overrightarrow{k}}_r)\cdot \overrightarrow{r}+{\phi }_r$, qui doit être indépendant de $\overrightarrow{r}$.

On aboutit alors au système suivant :

$\begin{array}{cc}\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\overrightarrow{r},({\overrightarrow{k}}_i-{\overrightarrow{k}}_t)\cdot \overrightarrow{r}=0\\ \mathrm{\forall }\overrightarrow{r},({\overrightarrow{k}}_i-{\overrightarrow{k}}_r)\cdot \overrightarrow{r}=0\end{array}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\overrightarrow{r},(n_1{\overrightarrow{u}}_i-n_2{\overrightarrow{u}}_t)\cdot \overrightarrow{r}=0\\ \mathrm{\forall }\overrightarrow{r},({\overrightarrow{u}}_i-{\overrightarrow{u}}_r)\cdot \overrightarrow{r}=0\end{array}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}(n_1{\overrightarrow{u}}_i-n_2{\overrightarrow{u}}_t)//\overrightarrow{n}\\ ({\overrightarrow{u}}_i-{\overrightarrow{u}}_r)//\overrightarrow{n}\end{array}\\ \end{array}$

Réflexion et transmission du champ électrique en incidence normale

Dans cette section, on se place dans le cas simplifié où l'onde incidente est normale au dioptre. On a alors :

$\{\begin{array}{c}{i}_1=0\\ i{\text{'}}_1=0\\ i_2=0\end{array}$

On se place dans la base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ telle que :

• l'onde incidente soit polarisée rectilignement suivant ${\overrightarrow{u}}_x$
• le vecteur d'onde de l'onde incidente ait même sens et ^même direction que ${\overrightarrow{u}}_z$

L'onde incidente a

• pour vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_i=n_1{k}_0{\overrightarrow{u}}_z$
• pour champ électrique ${\overrightarrow{E}}_i=E_{0i}{e}^{j(\omega t-n_1{k}_{0}z)}{\overrightarrow{u}}_x$
• pour champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_i=B_{0i}{e}^{j(\omega t-n_1{k}_{0}z)}{\overrightarrow{u}}_y$, où $B_{0i}=n_1\frac{E_{0i}}{c}$

L'onde réfléchie a

• pour vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_r=-n_1{k}_0{\overrightarrow{u}}_z$
• pour champ électrique ${\overrightarrow{E}}_r={\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j(\omega t+n_1{k}_{0}z)}{e}^{j{\phi }_r}$
• pour champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_r={\overrightarrow{B}}_{0r}{e}^{j(\omega t+n_1{k}_{0}z)}{e}^{j{\phi }_r}$ avec ${\overrightarrow{B}}_{0r}=-\frac{n_1}{c}{\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{E}}_{0r}$

L'onde transmise a

• pour vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_t=n_2{k}_0{\overrightarrow{u}}_z$
• pour champ électrique ${\overrightarrow{E}}_t={\overrightarrow{E}}_{0t}{e}^{j(\omega t-n_2{k}_{0}z)}{e}^{j{\phi }_t}$
• pour champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_t={\overrightarrow{B}}_{0t}{e}^{j(\omega t-n_2{k}_{0}z)}{e}^{j{\phi }_t}$ avec ${\overrightarrow{B}}_{0t}=\frac{n_2}{c}{\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{E}}_{0t}$

Dans l'hypothèse de deux milieux sans charges ni courants, ni volumiques ni surfaciques :

• les équations de passage du champ électrique donnent $E_{0i}{\overrightarrow{u}}_x+{\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j{\phi }_r}={\overrightarrow{E}}_{0t}{e}^{j{\phi }_t}$
• les équations de passage du champ magnétique donnent $n_1{E}_{0i}{\overrightarrow{u}}_y-n_1{\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j{\phi }_r}=n_2{\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{E}}_{0t}{e}^{j{\phi }_t}$

En remplaçant ${\overrightarrow{E}}_t$ par sa valeur dans la deuxième équation, celle-ci devient :

$-(n_2+n_1){\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j{\phi }_r}=(n_2-n_1)E_{0i}{\overrightarrow{u}}_y$

On fait alors le produit vectoriel par ${\overrightarrow{u}}_z$ :

${\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j{\phi }_r}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}{E}_{0i}{\overrightarrow{u}}_x$

L'équation de passage du champ électrique permet alors d'exprimer le champ transmis :

${\overrightarrow{E}}_{0t}{e}^{j{\phi }_t}=\frac{2n_1}{n_1+n_2}{E}_{0i}{\overrightarrow{u}}_x$

Réflexion et transmission de l'énergie en incidence normale

Les vecteurs de Poynting des ondes considérées sont :

• Pour l'onde incidente, ${\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}}_i=\frac{{\overrightarrow{E}}_i\wedge {\overrightarrow{B}}_i}{\mu }=\frac{n_1{E}_{0i}^2}{\mu c}{e}^{2j\omega t}{\overrightarrow{u}}_z$
• Pour l'onde réfléchie, ${\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}}_r=\frac{{\overrightarrow{E}}_r\wedge {\overrightarrow{B}}_r}{\mu }=-\frac{n_1{E}_{0r}^2}{\mu c}{e}^{2j\omega t}{e}^{2j{\phi }_r}{\overrightarrow{u}}_z$
• Pour l'onde transmise, ${\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}}_t=\frac{{\overrightarrow{E}}_t\wedge {\overrightarrow{B}}_t}{\mu }=\frac{n_2{E}_{0t}^2}{\mu c}{e}^{2j\omega t}{e}^{2j{\phi }_t}{\overrightarrow{u}}_z$

La puissance surfacique étant reliée directement à la norme du vecteur de Poynting, on aboutit rapidement aux expressions suivantes.

Dans l'hypothèse faite où il n'y a aucune perte, on retrouve tout à fait logiquement la relation $R+T=1$

Lorsque l'incidence varie, les résultats changent considérablement.

→ Pour plus d'information sur ce sujet, consulter le chapitre sur la polarisation par réflexion dans le cours sur la Polarisation de la lumière.