Fonction dérivée/Fiche/Définitions et opérations

Niveau 12

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $𝒟$ .

Soit $a \in 𝒟$ .

La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ .

Cette limite :

s’appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ ;
est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ;
est notée $f^{'} (a)$ .

Soient $λ \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur un domaine $𝒟$ .

On note :

\begin{matrix} Fonction & Domaine de dérivabilité & Dérivée \\ x \mapsto λ f (x) & 𝒟 & x \mapsto λ f^{'} (x) \\ x \mapsto (f + g) (x) & 𝒟 & x \mapsto f^{'} (x) + g^{'} (x) \\ x \mapsto (f \times g) (x) & 𝒟 & x \mapsto f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) \\ x \mapsto f^{n} (x) & 𝒟 & x \mapsto n \cdot f^{'} (x) f^{n - 1} (x) \\ x \mapsto \frac{1}{f} & 𝒟'_{f} & x \mapsto - \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} \\ x \mapsto \frac{f}{g} & 𝒟'_{g} & x \mapsto \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)} \end{matrix}

Soient $a \in ℝ$ et $b \in ℝ$ .

Soit $f$ une fonction.

Soit $g$ une fonction définie sur un domaine $𝒟_{1}$ par $g : x \mapsto f (a x + b)$ .

Soit $x \in 𝒟_{1}$ . Si $f$ est dérivable au point $a x + b$ , alors $g$ est dérivable au point $x$ et $g^{'} (x) = a \cdot f^{'} (a x + b)$ .

Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ et $g$ est une fonction dérivable sur $f (I)$

alors la composée $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$ :

$\begin{matrix} (g \circ f)^{'} (x) & = [(g^{'} \circ f) \times f^{'}] (x) \\ = g^{'} (f (x)) \times f^{'} (x) . \end{matrix}$

On trouvera les domaines de validité de ces formules grâce au théorème précédent.

\begin{matrix} Fonction & Dérivée \\ \sqrt{u} & \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}} \\ \sin (u) & u^{'} \cdot \cos (u) \\ \cos (u) & - u^{'} \cdot \sin (u) \\ e^{u} & u^{'} \cdot e^{u} \\ \ln (u) & \frac{u^{'}}{u} \end{matrix}