Sommation/Exercices/Sommations de séries entières

Exercice 8-1

Calculer :

$C(x):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!},S(x):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$.

Exercice 8-2

Calculer $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a+\mathrm{i}b{)}^n}{n!}$ (pour $a,b\in ℝ$) et en déduire $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (kx)}{k!}$ et $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (kx)}{k!}$. Modèle:Solution

Exercice 8-3

Pour $|x|<1$, calculer :

$a)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k^2+1)x^{k}b)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^3{x}^k$.

Exercice 8-4

Calculer :

$\sum _{k=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{4k-5}{k^2-k-2}{x}^k$

Modèle:Solution

Exercice 8-5

Calculer :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+2}\frac{x^k}{k!}$.

Exercice 8-6

Pour $x\in ]-1,1[$, montrer que la série $\sum k(k-1)x^{k-2}$ est convergente et calculer sa somme. Modèle:Solution

Exercice 8-7

Calculer $\sum _{n\ge 0}\frac{x^n{n}^3}{n!}$. Modèle:Solution