Théorie des groupes/Exercices/Groupes diédraux

Problème 1

Soit n un entier naturel non nul, soit G un groupe d'ordre 2n. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° G est diédral ;

2° G contient un sous-groupe cyclique C d'ordre n tel que tout élément de G n'appartenant pas à C soit d'ordre 2.

Problème 2

a) Soit p un nombre premier. Prouver que tout groupe d'ordre 2p est cyclique ou diédral. (Indication : utiliser les théorèmes de Sylow et, par exemple, le problème précédent.) Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Prouver que S₃ est isomorphe à D₆. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

a) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de $S_4$ sont isomorphes à $D_8$ (groupe diédral d'ordre 8). Modèle:Clr Modèle:Solution b) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de $S_6$ et ceux de $S_7$ sont isomorphes au produit direct

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times D_8.$

Modèle:Solution Remarque. Dans le chapitre [[../../Produit en couronne/]], nous « expliciterons » la structure de tous les sous-groupes de Sylow de tous les groupes symétriques finis.

Problème 4 (Centre d'un groupe diédral)

Déterminer le centre du groupe D_2n.

Problème 5

Prouver que si n est un nombre naturel impair, D_4n est isomorphe à D_2n × Z/2Z (produit direct) et que c’est faux si n est un nombre naturel pair (> 0).

Problème 6 (Dérivé et suite centrale descendante d'un groupe diédral)

a) Déterminer le dérivé du groupe diédral D_2n. Montrer que ce dérivé est un groupe commutatif. En déduire que D_2n est résoluble. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Déterminer la suite centrale descendante du groupe diédral D_2n. Prouver qu'un groupe diédral est nilpotent si et seulement si son ordre est une puissance de 2. Préciser alors sa classe de nilpotence. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. D'après le point a), la classe de résolubilité de tout groupe diédral est inférieure ou égale à 2. D'autre part, d’après la solution du point b), il y a des groupes diédraux nilpotents dont la classe de nilpotence est aussi grande qu'on veut. Cela montre que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être bornée en fonction de sa classe de résolubilité (alors que sa classe de résolubilité est bornée en fonction de sa classe de nilpotence).

c) On a vu dans le chapitre théorique [[../../Groupes nilpotents|Groupes nilpotents]] que, pour tout groupe G et tous nombres naturels i, j non nuls, [C_i(G), C_j(G)] ≤ C_i+j(G). Prouver qu'on n'a pas forcément l'égalité. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 7

On a vu au chapitre [[../../Groupes nilpotents|Groupes nilpotents]] que si G est un groupe nilpotent et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre, alors H ⋂ Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe nilpotent, H est un sous-groupe de G non réduit à l'élément neutre et H ⋂ Z(G) est réduit à l'élément neutre. (Indication : prendre pour G un groupe diédral convenablement choisi.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)

Modèle:W du Modèle:W du groupe diédral DModèle:Ind.

Le but de cet exercice est de déterminer tous les sous-groupes et tous les sous-groupes normaux du groupe diédral D_2n. Le lecteur appréciera si cette question l'intéresse. (Un des résultats sera utilisé dans la démonstration de l'isomorphie des [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168|groupes simples d'ordre 168]].) Les cas n = 1 et n = 2 étant banals, on supposera n ≥ 3, ce qui permet de parler de l'unique sous-groupe cyclique d'ordre n de D_2n. On désignera ce sous-groupe par C_n. Pour tout diviseur d de n (diviseur signifiant toujours diviseur naturel dans cet exercice), on désignera par C_d l'unique sous-groupe d'ordre d de C_n.

a) Prouver que tout sous-groupe de C_n est normal dans D_2n. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Soient H un sous-groupe de C_n et b un élément de D_2n - C_n (ensemble des éléments de D_2n qui n'appartiennent pas à C_n). Prouver que l’ensemble H ∪ Hb (qui, d’après le point a), peut s'écrire aussi H ∪ bH) est un sous-groupe de D_2n. Modèle:Clr Modèle:Solution

c) Soit H un sous-groupe de C_n. Prouver que les sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, où b parcourt les éléments de D_2n - C_n, sont en quantité n/|H|. Prouver que si $ℰ$ est un ensemble de sous-groupes de C_n, le nombre des sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, où H parcourt $ℰ$ et où b parcourt D_2n - C_n, est

$\sum _{H\in ℰ}n/|H|.$

d) Prouver que les sous-groupes de D_2n sont d’une part les sous-groupes de C_n et d’autre part les ensembles H ∪ Hb, où H parcourt les sous-groupes de C_n et b les éléments de D_2n - C_n. Prouver que le nombre des sous-groupes de D_2n est τ(n) + σ(n), où τ(n) désigne le nombre des diviseurs (naturels) de n et σ(n) la somme de ces diviseurs.

e) Prouver que tout sous-groupe de D_2n est cyclique ou diédral. Modèle:Clr Modèle:Solution

f) Prouver que si n est impair, les sous-groupes normaux de D_2n sont D_2n et les sous-groupes de C_n. Prouver que si n est pair, les sous-groupes normaux de D_2n sont d’une part les sous-groupes de C_n et d’autre part D_2n et les sous-groupes de la forme C_n/2 ∪ (C_n/2b), où b parcourt D_2n - C_n. Quel est le nombre des sous-groupes normaux de D_2n ? Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 9 (Classes de conjugaison d'un groupe diédral)

Soit n un nombre naturel non nul, soit D_2n un groupe diédral d'ordre 2n. Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de D_2n et préciser leur nombre. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Cet exercice nous servira [[../../Caractères irréductibles de quelques groupes#Caractères irréductibles des groupes diédraux|dans un chapitre sur les caractères des groupes finis]].

Problème 10 (Une caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) )

a) On note respectivement $\overline{0}$ et $\overline{1}$ les éléments $0+2\mathbb{Z}$ et $1+2\mathbb{Z}$ du groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (noté additivement). Donc $\overline{1}$ est l'unique élément d'ordre 2 de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre $1=1_A.$ On pose

$A_1=A\times \{\overline{0}\}$ et $b=(1_A,\overline{1})=(1,\overline{1}).$

Vérifier que

1°$A_1$ est un sous-groupe de Dih(A) isomorphe à A;

2°$b$ n'appartient pas à $A_1$;

3°$b$ est un élément d'ordre 2 de Dih(A);

4°$$pour tout élément $x$ de $A_1$, $bx{b}^{-1}=x^{-1}$ (ce qui peut aussi s'écrire $bxb=x^{-1}$);

5°$A_1$ et $b$ engendrent Dih(A).

Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soit A un groupe abélien, soit D un groupe.
Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) D est isomorphe à Dih(A);

(ii) D est engendré par un sous-groupe $A_D$ isomorphe à $A$ et par un élément $b$ d'ordre 2 n'appartenant pas à $A_D$ et tel que, pour tout élément $x$ de $A_D$, on ait $bx{b}^{-1}(=bxb)=x^{-1}.$

Modèle:Solution c) Soient A et B deux groupes abéliens isomorphes l'un à l'autre. Prouver que Dih(A) et Dih(B) sont isomorphes l'un à l'autre. (Indication : on peut utiliser le point b).) Modèle:Solution

Problème 11 (Une autre caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) )

Comme dans le problème précédent, on notera respectivement $\overline{0}$ et $\overline{1}$ les éléments $0+2\mathbb{Z}$ et $1+2\mathbb{Z}$ du groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (noté additivement). Donc $\overline{1}$ est l'unique élément d'ordre 2 de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre 1.
a) Vérifier que

(i) le sous-groupe $A\times \overline{0}$ de Dih(A) est d'indice 2 dans Dih(A);

(ii) tout élément de $Dih(A)\setminus (A\times \overline{0})$ est d'ordre 2;

(iii) pour tout élément $a$ de $A\times \overline{0}$ et tout élément $t$ de $Dih(A)\setminus (A\times \overline{0})$, $ta{t}^{-1}(=tat)=a^{-1}.$

Modèle:Solution b) Soit D un groupe. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) D est isomorphe à Dih(A);

(ii) D contient un sous-groupe $A_1$ d'indice 2 isomorphe à A et tel que tout élément de $D\setminus A_1$ soit d'ordre 2.

Prouver aussi que si $A_1$ est tel qu'en (ii), alors, pour tout élément $a$ de $A_1$ et tout élément $t$ de $D\setminus A_1$, $ta{t}^{-1}=a^{-1}.$
(Indication : pour prouver que (ii) entraîne (i), on peut utiliser le problème 10.) Modèle:Solution

Problème 12 (Classification des groupes d'ordre 18)

Soit $p$ un nombre premier impair (autrement dit un nombre premier distinct de 2). On va classifier les groupes d'ordre $2p^2$ (et donc, en particuler, les groupes d'ordre 18). Dans le chapitre [[../../Groupes commutatifs finis, 1/]], nous avons classifié tous les groupes abéliens d'un ordre fini donné, donc il suffit de classifier les groupes non abéliens d'ordre $2p^2.$ Nous allons prouver que tout groupe non abélien d'ordre $2p^2$ est isomorphe soit à $D_{2p^2}$, soit à $Dih(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, soit à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times D_{2p}$ (où $\times$ désigne le produit direct).
Soit G un groupe non abélien d'ordre $2p^2$. On choisit une fois pour toutes dans G un élément $s$ d'ordre 2 (involution).

a) Prouver que G a un seul p-sous-groupe de Sylow, qui sera noté P, et que P est isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ ou à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. En particulier, P est abélien. Modèle:Solution b) Prouver que G est engendre par P et s et que, plus précisément, $G=P⟨s⟩.$ Modèle:Solution c) On suppose que P est cyclique (et donc isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$). Prouver que G est isomorphe à $D_{2p^2}.$
(Indication : examiner comment $s$ agit par conjugaison sur un générateur de P.) Modèle:Solution d) On suppose maintenant que P est isomorphe au produit direct $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et qu'il y a au moins un sous-groupe d'ordre $p$ de P qui n'est pas normalisé par $s.$ Prouver que G est isomorphe au produit direct $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times D_{2p}.$
Indication : on peut prouver qu'il existe un sous-groupe d'ordre $p$ de P qui est centralisé par $s$ et un autre sous-groupe d'ordre $p$ de P sur lequel la conjugaison par $s$ agit par inversion. Modèle:Solution e) On suppose maintenant que P est isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et que tout sous-groupe d'ordre $p$ de P est normalisé par $s.$ Prouver que G est isomorphe à $Dih(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}).$ Modèle:Solution Puisque les cas c), d) et e) représentent tous les cas possibles, nous avons prouvé l'énoncé général, à savoir que tout groupe non abélien d'ordre $2p^2$ est isomorphe à $D_{2p^2}$, à $Dih(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ ou à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times D_{2p}.$ En faisant $p=3$, nous obtenons une classification des groupes d'ordre 18.