Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale

Exercice 4-1

Déterminer $\inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} (x^{2} - (a + b x))^{2} d x$ . Modèle:Solution

Déterminer $\inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} (e^{x} - a x - b)^{2} d x$ . Modèle:Solution

Déterminer $\inf_{(x, y) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{π} (t - x \sin t - y \cos t)^{2} d t$ . Modèle:Solution

Soit l'espace de Hilbert $H = ℓ^{2} (ℕ, ℝ)$ . On note $C = {(x_{n})_{n} \in H ∣ \forall n x_{n} \geq 0}$ .

Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour $C$ un convexe fermé non vide de $H$ , on note $p_{C}$ la projection sur $C$ .

Soient $A, B$ deux convexes fermés non vides de $H$ , tels que $A \subset B$ . Montrer, en utilisant l'Modèle:W (équivalente à [[../../Produit scalaire#Propriétés|celle du parallélogramme]]), que pour tout $x \in H$ ,

‖ p_{A} (x) - p_{B} (x) ‖^{2} \leq 2 (d (x, A)^{2} - d (x, B)^{2})

.

Soit (Cn)n une suite croissante de convexes fermés non vides de H. On note C l'adhérence de ⋃nCn.
1. Montrer que $C$ est un convexe fermé non vide.
2. Montrer que pour tout $x \in H$ , $\lim_{n \to \infty} d (x, C_{n}) = d (x, C)$ .
3. En déduire que pour tout $x \in H$ , $p_{C_{n}} (x)$ converge vers $p_{C} (x)$ quand $n \to \infty$ .
Soit (Cn)n une suite décroissante de convexes fermés non vides de H. On note H l'intersection des Cn, c'est-à-dire C=⋂nCn.
1. On suppose que $C$ est non vide. Soit $x \in H$ . Montrer que la suite $(d (x, C_{n}))_{n}$ converge vers une certaine limite $ℓ \in ℝ_{+}$ vérifiant $ℓ \leq d (x, C)$ .
2. Pour tout $n$ , on note $y_{n} = p_{C_{n}} (x)$ . Montrer que la suite $(y_{n})_{n}$ est de Cauchy, et en déduire que $p_{C_{n}} (x)$ converge vers $p_{C} (x)$ , quand $n \to \infty$ .
3. Montrer que si $C$ est vide, alors $\lim_{n \to \infty} d (x, C_{n}) = + \infty$ , pour tout $x \in H$ (en particulier si l'un des $C_{n}$ est borné, alors $C$ n'est pas vide).