Théorie des groupes/Exercices/Groupes résolubles

Problème 1

Soit $n$ un nombre naturel $\le 4$. Prouver que $S_n$ et $A_n$ sont résolubles.

Problème 2

Prouver que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
a) Tout groupe fini d'ordre impair est résoluble;
b) Tout groupe fini simple non commutatif est d'ordre pair. (Remarque : ces propositions ont été démontrées par Feit et Thompson, mais la démonstration dépasse la portée du présent cours et même de toute introduction à la théorie des groupes finis.)

Problème 3

a) Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille finie de groupes. Prouver que, pour tout nombre naturel n,

$D^n\left(\prod _{i\in I}{G}_i\right)=\prod _{i\in I}{D}^n(G_i).$

Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille finie de groupes. On suppose que pour tout i, le groupe G_i est résoluble de classe c_i. Prouver que le groupe $\prod _{i\in I}{G}_i$ est résoluble de classe c, où c désigne le plus grand des c_i.

Problème 4

a) Soit G un groupe commutatif. On suppose que G est engendré par une famille finie d'éléments d'ordres finis. Prouver que G est fini. (Cette partie du problème n’est pas une application du chapitre théorique sur les groupes résolubles. Nous l’utiliserons encore dans l'étude des groupes nilpotents.)

b) Soit G un groupe résoluble. On suppose que G est de type fini (c'est-à-dire que G admet une partie génératrice finie) et que tout élément de G est d'ordre fini. Prouver que G est fini. (Indication : raisonner par récurrence sur la classe de résolubilité de G.)

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Si nous remplaçons l'hypothèse « G est résoluble » par l'hypothèse plus forte « G est nilpotent » (les groupes nilpotents seront définis au chapitre suivant), nous pouvons remplacer l'énoncé b) par cet énoncé plus fort : si G admet une partie génératrice finie dont tout élément est d'ordre fini, G est fini

Problème 5

Soit G un groupe fini non commutatif dont tout sous-groupe propre est commutatif. Le but de ce problème est de prouver que G est résoluble de classe 2.

a) Supposons que (par absurde) G soit simple. Prouver que le centre de G est réduit à l'élément neutre. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Toujours dans l'hypothèse (absurde) où G est simple, montrer que deux différents sous-groupes maximaux de G ont toujours une intersection réduite à l'élément neutre. (Indication : si x est un élément appartenant à deux différents sous-groupes maximaux de G, raisonner sur le centralisateur de x dans G et appliquer le point a).)

c) Déduire de b) que l'hypothèse de la simplicité de G est contradictoire. (Indication : à l'aide d'un problème de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], montrer qu'un au moins des sous-groupes maximaux de G est un sous-groupe normal M de G tel que 1 < M < G.)

d) Déduire de c) que G est résoluble de classe 2. (Indication : considérer un sous-groupe propre normal N de G du plus grand ordre possible, noter que G/N est simple et appliquer c) à G/N au lieu de G.)