Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes

Dans tout ce cours, E est un $ℂ$-espace vectoriel.

Espaces des applications

On notera (ponctuellement) dans cette section :

• $\mathscr{H}(E)$ l’ensemble des formes hermitiennes sur E.
• $𝒬\mathscr{H}(E)$ l’ensemble des formes quadratiques associées.

Modèle:Attention

En effet, soient $f$ une forme hermitienne non nulle sur E et $(x,y)\in E^2$ tel que $f(x,y)\ne 0$. On pose $g=\mathrm{i}f$.

Alors, $g(y,x)=\mathrm{i}f(y,x)=\mathrm{i}\overline{f(x,y)}$,

tandis que $\overline{g(x,y)}=\overline{\mathrm{i}f(x,y)}=-\mathrm{i}\overline{f(x,y)}$.

Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.

Cette injectivité justifie l'appellation de forme polaire associée à une forme quadratique hermitienne.