Théorie des groupes/Produit semi-direct

Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes

Sauf indication contraire, on entendra par « opération » d'un groupe une opération à gauche.

Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application $G\times X\to X$ (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme $\phi$ de G dans le groupe symétrique $S_X$. Si l’ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que $\phi$ prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de $S_X$, on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes.

Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération $G\times H\to H:(g,h){\mapsto }^{g}h$ (notation exponentielle gauche) qui, outre les propriétés :

${}^{1}h=h$ et ${}^{(g{g}^{\prime })}h{=}^g{(}^{g^{\prime }}h)$

des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété :

$\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\forall }(h_1,h_2)\in H^2,{}^g(h_1{h}_2)={}^g{h}_1{}^g{h}_2$.

Produit semi-direct

Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (pour déduire $KH=G$ de $HK=G$, passer aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G).

Dans ce cas, tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$ :

• l’existence d'une telle écriture résulte de (2) ;
• pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K ; si $hk=h^{\prime }{k}^{\prime }$, alors $h{\text{'}}^{-1}h=k^{\prime }{k}^{-1}$, de sorte que les deux membres appartiennent à $H\cap K$, qui est égal à 1 d’après (1), d'où $h{\text{'}}^{-1}h=k^{\prime }{k}^{-1}=1,$ d'où $h=h^{\prime }$ et $k=k^{\prime }$.

Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc :

$|G|=|H|\cdot |K|$.

(Cela se déduit aussi de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]].)

Le lecteur vérifiera que, réciproquement, si H et K sont des sous-groupes de G, si tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$, alors H et K sont complémentaires.

Modèle:Définition D'après ce qui précède, tout élément de G s'écrit dans ce cas d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$.

Modèle:Théorème Démonstration très facile, laissée au lecteur.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Remarques.

• Ce théorème revient à dire que tout produit semi-direct d'un groupe H par un groupe K est une extension de H par K.
• La réciproque est fausse, c'est-à-dire que si G est un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G isomorphe à G/H, G n'est pas nécessairement produit semi-direct de H par K (exemple : G = le groupe cyclique d'ordre 4, H = son sous-groupe d'ordre 2).

Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme $\tau :k\mapsto {\tau }_k$ de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (a) s'écrit :

$(hk)(h^{\prime }{k}^{\prime })=h{\tau }_k(h^{\prime })k{k}^{\prime }$.

Cela nous suggère la définition suivante :

Modèle:Remarque

Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Remarques. 1) Soient H et K deux groupes, soit $\tau$ l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle ${}^{k}h=h$ pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de $H{⋊}_{\tau }K$ que $H{⋊}_{\tau }K$ est identique au produit direct $H\times K$.

2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct interne de H par K. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par ${}^{k}h=kh{k}^{-1}$ pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d’après la remarque précédente, le produit semi-direct externe $H{⋊}_{\tau }K$ est identique au produit direct externe $H\times K$. D'après un théorème ci-dessus, l’application $(h,k)\mapsto hk$ définit donc un isomorphisme du produit direct externe $H\times K$ sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.)

3) La seconde projection de $H{⋊}_{\tau }K$ sur K est un homomorphisme de $H{⋊}_{\tau }K$ sur K mais la première projection n'est un homomorphisme de $H{⋊}_{\tau }K$ sur H que si l'opération $\tau$ est triviale (et que le produit semi-direct est donc direct).

Remarque. Dans les expressions « quasi équivalentes comme actions par automorphismes » et « équivalentes comme actions par automorphismes », nous omettrons parfois les mots « comme actions par automorphismes ».

Produit semi-direct et opérations à droite

Soit $\phi$ une opération à droite (par automorphismes) d'un groupe K sur un groupe H. Les auteurs qui préfèrent les opérations à droite aux opérations à gauche définissent le produit semi-direct externe $K{⋉}_{\phi }H$ de H par K (noter la différence entre les symboles $⋉$ et $⋊$) en munissant l’ensemble $K\times H$ de la loi de composition interne

$((k_1,h_1),(k_2,h_2))\mapsto (k_1{k}_2,{\phi }_{k_2}(h_1)h_2)$

ou encore, si on représente $\phi$ par la notation exponentielle droite,

$((k_1,h_1),(k_2,h_2))\mapsto (k_1{k}_2,h_1^{k_2}{h}_2).$

On pourrait prouver, comme on l'a fait pour une opération à gauche, que la loi ainsi définie est bien une loi de groupe, mais on peut faire d'une pierre deux coups en vérifiant (tâche facile laissée au lecteur) que si $\tau$ désigne l'opération à gauche de K sur H définie par

${\tau }_k(h)={\phi }_{k^{-1}}(h),$

alors

$(h,k)\mapsto (k,{\phi }_k(h))$

définit un isomorphisme de magmas de $H{⋊}_{\tau }K$ sur $K{⋉}_{\phi }H.$ Puisqu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que $K{⋉}_{\phi }H$ est un groupe isomorphe à $H{⋊}_{\tau }K$.

Facteur semi-direct normal

La présente section peut être omise en première lecture.

Nous définirons un facteur semi-direct normal d'un groupe G comme un sous-groupe normal de G ayant un complément dans G. Autrement dit, N est un facteur direct normal de G si et seulement s'il existe un sous-groupe Q de G tel que G soit produit semi-direct de N par Q.

On laisse la démonstration au lecteur, car elle est à peu près identique à celle de l'équivalence des conditions (i) à (iv) d'un cas particulier démontré dans le chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]], théorème 23. Noter que la condition (v) du cas particulier doit être omise dans le cas général.

Notes et références

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