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Opérateurs vectoriels

Définitions

Coordonnées cartésiennes

La base est

(\vec{u_{x}}, \vec{u_{y}}, \vec{u_{z}})

.

Opérateur	Expression
Opérateur nabla	$\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \vec{u_{x}} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{u_{y}} + \frac{\partial}{\partial z} \vec{u_{z}} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix})$
Gradient	$\vec{g r a d} M = \vec{\nabla} M = \frac{\partial M}{\partial x} \vec{u_{x}} + \frac{\partial M}{\partial y} \vec{u_{y}} + \frac{\partial M}{\partial z} \vec{u_{z}} = (\begin{matrix} \frac{\partial M}{\partial x} \\ \frac{\partial M}{\partial y} \\ \frac{\partial M}{\partial z} \end{matrix})$
Gradient d'un vecteur^[1]Modèle:,^[2]	$\overline{\overline{𝐠 𝐫 𝐚 𝐝}} \vec{A} = \begin{matrix} ^{t} \end{matrix} (\vec{\nabla} \otimes \vec{A}) = \begin{matrix} ^{t} \end{matrix} ((\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{\partial A_{x}}{\partial x} & \frac{\partial A_{x}}{\partial y} & \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{y}}{\partial x} & \frac{\partial A_{y}}{\partial y} & \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{z}}{\partial x} & \frac{\partial A_{z}}{\partial y} & \frac{\partial A_{z}}{\partial z} \end{matrix})$
Divergence^[3]	$d i v \vec{A} = \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{matrix})$
Divergence d'une matrice	$\begin{matrix} \vec{d i v} \overline{\overline{𝐇}} & = \vec{d i v} (\begin{matrix} H_{1 x} & H_{1 y} & H_{1 z} \\ H_{2 x} & H_{2 y} & H_{2 z} \\ H_{3 x} & H_{3 y} & H_{3 z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d i v {\vec{H}}_{1} \\ d i v {\vec{H}}_{2} \\ d i v {\vec{H}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial H_{1 x}}{\partial x} + \frac{\partial H_{1 y}}{\partial y} + \frac{\partial H_{1 z}}{\partial z} \\ \frac{\partial H_{2 x}}{\partial x} + \frac{\partial H_{2 y}}{\partial y} + \frac{\partial H_{2 z}}{\partial z} \\ \frac{\partial H_{3 x}}{\partial x} + \frac{\partial H_{3 y}}{\partial y} + \frac{\partial H_{3 z}}{\partial z} \end{matrix}) \\ = \begin{matrix} ^{t} \end{matrix} ((\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} H_{1 x} & H_{2 x} & H_{3 x} \\ H_{1 y} & H_{2 y} & H_{3 y} \\ H_{1 z} & H_{2 z} & H_{3 z} \end{matrix})) = \begin{matrix} ^{t} \end{matrix} (\begin{matrix} ^{t} \end{matrix} \vec{\nabla} \times \begin{matrix} ^{t} \end{matrix} \overline{\overline{𝐇}}) \overset{?}{=} \overline{\overline{𝐇}} \times \vec{\nabla} \end{matrix}$
Rotationnel^[4]	$\vec{r o t} \vec{A} = \vec{\nabla} \land \vec{A} = (\frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}) \vec{u_{x}} + (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}) \vec{u_{y}} + (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) \vec{u_{z}} = (\begin{matrix} \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y} \end{matrix})$
Laplacien	$Δ M = \overset{2}{\vec{\nabla}} M = \frac{\partial^{2} M}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} M}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} M}{\partial z^{2}}$
Laplacien d'un vecteur	$Δ \vec{A} = \overset{2}{\vec{\nabla}} \vec{A} = Δ A_{x} \vec{u_{x}} + Δ A_{y} \vec{u_{y}} + Δ A_{z} \vec{u_{z}} = (\begin{matrix} Δ A_{x} \\ Δ A_{y} \\ Δ A_{z} \end{matrix})$
Opérateur advection	$\vec{v} \cdot \vec{\nabla} = v_{x} \frac{\partial}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial}{\partial z}$
Advection d'un scalaire	$(\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) M = v_{x} \frac{\partial M}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial M}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial M}{\partial z}$
Advection d'un vecteur	$(\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{A} = (\begin{matrix} (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) A_{x} \\ (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) A_{y} \\ (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) A_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial A_{x}}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \\ v_{x} \frac{\partial A_{y}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \\ v_{x} \frac{\partial A_{z}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial A_{z}}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial A_{z}}{\partial z} \end{matrix})$

Coordonnées cylindriques

La base est $(\vec{e_{r}}, \vec{e_{θ}}, \vec{e_{z}})$ .

$d \vec{O M} = d r . \vec{e_{r}} + r . d θ . \vec{e_{θ}} + d z . \vec{e_{z}}$

$\vec{d^{2} S} = r . d θ . d z . \vec{e_{r}}$

$d^{3} V = r . d r . d θ . d z$

$\vec{g r a d} M = \frac{\partial M}{\partial r} \vec{e_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial M}{\partial θ} \vec{e_{θ}} + \frac{\partial M}{\partial z} \vec{e_{z}}$

$d i v \vec{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

$\vec{r o t} \vec{A} = (\frac{1}{r} \frac{\partial A_{z}}{\partial θ} - \frac{\partial A_{θ}}{\partial z}) \vec{e_{r}} + (\frac{\partial A_{r}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial r}) \vec{e_{θ}} + \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r A_{θ}) - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) \vec{e_{z}}$

$Δ M = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial M}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} M}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} M}{\partial z^{2}}$

$Δ \vec{A} = [Δ A_{r} - \frac{1}{r^{2}} (A_{r} + 2 \frac{\partial A_{θ}}{\partial θ})] \vec{e_{r}} + [Δ A_{θ} - \frac{1}{r^{2}} (A_{θ} - 2 \frac{\partial A_{r}}{\partial θ})] \vec{e_{θ}} + Δ A_{z} \vec{e_{z}}$

Coordonnées sphériques

La base est $(\vec{e_{r}}, \vec{e_{θ}}, \vec{e_{ϕ}})$ .

$d \vec{O M} = d r . \vec{e_{r}} + r . d θ . \vec{e_{θ}} + r . \sin θ . d ϕ . \vec{e_{ϕ}}$

$\vec{d^{2} S} = r^{2} . \sin θ . d θ . d ϕ . \vec{e_{r}}$

$d^{3} V = r^{2} . \sin θ . d r . d θ . d ϕ$

$\vec{g r a d} M = \frac{\partial M}{\partial r} \vec{e_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial M}{\partial θ} \vec{e_{θ}} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial M}{\partial ϕ} \vec{e_{ϕ}}$

$d i v \vec{A} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} A_{r}) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial \sin θ A_{θ}}{\partial θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}$

$\vec{r o t} \vec{A} = \frac{1}{r \sin θ} (\frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ A_{ϕ}) - \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) \vec{e_{r}} + (\frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_{ϕ})) \vec{e_{θ}} + \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r A_{θ}) - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) \vec{e_{ϕ}}$

$Δ M = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial M}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial M}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} M}{\partial ϕ^{2}}$

$Δ \vec{A}$	$=$	$\overset{2}{\vec{\nabla}} \vec{A}$
	$=$	$(Δ A_{r} - \frac{2 A_{r}}{r^{2}} - \frac{2 A_{θ} \cos θ}{r^{2} \sin θ} - \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial A_{θ}}{\partial θ} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) {\vec{e}}_{r}$
		$+ (Δ A_{θ} - \frac{A_{θ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial A_{r}}{\partial θ} - \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) {\vec{e}}_{θ}$
		$+ (Δ A_{ϕ} - \frac{A_{ϕ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} + \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) {\vec{e}}_{ϕ}$

Composition des opérateurs

Notation classique	Notation avec l'opérateur nabla
$d i v (\vec{r o t} \vec{A}) = 0$	$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \land \vec{A}) = 0$
$\vec{r o t} (\vec{r o t} \vec{A}) = \vec{g r a d} (d i v \vec{A}) - Δ \vec{A}$	$\vec{\nabla} \land (\vec{\nabla} \land \vec{A}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \overset{2}{\vec{\nabla}} \vec{A}$ ^[5]
$d i v \vec{g r a d} M = Δ M$	$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} M) = \overset{2}{\vec{\nabla}} M$
$\vec{r o t} \vec{g r a d} M = \vec{0}$	$\vec{\nabla} \land (\vec{\nabla} M) = \vec{0}$

Formules pour les produits (dites de Leibniz)

$\vec{g r a d} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = (\vec{A} \cdot \vec{g r a d}) \vec{B} + \vec{A} \land \vec{r o t} \vec{B} + (\vec{B} \cdot \vec{g r a d}) \vec{A} + \vec{B} \land \vec{r o t} \vec{A}$

$\vec{g r a d} (\overset{2}{\vec{A}}) = 2 (\vec{A} \cdot \vec{g r a d}) \vec{A} + 2 \vec{A} \land \vec{r o t} \vec{A}$

$d i v (\vec{A} \land \vec{B}) = - \vec{A} \cdot \vec{r o t} \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{r o t} \vec{A}$

$\vec{r o t} (\vec{A} \land \vec{B}) = \vec{A} d i v \vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{g r a d}) \vec{B} - \vec{B} d i v \vec{A} + (\vec{B} \cdot \vec{g r a d}) \vec{A}$

$\vec{g r a d} (U V) = U \vec{g r a d} V + V \vec{g r a d} U$ (symétrique en U et V)

$d i v (M \vec{A}) = M d i v \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{g r a d} (M)$

$\vec{r o t} (M \vec{A}) = M \vec{r o t} \vec{A} + \vec{g r a d} (M) \land \vec{A}$

$Δ (U \cdot V) = U Δ V + 2 \vec{g r a d} U \cdot \vec{g r a d} V + V Δ U$

$d i v (U \vec{g r a d} V - V \vec{g r a d} U) = U Δ V - V Δ U$

Intégration

Modèle:Théorème

Voir aussi

Notes et références

↑ Le symbole $\otimes$ représente le produit dyadique : $\vec{A} \otimes \vec{B} = \vec{A} \times^{t} \vec{B}$ .
↑ Le symbole $\times$ représente le produit matriciel classique.
↑ Le symbole $\cdot$ représente le produit scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} =^{t} \vec{A} \times \vec{B}$ .
↑ Le symbole $\land$ représente le produit vectoriel.
↑ Rotationnel du rotationnel

[1] Le symbole $\otimes$ représente le produit dyadique : $\vec{A} \otimes \vec{B} = \vec{A} \times^{t} \vec{B}$ .

[2] Le symbole $\times$ représente le produit matriciel classique.

[3] Le symbole $\cdot$ représente le produit scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} =^{t} \vec{A} \times \vec{B}$ .

[4] Le symbole $\land$ représente le produit vectoriel.

[5] Rotationnel du rotationnel

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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Sommaire

Opérateurs vectoriels

Définitions

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

Composition des opérateurs

Formules pour les produits (dites de Leibniz)

Intégration

Voir aussi

Notes et références

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Opérateurs vectoriels

Définitions

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

Composition des opérateurs

Formules pour les produits (dites de Leibniz)

Intégration

Voir aussi

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