Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Calcul de limites

Exercice 7-1

Calculer les cinq limites suivantes :

• $\underset{x\to 0}{\lim }(1+\sin x{)}^{\frac{1}{x}}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{(x+1{)}^2}-\sqrt[3]{(x-1{)}^2})$

• $\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{\pi }-\sqrt{\arccos }x}{\sqrt{x+1}}$.

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x+1}})$.

Exercice 7-2

Calculer (en fonction de $a,b>0$) :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(a^x+b^x)}^{\frac{1}{x}}$ ;

• $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}^{\frac{1}{x}}$.

• Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ fixé, calculer $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1^x+2^x+\dots +n^x}{n}\right)}^{1/x}$.

Exercice 7-3

Calculer, suivant les valeurs de $\alpha \in ℝ$ :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2+1{)}^{\alpha }-(x+1{)}^{2\alpha }$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x^{\alpha }})}^x$

Exercice 7-4

Calculer les trois limites suivantes (voir si nécessaire : Trigonométrie hyperbolique) :

1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\mathrm{arcosh}(x\sinh (1/x))$ ;
2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sinh \sqrt{x^2+x}-\sinh \sqrt{x^2-x})$ ;
3. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(\cosh \sqrt{x+1}-\cosh \sqrt{x})}^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$.

Exercice 7-5

Calculer les six limites suivantes :

1. $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\arcsin x}{\tan \frac{\pi x}{2}}$ ;
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x^4)-1}{x^8{\mathrm{e}}^x}$ ;
3. $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{\sin x}}$ ;
4. $\underset{x\to 0}{\lim }(\cos ax{)}^{\mathrm{cotan}bx}$ ;
5. $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^{1/\sin x}$ ;
6. $\underset{x\to \pi /4}{\lim }(\tan x{)}^{\tan (2x)}$.