Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes

Fonction holomorphe et dérivée

Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente $f_r:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^2=ℂ$, définie par : $(\mathrm{Re}f(z),\mathrm{Im}f(z))=f_r(\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z)$, soit de classe $C^1$ et que sa dérivée soit $ℂ$-linéaire.

Équation de Cauchy-Riemann

Soient $z=x+\mathrm{i}y$ et $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$.

Remarque : $D_x$ représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté $\frac{\partial }{\partial x}$.

L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.

L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :

${\mathrm{D}}_{x}f+\mathrm{i}{\mathrm{D}}_{y}f={\mathrm{D}}_x(\mathrm{Re}f+\mathrm{i}\mathrm{Im}f)+\mathrm{i}{\mathrm{D}}_y(\mathrm{Re}f+\mathrm{i}\mathrm{Im}f)$

On obtient alors :

$[{\mathrm{D}}_x(\mathrm{Re}f)-{\mathrm{D}}_y(\mathrm{Im}f)]+\mathrm{i}[{\mathrm{D}}_y(\mathrm{Re}f)+{\mathrm{D}}_x(\mathrm{Im}f)]=0$,

ce qui donne le système :

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{D}}_x(\mathrm{Re}f)={\mathrm{D}}_y(\mathrm{Im}f)\\ {\mathrm{D}}_y(\mathrm{Re}f)=-{\mathrm{D}}_x(\mathrm{Im}f).\end{array}$

Dérivées des fonctions holomorphes

Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi aux fonctions holomorphes.

Exemples

• La fonction constante $z\mapsto z_0$ est holomorphe de dérivée nulle.
• Les monômes sont des fonctions holomorphes sur $ℂ$, et on a $\mathrm{D}(z^n)=n{z}^{n-1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.
• $\sin$ et $\cos$ sont définies holomorphes sur $ℂ$ et les règles de dérivations usuelles dans $ℝ$ s'étendent. Ainsi, on a : $\mathrm{D}(\sin )=\cos$, $\mathrm{D}(\cos )=-\sin$.
• De même pour l'exponentielle : $\mathrm{D}\exp =\exp$.
• La fonction $z\mapsto \frac{1}{z}$ est holomorphe sur ${ℂ}^{*}$ et l'on a $D(1/z)=-1/z^2$.