Limites d'une fonction/Exercices/Limites de polynômes en l'infini

Modèle:Exercice2&

Exemple

Étudions les limites aux infinis de la fonction polynôme définie sur $ℝ$:

$f(x)=x^3-3x+5$

1. Étude « naïve » en $+\mathrm{\infty }$.

a. Donner les limites suivantes :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3=........$ ; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }3x=.........$ ; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }5=...........$

b. Conclure quant à la limite de f(x):

La méthode naïve ne permet pas de conclure. On va donner une méthode qui permet de lever l’indétermination pour toutes les fonctions polynômes.

2. Factoriser

On appelle terme dominant de ƒ(x) le terme de plus haut degré. Mettons le en facteur pour obtenir :

$f(x)=x^3\times (........+.........+...........)$

3. Conclure

a. Donner les limites suivantes :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3=........$ ; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(........+.........+...........)=.........$

b. Conclure :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=........$

Exercice

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

1. $g(x)=-x^2+x+1$

2. $h(x)=-2x^3+4x-1$

3. $k(x)=\frac{1}{2}{x}^3-x+1$

4. $l(x)=-\frac{1}{3}{x}^7+x^3+x^2$

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