Limites d'une fonction/Limite finie en un point

Limite finie en un réel : définition heuristique et formelle

La définition formelle d'une limite n'est ni plus ni moins une traduction mathématique de cet énoncé.

"f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L" se traduit d'abord de la manière suivante "la distance entre f(x) et L peut être aussi proche que l'on veut de 0" ce qui donne la traduction mathématique (partielle) suivante :

$\mathrm{\forall }ϵ>0|f(x)-L|<ϵ$

Il nous faut maintenant prendre en compte la condition sur $x$. "à condition de prendre x assez proche de a" se traduit par "à condition de rendre la distance entre x et a assez proche de 0". Mathématiquement on introduit un $\alpha >0$, dépendant de $ϵ$, tel que $0<|x-a|<\alpha$ (le 0< vient du fait que x ne puisse pas être égal à a, voir la notion de continuité plus loin).

Finalement, on obtient la définition formelle suivante.

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\alpha >0\text{ tel que }0<|x-a|<\alpha ⟹|f(x)-L|<ϵ$

(le symbole $\mathrm{\exists }$ signifie "il existe")

Remarque :

• On dit aussi : "$f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$".

Exemple : Soit la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2$.

Conjecturer la limite en $x=3$ de $f$.

Remarque : On pourrait croire que toute fonction $f$ définie en $x=a$ a pour limite $f(a)$ en $x=a$.

Mais cela n’est pas toujours le cas. C’est le problème de la continuité.

Continuité : définition heuristique et définition formelle

Une fonction f est continue en un point a si on peut atteindre f(a) par la gauche et par la droite en suivant la courbe et « sans lever son crayon ». C’est le cas pour la fonction ci-contre. Modèle:Clr

En revanche, dans ce cas, la courbe de f présente une « coupure » en x=a qui oblige à « lever le crayon » pour parcourir la courbe. On dit alors que la fonction f est discontinue au point a. Modèle:Clr

Limite à gauche et à droite

Modèle:Définition

Modèle:Principe

Continuité en un point

On peut donner alors une définition plus précise de la continuité :

Exemple

Soit la fonction : $\begin{array}{ccccc}f& :& ℝ& \to & ℝ\\ & & x& \mapsto & 2x\end{array}$

• Pour a=4, f(a)=8.
• Si x tend vers 4 par la gauche, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=8$.
• Si x tend vers 4 par la droite, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=8$.
• Donc f est continue en x=4.

Conclusion

La plupart des fonctions usuelles sont continues en tout point de leur domaine de définition. Mais le langage des limites va permettre de parler de celles qui présentent des singularités en certains points, comme la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$, dont voici la courbe :

On constate que la fonction inverse n’est pas continue en x=0, et que non seulement on est obligé de « lever le crayon » pour passer de la branche gauche de la courbe à la branche droite, mais en plus la courbe « part à l'infini ». Ceci nous amène à la notion de limite infinie en un point.

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