Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2

Exercice 11-1

Démontrer que les expressions :

1°  ${\cos }^{2}x-2\cos a\cos x\cos (a+x)+{\cos }^2(a+x)$

2°  ${\cos }^{2}x+{\cos }^2(\frac{2\pi }{3}+x)+{\cos }^2(\frac{2\pi }{3}-x)$

sont indépendantes de $x$. Modèle:Solution

Exercice 11-2

1°  Pour tout entier naturel $n$, soit

${\theta }_n=\arctan \frac{1}{1+n+n^2}=\arctan \frac{n+1-n}{1+n(n+1)}$.

a)  Calculer la somme :

$S_n={\theta }_0+{\theta }_1+\cdots +{\theta }_n$.

b)  La suite $\left(S_n\right)$ a-t-elle une limite ?

Modèle:Solution 2°  Mêmes questions si :

${\theta }_n=\arctan \frac{2}{(n+1{)}^2}=\arctan \frac{n+2-n}{1+n(n+2)}$.

Exercice 11-3

On suppose que

$\cos x=\frac{a}{b+c},\cos y=\frac{b}{c+a}\text{et}\cos z=\frac{c}{a+b}$.

Montrer que

${\tan }^2\frac{x}{2}+{\tan }^2\frac{y}{2}+{\tan }^2\frac{z}{2}=1$.

Exercice 11-4

Soient $a$, $b$ et $c$ les réels compris entre $-\frac{\pi }{2}$ et $\frac{\pi }{2}$ tels que

$\tan a=\frac{1}{2},\tan b=\frac{1}{5}\text{et}\tan c=\frac{1}{8}$.

Calculer $a+b+c$. Modèle:Solution

Exercice 11-5

Démontrez les identités :

1°  $\sin (a+b)\sin (a-b)+\sin (b+c)\sin (b-c)+\sin (c+a)\sin (c-a)=0$ ;

2°  $\cos (a+b)\sin (a-b)+\cos (b+c)\sin (b-c)+\cos (c+a)\sin (c-a)=0$ ;

3°  $\cos (a+b)\cos (a-b)+\cos (b+c)\cos (b-c)+\cos (c+a)\cos (c-a)=2({\cos }^{2}a+{\cos }^{2}b+{\cos }^{2}c)-3$ ;

4°  $\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c=\frac{\sin (a+b+c)}{\cos a\cos b\cos c}$. Modèle:Solution

Exercice 11-6

Démontrez les identités :

1°  ${(\cot \frac{a}{2}-\tan \frac{a}{2})}^2=\frac{4}{1-2\tan a\cot 2a}$ ;

2°  $\cot (\frac{\pi }{4}+\frac{a}{2})+\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{a}{2})=\frac{2}{\cos a}$ ;

3°  ${\cot }^{2}a+{\tan }^{2}a=2\frac{3+\cos 4a}{1-\cos 4a}$ ;

4°  $\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}\times \frac{\cos a}{1+\cos a}=\tan \frac{a}{2}$. Modèle:Solution