Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables

Exercice 1-1

Soit $u$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$.

1. Montrer que tout sous-espace de $E$ engendré par une famille de vecteurs propres pour $u$ est stable (par $u$).
2. On suppose que $u$ est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de $E$ admet un supplémentaire stable.
3. On suppose maintenant que $K=ℂ$ et que tout sous-espace stable de $E$ admet un supplémentaire stable. Montrer qu'alors, $u$ est diagonalisable.
4. Soit $u\in \mathrm{L}({ℝ}^2)$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces stables par $u$ et en déduire que tout sous-espace stable de ${ℝ}^2$ admet un supplémentaire stable, bien que $u$ ne soit pas diagonalisable.

Exercice 1-2

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $U=V\oplus W$ avec $V$ et $W$ stables par $u$. On note $v$ et $w$ les restrictions de $u$ à ces deux sous-espaces.

1. Soit $\lambda$ un scalaire. On note $U_{\lambda }$, $V_{\lambda }$ et $W_{\lambda }$ les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de $U$, $V$ et $W$. Démontrer que $U_{\lambda }=V_{\lambda }\oplus W_{\lambda }$.
2. En déduire que si $u$ est diagonalisable alors $v$ et $w$ le sont aussi.
3. En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :
   La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

Exercice 1-3

1. Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E. Vérifier que si u est diagonalisable et si chacun de ses sous-espaces propres est stable par v, alors u et v commutent (c'est-à-dire que $v\circ u=u\circ v$).
2. Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
3. En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :
   Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables
   (c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
4. En déduire que dans M_k(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que pour chaque matrice $M$ de la famille, $P^{-1}MP$ soit diagonale).

Exercice 1-4

Sur le K-espace vectoriel $E:=K^{\mathbb{N}}$ des suites à valeurs dans K, on définit pour tout $n\in \mathbb{N}$ l'endomorphisme $P_n$ par : pour toute suite $x=(x_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$, la suite $P_n(x)$ est celle dont le n-ième terme vaut $x_n$ et les autres sont nuls.

1. Montrer que les $P_n$ (pour $n\in \mathbb{N}$) commutent deux à deux.
2. Montrer que chaque $P_n$ est diagonalisable.
3. Identifier les suites qui sont propres pour tous les $P_n$ à la fois.
4. En déduire que les $P_n$ ne sont pas simultanément diagonalisables.

Exercice 1-5

Soit $n\in \mathbb{N}$. Résoudre dans ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$ l'équation

$M^n=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right)$.

1. Si $A$ et $B$ sont deux matrices de ${\mathrm{M}}_n(K)$ (où $K$ est un corps arbitraire) telles que $AB=BA$, donner des exemples de sous-espaces de $K^n$ stables à la fois par $A$ et par $B$.
2. Déterminer toutes les matrices carrées réelles $B$ d'ordre $3$ telles que $B^3=A$, où $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$.

Exercice 1-6

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$.

1. Soit $w=u+\mathrm{i}v\in {ℂ}^n$ un vecteur propre pour A, pour une valeur propre $\lambda =a+\mathrm{i}b$. Montrer que le $ℝ$-sous-espace $E_w:={\mathrm{Vect}}_{ℝ}(u,v)$ de ${ℝ}^n$ est A-stable.
2. En déduire que ${ℝ}^n$ possède un sous-espace A-stable de dimension 1 ou 2 (il en est donc de même pour tout endomorphisme d'un $ℝ$-espace vectoriel de dimension finie).
3. En supposant que $\lambda \notin ℝ$, montrer que $(u,v)$ est une base de $E_w$ et donner la matrice de $A_{|E_w}$ dans cette base.

Exercice 1-7

Soient $V$ un $ℝ$-e.v. et $f\in \mathrm{L}(V)$ tel que $f\circ f-3f+2{\mathrm{id}}_V=0$.

1. Montrer que $f$ est diagonalisable.
2. Montrer que $f$ est un isomorphisme et calculer $f^{-1}$ en fonction de $f$.
3. Calculer $f^3$ en fonction de $f$. Peut-on calculer $f^n$ en fonction de $f$ ?

Exercice 1-8

Déterminer tous les s.e.v. non triviaux de ${ℝ}^3$ stables par l'endomorphisme $f$ de matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$ dans la base canonique. Modèle:Solution

Exercice 1-9

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $E={ℝ}_n[X]$. Pour tout $P\in E$ on pose

$f(P)=X(1-X)P^{\prime }+nXP$.

Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $E$, puis déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres. Modèle:Solution Mêmes questions pour $f(P)=(1-X^2)P^{\prime }+nXP$. Modèle:Solution