Voir la source de Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi uniforme

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 7
  | niveau    = 13
  | précédent = [[../Loi binomiale/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
}}

== Définition ==
Une variable aléatoire qui peut prendre ''n'' valeurs ''k''{{ind|1}}, ''k''{{ind|2}}, … , ''k{{ind|n}}'' suit une loi uniforme lorsque la probabilité de chaque valeur ''k{{ind|i}}'' est égale à 1/''n''. Un cas particulier important est celui où les ''n'' valeurs ''k{{ind|i}}'' sont des entiers consécutifs.

{{Définition|contenu={{Wikipédia|Loi uniforme discrète}}
Une variable aléatoire discrète ''X'' suit une '''loi uniforme''' <math>\mathcal U_{[\![a, b]\!]}</math> de paramètres <math>a,b\in\Z</math> si
:<math>\forall k\in[\![a, b]\!]\quad\mathbb P(X=k)=\frac1n</math>, avec <math>n=b-a+1</math>.
}}

== Espérance ==
{{Théorème|contenu=
Si <math>X</math> suit une loi de probabilité <math>\mathcal U_{[\![a, b]\!]}</math>, alors son espérance vaut : 

<div style="text-align: center;"><math>\mathbb E(X)=\frac{a+b}2</math>.</div>
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=<math>n\mathbb E(X)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(a+k\right)=n\frac{a+b}2</math> (cf. [[Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques|Somme des termes d'une suite arithmétique]]).
}}

== Variance ==
{{Théorème|contenu=
Si <math>X</math> suit une loi de probabilité <math>\mathcal U_{[\![a, b]\!]}</math>, alors sa variance vaut :
<div style="text-align: center;"><math>\mathrm V(X)=\frac{n^2-1}{12}</math>, avec <math>n=b-a+1</math>.</div>
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
<math>\begin{align}n\mathrm V(X)&=\sum_{k=0}^{n-1}\left(a+k-\frac{a+b}2\right)^2\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\left(k-\frac{n-1}2\right)^2\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}k^2-(n-1)\sum_{k=0}^{n-1}k+n\frac{(n-1)^2}4\\
&=\frac{(n-1)n(2n-1)}6-(n-1)\frac{(n-1)n}2+n\frac{(n-1)^2}4\\
&=\frac n{12}\left(2(n-1)(2n-1)-3(n-1)^2\right)\\
&=n\frac{n^2-1}{12}.
\end{align}</math>
}}

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  | précédent = [[../Loi binomiale/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
}}