Voir la source de Variables aléatoires discrètes/Loi de Bernoulli

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Définitions/]]
  | suivant   = [[../Loi binomiale/]]
  | niveau    = 14
}}

== Définition ==

{{Définition
  | contenu ={{Wikipédia|Loi de Bernoulli}}
Une variable aléatoire discrète suit une loi de [[w:Jacques Bernoulli|Bernoulli]] si :

<div style="text-align: center;"><math>\mathbb P(X = 0)= 1-p \ \text{et} \ \mathbb P(X = 1)= p</math></div>

où <math>p</math> est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé '''paramètre''' de la loi.

On note cette loi <math>\mathcal B(p)</math>.
}}

== Moments ==
=== Espérance ===
{{Théorème
  | contenu =
L'espérance d'une loi de Bernoulli est <math>p</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Si <math>X</math> suit une loi de Bernoulli de paramètre <math>p</math>, soit <math>X \sim \mathcal B(p)</math>. 
Alors <math>\mathbb E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p</math>.
}}

=== Variance ===
{{Théorème
  | contenu =
* La variance d'une loi de Bernoulli est <math>p(1-p)</math>. 
* Son écart type est donc <math>\sqrt{p(1-p)}</math>.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
<math>\begin{align}V(X)&=\mathbb E(X^2)-(\mathbb E(X))^2\\
&=0\times(1-p)+1^2\times p-p^2\\
&=p-p^2\\
&=p(1-p),\end{align}</math>

d'où <math>\sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{p(1-p)}</math>.
}}

==Épreuve de Bernoulli==
{{Wikipédia|Épreuve de Bernoulli}}
Une épreuve de Bernoulli est un schéma où l’on ne considère que deux possibilités :
* le succès (valeur 1)
* l'échec (valeur 0)

L'exemple le plus simple est le tirage à pile ou face : si la pièce est équilibrée, le fait d’avoir pile suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.

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}}