Voir la source de Trigonométrie/Annexe/Cercle trigonométrique et radians

{{Annexe
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | niveau    = 12
  | précédent = [[../Les valeurs remarquables/]]
  | suivant   = [[../Fonctions trigonométriques dans une calculatrice/]]
}}

== Le cercle trigonométrique  ==
[[Fichier:Cercle_trigo.svg|thumb|Le cercle trigonométrique.|néant]]
{{Définition
  | contenu =
Dans un repère orthonormé, on appelle ''cercle trigonométrique'' le cercle ayant pour centre l'origine du repère et pour rayon 1.
}}

* Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé '''sens trigonométrique direct'''.
* L'origine dite « de décompte angulaire » sera le point I d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère.

== Les angles en radians  ==

{{Définition
  | contenu =
Soit M un point quelconque du cercle trigonométrique. Une mesure en radians de l'angle orienté <math>(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})</math> est la longueur de l'arc <math>\overset{\curvearrowright}{IM}</math>, comptée positivement dans le sens direct et négativement dans le sens indirect}}

=== Exemple ===
[[Fichier:Angle45.svg|thumb|upright=2]]
Dans la figure ci-contre, le point <math>M</math> est tel que l'angle <math>\widehat{IOM}</math> vaut 45 degrés. L'arc <math>\overset{\curvearrowright}{IM}</math> a pour longueur le huitième de la circonférence du cercle : <math>2\pi</math>, c'est-à-dire <math>\frac\pi4</math>. 

L'angle orienté <math>(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})</math> a donc pour mesure en radians <math>\frac\pi4</math>.

Elle est positive car cet arc est orienté dans le sens positif.

Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés <math>\pi,\ \frac\pi2,\ \frac\pi3,\ \frac\pi4\dots</math>.
{{clr}}

== Un angle possède une infinité de mesures  ==

La notion de mesure d'un angle peut être étendue à des nombres supérieurs à <math>2\pi</math> (c'est-à-dire supérieurs à 360°). 

Par exemple : mesure de 100 radians, il faut imaginer une ficelle de 100 unités qui s'enroulerait autour du cercle trigonométrique dans le sens direct. 

{{Propriété
  | contenu =
Les différentes mesures d'un angle se déduisent les unes des autres en ajoutant ou en retranchant un certain nombre de fois <math>2\pi</math>. 

Il y a donc une périodicité de <math>2\pi</math>. 
}}

=== Exemples ===

* Sur le cercle trigonométrique, les valeurs <math>0</math> et <math>2\pi</math> se trouvent confondues. 
*:Il en est d'ailleurs de même pour <math>2\pi,\ 4\pi,-2\pi,\ -4\pi\dots</math>. 
* L'angle de mesure <math>\frac\pi5</math> a aussi pour mesure <math>\frac{11\pi}5</math> ainsi que <math>-\frac{9\pi}5</math>, <math>\frac{21\pi}5</math> ou <math>-\frac{19\pi}5</math>.

=== Mesure principale  ===

{{Définition
  | contenu =

La mesure comprise dans l'intervalle <math>]-\pi,\pi]</math> est la '''mesure principale''' de <math>\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math>. 

Elle correspond à la longueur (en valeur algébrique) du chemin le plus court reliant <math>A</math> à <math>B</math>.}}

Dans l'exemple précédent, la mesure principale est <math>\frac{\pi}5</math>.

== Conversion degrés-radians  ==

La conversion degrés-radians se fait facilement en utilisant les formules :

{{Propriété
  | contenu =
* <math>\text{Angle en deg}=\frac{180}\pi\times\text{angle en rad}</math>.
* <math>\text{Angle en rad}=\frac{\pi}{180}\times\text{angle en deg}</math>.
}}

La figure ci-dessous donne quelques correspondances à connaître : 

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Cercle trigo deg rad.png|600px]]</div>

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Les valeurs remarquables/]]
  | suivant   = [[../Fonctions trigonométriques dans une calculatrice/]]
}}