Voir la source de Triangles et parallèles/Théorème des milieux

{{Chapitre
  | niveau    = 9
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Conservation de l'aire/]]
}}

''Remarque'' : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.

== Droite des milieux ==
{{Théorème
  | contenu=[[Fichier:Théorème milieux direct.svg|thumb|left]]{{Wikipédia|Théorème des milieux}}
La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
}}

{{Exemple|contenu=[[Fichier:Théorème milieux direct exo1.svg|thumb]]
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs : 

<math>AB = 15\text{ cm}\ ;\ AI = 7{,}5\text{ cm}\ ;\ AC = 14\text{ cm}\ ;\ AJ = 7\text{ cm}</math>.

Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
On a <math>AB = 2\times AI</math> et <math>I \in [AB]</math> donc I est le milieu de [AB] ; de même <math>AC = 2\times AJ</math> et <math>J \in [AC]</math> donc J est le milieu de [AC] ; 
d’après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle à (BC).
}}
}}

== Théorème réciproque des milieux ==
{{Théorème
  | contenu=
La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.
}}
{{Exemple|contenu=
[[Fichier:Reciproque milieux.svg|thumb]]
Dans la figure ci-contre, on sait que :
* (IJ) et (BC) sont parallèles.
* <math>AB = 15\text{ cm}\ ;\ AI = 7{,}5\text{ cm}</math>.
Démontrer que J est le milieu de [AC].
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
On a :
*<math>AB = 2\times AI</math> et <math>I \in [AB]</math> donc I est le milieu de [AB] :
*(IJ) et (BC) sont parallèles

donc d’après la réciproque du théorème des milieux, 

J est le milieu du troisième côté [AC].
}}
}}

== Propriété métrique des milieux ==
{{Propriété
  | contenu =[[Fichier:Théorème milieux metric.svg|thumb]]
Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.
}}

{{Exemple|titre=Exemple 1|contenu=
[[Fichier:Théorème milieux direct exo1.svg|thumb]]
Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs : 
:<math>AB = 15\text{ cm}\ ;\ AI = 7{,}5\text{ cm}\ ;\ AC = 14\text{ cm}\ ;\ AJ = 7\text{ cm}\ ;\ BC = 10\text{ cm}</math>.
Combien vaut IJ ? Justifier.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
On a <math>AB = 2\times AI</math> et <math>I \in [AB]</math> donc I est le milieu de [AB] ; de même <math>AC = 2\times AJ</math> et <math>J \in [AC]</math> donc J est le milieu de [AC] ; 
d’après la propriété métrique des milieux :
<math>IJ = \frac{BC}2=\frac{10}2=5\text{ cm}</math>.
}}
}}

{{Exemple|titre=Exemple 2|contenu=
[[Fichier:Théorème milieux direct exo1.svg|thumb]]
Dans la figure ci-contre, on sait que :
* (IJ) et (BC) sont parallèles.
* <math>AB = 14\text{ cm}\ ;\ AI = 7\text{ cm}\ ;\ BC=12\text{ cm}</math>
Combien vaut IJ ? Justifier.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
On a :
*<math>AB = 2\times AI</math> et <math>I \in [AB]</math> donc <math>I</math> est le milieu de [AB] ;
*(IJ) et (BC) sont parallèles

donc d’après la réciproque du théorème des milieux, 

J est le milieu du troisième côté [AC].

D’après la propriété métrique des milieux, on a donc :

<math>IJ = \frac{BC}2=\frac{12}2=6\text{ cm}</math>.
}}
}}

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  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Conservation de l'aire/]]
}}