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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | niveau    = 14
  | précédent   = [[../Systèmes sans paramètre/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}

==Exercice 2-1==
On considère le système <math>\left(S\right)</math> :
:<math>\begin{cases}x&-&my&+&m^2z&=&2m\\mx&-&m^2y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^3z &=&1-m.\end{cases}</math>
Résoudre <math>\left(S\right)</math>, en précisant les valeurs de <math>m</math> pour lesquelles il est de Cramer.
{{Solution|contenu=
*Si <math>m=0</math>,
*:<math>(S)\Leftrightarrow\begin{cases} x=0\\y=1\\z\text{ quelconque.}\end{cases}</math>
*Si <math>m\ne0</math>,
*:<math>\begin{align}(S)&\Leftrightarrow\begin{cases}x&-&my&+&m^2z&=&2m\\x&-&my&+&z&=&2\\mx&+&y&-&m^3z&=&1-m\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}x&-&my&+&m^2z&=&2m\\&&&&(1-m^2)z&=&2(1-m)\\&&(1+m^2)y&-&2m^3z&=&1-m-2m^2.\end{cases}\end{align}
</math>
**Si <math>m=1</math>,
**:<math>\begin{align}(S)&\Leftrightarrow\begin{cases}x&-&y&+&z&=&2\\&&2y&-&2z&=&-2\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}y=z-1\\x=y-z+2\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}y=z-1\\x=1\\z\text{ quelconque.}\end{cases}
\end{align}
</math>
**Si <math>m=-1</math>, <math>(S)</math> n'a pas de solution car la deuxième équation devient <math>0z=4</math>.
**Si <math>m\ne0,1,-1</math>, <math>(S)</math> est de Cramer et
**:<math>\begin{align}(S)&\Leftrightarrow\begin{cases}z=\frac2{1+m}\\y=\frac{2m^3z+1-m-2m^2}{1+m^2}\\x=my-m^2z+2m\end{cases}\\&\Leftrightarrow\begin{cases}z=\frac2{1+m}\\y=\frac{(m-1)^2(2m+1)}{(1+m^2)(1+m)}\\x=\frac{m(2m^2-3m+3)}{1+m^2}.\end{cases}\end{align}
</math>
}}
==Exercice 2-2==
On considère le système linéaire
:<math>(S):\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}</math>
dépendant des paramètres réels <math>m,a,b,c</math>.
# Donner une expression factorisée du déterminant de <math>(S)</math>.
# Discuter et résoudre le système <math>(S)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>m^3-6m+9=(m+3)(m^2-3m+3)</math>.
#
#*Si <math>m\ne-3</math>, <math>(S)</math> est de Cramer et sa solution <math>(x,y,z)</math> est donnée par :
#*:<math>\begin{cases}x&=\frac{a(m^2-2)+(4-m)b+(1-2m)c}{m^3-6m+9}\\
y&=\frac{(1-2m)a+(m^2-2)b+(4-m)c}{m^3-6m+9}\\
z&=\frac{(4-m)a+(1-2m)b+(m^2-2)c}{m^3-6m+9}.
\end{cases}</math>
#*Si <math>m=-3</math>,
#*:<math>\begin{align}(S)
&\Leftrightarrow\begin{cases}-3x+y+2z=a\\2x-3y+z=b\\x+2y-3z=c\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}7y-7z=a+3c\\-7y+7z=b-2c\\x+2y-3z=c\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}0=a+b+c\\z=\frac{b-2c}7+y\\x=\frac{3b+c}7+y\end{cases}\\
\end{align}</math>
#*:donc :
#**si <math>a+b+c\ne0</math>, <math>(S)</math> n'a pas de solution ;
#**si <math>a=-b-c</math>, l'ensemble des solutions de <math>(S)</math> est la droite affine<br><math>\left\{\left.\left(\frac{3b+c}7+y,y,\frac{b-2c}7+y\right)\right|y\in\R\right\}=\left(\frac{3b+c}7,0,\frac{b-2c}7\right)+\R(1,1,1)</math>.
}}
==Exercice 2-3==
Résoudre, en fonction du paramètre <math>m\in\R</math>, le système
:<math>\begin{cases}x+my+m^2z+m^3t=1\\ mx+m^2y+m^3z+mt=1\\ m^2x+m^3y+z+mt=1\\ m^3x+y+mz+m^2t=1.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=
Par la méthode du pivot de Gauss, le système se ramène à
:<math>\begin{cases}x+my+m^2z+m^3t=1\\(1-m^4)(y+mz+m^2t)=1-m^3\\(1-m^4)(z+mt)=1-m^2\\(1-m^4)t=1-m.\end{cases}</math>
*Si <math>m\ne\pm1</math>, son unique solution est donc <math>x=y=z=t=\frac{1-m}{1-m^4}</math>.
*Si <math>m=-1</math>, la dernière équation est <math>0t=2</math> donc le système n'a pas de solution.
*Si <math>m=1</math>, le système équivaut à <math>x+y+z+t=1</math> donc il a une infinité de solutions : <math>(1-y-z-t,y,z,t)</math> avec <math>y,z,t</math> réels arbitraires.
}}
Résoudre, en fonction des paramètres <math>m,a,b,c\in\R</math>, les systèmes
:<math>(S_1)\;\begin{cases}x+(m+1)y&=m+2\\mx+(m+4)y&=8\end{cases}\qquad(S_2)\;\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}\qquad(S_3)\;\begin{cases}3x-y+2z&=a\\-x+2y-3z&=b\\2x+y-z&=c.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=
:<math>(S_1)\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+2-(m+1)y\\m(m+2-(m+1)y)+(m+4)y=8\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x&=m+2-(m+1)y\\(4-m^2)y&=8-m^2-2m=-(m-2)(m-4).\end{cases}</math>

Si <math>m\ne\pm2</math>, <math>(S_1)</math> a une unique solution : <math>y=\frac{-(m-2)(m+4)}{-(m-2)(m+2)}=\frac{m+4}{m+2}</math>, <math>x=m+2-(m+1)\frac{m+4}{m+2}=-\frac m{m+2}</math>.

Si <math>m=2</math>, <math>(S_1)</math> équivaut à <math>x=4-3y</math> (et <math>0=0</math>) donc a (dans <math>\R^2</math>) toute une droite affine de solutions.

Si <math>m=-2</math>, <math>(S_1)</math> équivaut à <math>0=8</math> (et une autre équation) donc n'a aucune solution.

Remarque : <math>(S_1)</math> définit l'intersection de 2 droites dans <math>\R^2</math>, parallèles ou sécantes, selon que <math>m</math> est égal ou pas à <math>\pm2</math>.

:<math>(S_2)\Leftrightarrow\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}
\Leftrightarrow(L_2\rightarrow L_2-L_1)\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\x+(1-2m)y&=4m+1\end{cases}</math>
:<math>\Leftrightarrow\begin{cases}x=4m+1+(2m-1)y\\m(4m+1+(2m-1)y)+(m-1)y=m+2\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x&=4m+1+(2m-1)y\\(2m^2-1)y&=2-4m^2.\end{cases}</math>

Si <math>m^2=\frac12</math> ([[Wikt:c'est-à-dire|c'est-à-dire]] <math>m=\pm\frac1\sqrt2</math>), la seconde équation devient <math>0=0</math>, donc <math>(S_2)</math> a toute une droite affine de solutions.

Si <math>m^2\ne\frac12</math>, <math>(S_2)\Leftrightarrow\begin{cases}y&=-2\\x&=4m+1-2(2m-1)=3.\end{cases}</math>

:<math>(S_3)\Leftrightarrow\begin{cases}z&=2x+y-c\\3x-y+2(2x+y-c)&=a\\-x+2y-3(2x+y-c)&=b\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}z&=2x+y-c\\7x+y&=a+2c\\-7x-y&=b-3c\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}z&=2x+y-c\\y&=a+2c-7x\\-a-2c&=b-3c.\end{cases}</math>

Si <math>c\ne a+b</math>, <math>(S_3)</math> n'a aucune solution.

Si <math>c=a+b</math>, <math>(S_3)</math> a (dans <math>\R^3</math>) toute une droite affine de solutions :
<math>\begin{cases}y&=3a+2b-7x\\z&=2x+(3a+2b-7x)-a-b=2a+b-5x.\end{cases}</math>

Remarque : <math>(S_3)</math> définit l'intersection de 3 plans dans <math>\R^3</math>. Quand on prend les deux premiers, on trouve une droite parallèle au troisième (car de direction <math>(-1,7,5)\perp(2,1,-1)</math>) : soit strictement parallèle, soit incluse, selon que <math>c</math> est égal ou pas à <math>a+b</math>.
}}

==Exercice 2-4==
Soient <math>a,b\in\R</math>. Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss et en discutant en fonction de la valeur des paramètres :
:<math>(S) : \begin{cases}ax+by+z&=1\\x+aby+z&=b\\x+by+az&=1.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=
<math>(S)\Leftrightarrow
\begin{cases}x+by+az&=1\\x+aby+z&=b\quad l_1\leftrightarrow l_3\\ax+ by+ z&=1\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}x+by+az&=1\\(a-1)by+(1-a)z&=b-1\quad l_2-l_1\\(1-a)by+(1-a^2)z&=1-a\quad l_3- a l_1\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}x+by+az&=1\\(a-1)by+(1-a)z&=b-1\quad l_2-l_1\\(1-a)(2+a)z&=b-a\quad l_3+ l_2.\end{cases}</math>
*Si <math>a=1</math>, <math>(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x+by+z&=1\\0&=b-1\\0&=b-1\end{cases}</math> donc :
**si <math>b\ne1</math>, <math>\mathcal S=\varnothing</math> ;
**si <math>b=1</math>, <math>(S)\Leftrightarrow x=1-y-z</math> donc <math>\mathcal S=\left\{(1-y-z,y,z)\mid y,z \in \R\right\}</math>.
*Si <math>a=-2</math>, <math>(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x+by-2z&=1\\-3by+3z&=b-1\\0&=b+2\end{cases}</math> donc :
**si <math>b\ne-2</math>, <math>\mathcal S=\varnothing</math> ;
**si <math>b=-2</math>, <math>(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x-2y-2z&=1\\6y+3z&=-3\end{cases}\Leftrightarrow x=z=-1-2y</math> donc <math>\mathcal S=\left\{\left(-1-2y,y,-1-2y\right)\mid y\in \R\right\}</math>.
*Si <math>a\ne-2</math> et <math>a\ne1</math>, <math>(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x+by+az&=1\\by-z&=\frac{b-1}{a-1}\\z&=\frac{b-a}{(1-a)(2+a)}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x+by&=\frac{2-a-ab}{(1-a)(2+a)}\quad l_1-a l_3\\by&=\frac{2-ab-b}{(1-a)(2+a)}\quad l_2+l_3\\z&=\frac{b-a}{(1-a)(2+a)}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=\frac{b-a}{(1-a)(2+a)}\quad l_1-l_2\\by&=\frac{2-ab-b}{(1-a)(2+a)}\\z&=\frac{b-a}{(1-a)(2+a)}\end{cases}</math> donc :
**si <math>b=0</math>, <math>\mathcal S=\varnothing</math> ;
**si <math>b\ne0</math>, <math>\mathcal S=\left\{\left(\frac{b-a}{(1-a)(2+a)},\frac{2-ab-b}{ b(1-a)(2+a)},\frac{b-a}{(1-a)(2+a)}\right)\right\}.</math>
}}

==Exercice 2-5==
Discuter selon les valeurs du paramètre <math>p</math>, le nombre de solutions du système suivant (on ne cherchera pas à expliciter les solutions) :
:<math>(S) : \left\{\begin{matrix}x&+&py&+&(2+p)z&=&1\\&&y&+&(3p-1)z&=&1\\x&+&2y&+&5pz&=&3.\end{matrix}\right.</math>
{{Solution|contenu=
<math>(S)\quad l_3\leftarrow l_3-l_1+(p-2)l_2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x&+&py&+&(2+p)z&=&1\\&&y&+&(3p-1)z&=&1\\&&&&3p(p-1)z&=&p.\end{matrix}\right.</math>
*Si <math>p\ne0</math> et <math>p\ne1</math>, une seule solution.
*Si <math>p=0</math>, une infinité de solutions.
*Si <math>p=1</math>, pas de solution.
}}
==Exercice 2-6==
Résoudre, en fonction du paramètre <math>a</math>, le système suivant :
:<math>(S) : \left\{\begin{matrix}ax&+&y&+&z&=&1\\x&+&ay&+&z&=&a\\x&+&y&+&az&=&a^2\\x&+&ay&+&az&=&a\\ax&+&y&+&az&=&1.\end{matrix}\right.</math>
{{Solution|contenu=
<math>(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x&+&ay&+&z&=&a\\
ax&+&y&+&z&=&1\\x&+&y&+&az&=&a^2\\x&+&ay&+&az&=&a\\ax&+&y&+&az&=&1.\end{matrix}\right.\quad(l_1\leftrightarrow l_2)\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x&+&ay&+&z&=&a&\\
&&(1-a^2)y&+&(1-a)z&=&1-a^2&(l_2-al_1)\\
&&(1-a)y&+&(a-1)z&=&a^2-a&(l_3-l_1)\\
&&&&(a-1)z&=&0&(l_4-l_1)\\
&&(1-a^2)y&&&=&1-a^2&(l_5-al_1).\end{matrix}\right.</math>
*Si <math>a=1</math>, l'ensemble des solutions est <math>\{(1-y-z,y,z)\mid y,z\in\R\}</math>.
*Si <math>a\ne1</math>, on divise les lignes 2 à 5 par <math>1-a</math> :<br><math>(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x&+&ay&+&z&=&a\\
&&(1+a)y&+&z&=&1+a\\
&&y&-&z&=&-a\\
&&&&z&=&0\\
&&(1+a)y&&&=&1+a.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}z&=&0\\
y&=&-a\\
x&=&a^2+a\\
a&=&-1.\end{matrix}\right.</math>
**Si <math>a\ne1</math> et <math>a\ne-1</math>, il n'y a pas de solution.
**Si <math>a=-1</math>, l'unique solution est <math>(0,1,0)</math>.
}}

==Exercice 2-7==
Résoudre, en fonction du paramètre <math>m\in\R</math>, le système 
:<math>\left\{
 \begin{array}{llll}  6mx    &+ 12y &+ (6m-12)z  &= -m^2-2m+56  \\
                 (2m-1)x &+ (2-m)y &+ 2mz     &= m-1  \\
                 (m-1)x     &+ (m-1)y &  &= 2m.\end{array} \right.</math>
{{Solution|contenu=
*Cas critiques : <math>m=1,2,3</math>. 
**Si <math>m=1</math>, <math>\mathcal S=\varnothing</math>.
**Si <math>m=2</math>, <math>\mathcal S=\left\{\left(4-y,y,\frac{3y-11}4\right)\mid y \in \R\right\}</math>.
**Si <math>m=3</math>, <math>\mathcal S=\{(3-y,y,\dfrac{-13}{6} +y)\mid y \in \R\}</math>.
*Si <math>m\ne1,2,3</math>, on commence par <math>L_1 \leftarrow L_1-\dfrac{6m}{m-1} L_3,L_2 \leftarrow L_2-\dfrac{2m-1}{m-1}L_3,L_3 \leftarrow \dfrac1{m-1} L_3</math> on obtient : 

<math>(S)\Longleftrightarrow \left\{
 \begin{array}{llll}    &+ (12-6m)y &+ (6m-12)z  &= \dfrac{-(m-2)(m^ 2+15m-28)}{m-1}  \\
                 &+ (-3m+3)y &+ 2mz     &= m-1 -\dfrac{2m(2m-1)}{m-1} \\
                 x     &+ y &  &= \dfrac{2m}{m-1}.\end{array}\right.</math>

On enchaîne avec <math>L_1 \leftarrow 1/(12-6m)L_1, \ L_2 \leftarrow L_2+2m/(12-6m)L_1</math> :
               
<math>(S)\Longleftrightarrow \left\{
 \begin{array}{llll}    &+ y &-z  &= \dfrac{(m^ 2+15m-28)}{6(m-1)}  \\
                 & (-m+3)y &    &= \dfrac{(m-3)(m^ 2+9m-1)}{3(m-1)} \\
                 x     &+ y &  &= \dfrac{2m}{m-1}\end{array} \right.</math>
 
<math>(S)\Longleftrightarrow \left\{
 \begin{array}{llll}    & &z  &= \dfrac{-m^ 2-11m+10}{2(m-1)}  \\
                 &  &   y &= \dfrac{-(m^ 2+9m-1)}{3(m-1)} \\
                      & & x &= \dfrac{m^2+15m-1}{3(m-1)}\end{array} \right.</math>
}}

==Voir aussi==
{{Lien web|url=http://exo7.emath.fr/search.php|titre=Sous-chapitre 200.3 Systèmes linéaires, rang|site={{w|exo7}}}} (choix du module : L2 algèbre ; choix du chapitre : 200 Déterminant, système linéaire)

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  | idfaculté = mathématiques
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  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}