Voir la source de Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Séries de fonctions/]]
  | page_liée = Exercices/Suites de fonctions
  | numéro    = 1
  | niveau    = 15
}}

On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.

{{Définition
  | titre   = Définition : Suite de fonctions
  | contenu =
Une '''suite de fonctions''' est une suite <math>(f_n)</math> à valeurs dans <math>\R^{\R}</math> (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel <math>n</math> la fonction <math>f_n</math> :<br />
<div style="text-align: center;">
:<math>(f_n) : \begin{array}[t]{lcl}\mathbb N &\rightarrow &   \R^{\R} \\
                               n & \mapsto    & f_n
               \end{array}
</math> 
</div>
}}

{{Exemple
 | contenu =
Voici la représentation graphique pour quelques valeurs de <math>n</math> de la suite de fonctions <math>(f_n)</math> définie par <math>f_n(x) = \sin ^n x \; \forall n\in \mathbb N </math> sur l'intervalle <math>[0;\pi]</math> .
[[Fichier:Drini-nonuniformconvergence.png|center|400 px]]
}}

== Convergence simple ==

{{Définition
  | titre   = Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions
  | contenu =
Soit <math>(f_n)</math> une suite de fonctions définies sur <math>\mathcal D\subset \R</math>.

On dit que <math>(f_n)</math> '''converge simplement vers la fonction <math>f</math>''' si pour chaque réel <math>x</math> de <math>\mathcal D</math>, la suite numérique <math>(f_n(x))</math> converge vers le réel <math>f(x)</math>.

Dans le « langage des <math>\varepsilon</math> », cela donne :
{{Encadre|class=center|contenu=<math>\forall x\in \mathcal D\quad\forall \varepsilon >0\quad\exists n_{\varepsilon,x} \in \mathbb N\quad\forall n \in \mathbb N\quad n \ge n_{\varepsilon,x} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</math>.}}
}}

Cela signifie qu'on se fixe une valeur de <math>x\in \mathcal D</math> et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par <math>x</math> » qui est la suite <math>(f_n(x))</math> .

{{Exemple 
 | contenu =
La figure ci-dessus permet de penser que la suite de fonctions <math>(f_n)</math> converge simplement vers la fonction <math>f</math> définie sur <math>[0,\pi]</math> par :
<div style="text-align: center;">
:<math>f : x \mapsto \begin{cases} 0,  \mathrm{\;si\;} x\ne \frac\pi2\\ 1,  \mathrm{\;si\;} x =\frac\pi2\end{cases}
</math> 
</div>
Pour le démontrer, il suffit de remarquer que <math>\forall x \in [0,\pi]\setminus\left\{\frac\pi2\right\}\quad|\sin x| < 1</math>. On a donc dans ce cas affaire à une suite <math>(f_n(x))</math> géométrique de raison <math>\sin x</math> qui converge donc vers <math>0</math>. La suite <math>(f_n(\frac{\pi}{2}))</math> est constante et converge vers <math>1</math>.
}}

On remarque dans cet exemple que ''la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite'' : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en <math>\frac{\pi}{2}</math> . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de '''convergence uniforme'''.

== Convergence uniforme ==

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition <math>\mathcal D</math>. Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en <math>\frac{\pi}{2}</math> qui "persiste" lors du passage à la limite.

{{Définition
  | titre   = Définition : Convergence uniforme d'une suite de fonctions
  | contenu ={{Wikipédia|Convergence uniforme}}
Soit <math>(f_n)</math> une suite de fonctions définies sur <math>\mathcal D\subset \R</math>.
* On dit que <math>(f_n)</math> '''converge uniformément vers la fonction <math>f</math>''' si :
*:<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb N\quad\forall n\in\mathbb N\quad n\ge n_{\varepsilon}\Rightarrow\forall x\in\mathcal D\quad|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon</math>.
* Cela équivaut à dire que la suite de terme général <math>\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x\in\mathcal D} |f_n(x) - f(x)|</math> converge vers <math>0</math>, c'est-à-dire :
*:<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb N\quad\forall n\in\mathbb N\quad n\ge n_{\varepsilon}\Rightarrow\|f_n - f\|_\infty < \varepsilon</math>.
}}

On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

'''Remarque''' Sur l'espace <math>\mathcal C^0(\mathcal D)</math>, (où <math>\mathcal D</math> est un '''compact'''), la '''norme « infinie »''' ou '''norme ''sup''''' ou encore '''norme de la convergence uniforme''' s'écrit :
:<math>{\|f\|}_{\infty} = \sup_{t\in \mathcal D} |f(t)|</math>.

{{Exemple
 | contenu =
Soit la suite de fonctions <math>f_n : x \mapsto\mathrm e^{-nx}</math> définies sur <math>\left[1,+\infty\right[</math>.

Montrer que cette suite converge uniformément vers la fonction nulle.
{{Solution|contenu=
Pour tout réel <math>x\ge1</math>, on a <math>0<f_n(x)\le f_n(1)=\mathrm e^{-n}</math>. Donc
:<math>\|f_n-f\|_\infty= \mathrm{e}^{-n}\xrightarrow[n\to +\infty]{}0</math>.
On en déduit le résultat voulu :
:<math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU}0</math>.
}}
}}

== Propriétés des suites de fonctions ==

=== Propriétés de la convergence simple ===
La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :

{{Propriété
  | titre   = Propriétés
  | contenu =
Soit <math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVS} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> .<br />
Si <math>\forall n\in \mathbb N</math> la fonction <math>f_n</math> est '''croissante''' sur <math>\mathcal D</math> , alors la fonction limite <math>f</math> est '''croissante''' sur <math>\mathcal D</math> .<br />
La propriété reste vraie en remplaçant "croissante" par "décroissante", "paire", "impaire" (pour la parité, le domaine <math>\mathcal D</math> doit être symétrique par rapport à <math>0</math> ).
}}

(démonstration et exemple à faire)

=== Propriétés de la convergence uniforme ===
Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

{{Théorème
  | contenu = 
Toute suite de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.
}}
La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).
{{Démonstration déroulante
  | contenu=
Si <math>\forall \varepsilon >0, \exists n_{\varepsilon}\in \mathbb N | \forall x\in \mathcal D, \forall n \in \mathbb N , n \ge n_{\varepsilon,} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</math> , alors <math>\forall x\in \mathcal D, \forall \varepsilon >0, \exists n_{\varepsilon,x} =  n_{\varepsilon}\in \mathbb N|  \forall n \in \mathbb N , n \ge n_{\varepsilon,x} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</math>.<br />
"En clair", si pour tout <math>\varepsilon >0</math>, je peux trouver un rang <math>n_{\varepsilon}</math> tel que la convergence ait lieu indépendamment de <math>x</math> alors, pour tout <math>x</math>, je peux trouver un rang <math>n_{\varepsilon,x} = n_{\varepsilon}</math> tel que la convergence ait lieu.
}}


{{Théorème
  | titre   = Théorème d'interversion des limites
  | contenu ={{Wikipédia|Théorème d'interversion des limites}}
Soit <math>(f_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{CVU} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> et soit <math>a</math> un point adhérent à <math>\mathcal D</math>.

Si pour tout <math>n</math>, <math>\ell_n=\lim_af_n</math> existe, alors les deux limites <math>\lim_af</math> et <math>\lim_{n\to+\infty}\ell_n</math> existent et sont égales, autrement dit :
{{Encadre|class=center|contenu=<math>\lim_{x\to a} \left(\lim_{n\to +\infty} f_n (x)\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)</math>.}}
}}
La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des [[Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées#Suite de Cauchy|suites de Cauchy]] dans <math>\R</math>. Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|« Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie]] (de niveau 16).

{{Démonstration déroulante|contenu=
Par hypothèse, pour tout <math>\varepsilon>0</math> :
*puisque <math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> : <math>\exist n_{\varepsilon}\in\N\quad\forall x\in\mathcal D\quad\forall n\in\N\quad n\ge n_{\varepsilon} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\qquad(*)</math> ;
*puisque <math>\lim_af_n=\ell_n</math> : <math>\forall n\in\N\quad\exist\eta_{\varepsilon,n}>0\quad\forall x\in\mathcal D\quad|x-a|<\eta_{\varepsilon,n} \Rightarrow |f_n(x)-\ell_n| < \varepsilon</math>.

Pour <math>p,q\ge n_{\varepsilon}</math> fixés, on déduit de <math>(*)</math> que <math>\forall x\in\mathcal D\quad|f_p(x)-f_q(x)|<2\varepsilon</math> donc (par passage à la limite quand <math>x\to a</math>) <math>|\ell_p-\ell_q|\le2\varepsilon</math>.

Ceci prouve que la suite <math>(\ell_n)</math> est de Cauchy. Elle admet donc une limite <math>\ell</math>, qui vérifie (par passage à la limite quand <math>q\to +\infty</math>) : <math>\forall p\ge n_{\varepsilon}\quad|\ell_p-\ell|\le2\varepsilon</math>.

Soit <math>\delta_{\varepsilon}=\eta_{\varepsilon,n_\varepsilon}</math>. Pour tout <math>x\in\mathcal D\cap\left]a-\delta_{\varepsilon},a+\delta_{\varepsilon}\right[</math>, on a :
:<math>|f(x)-\ell|\le|f(x)-f_{n_\varepsilon}(x)|+|f_{n_\varepsilon}(x)-\ell_{n_\varepsilon}|+|\ell_{n_\varepsilon}-\ell|<4\varepsilon</math>,
ce qui prouve que <math>\lim_af=\ell</math>.
}}

{{Corollaire
  | contenu = La limite d'une suite uniformément convergente de fonctions continues est continue.
}}
La contraposée de ce corollaire est pariculièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme.
{{Exemple|contenu=On considère une fonction <math>f:[0,1]\to[0,1]</math> strictement croissante telle que <math>f(1)=1</math>. Étudier la convergence (simple et uniforme) de la suite <math>(f^n)</math>.
{{Solution|contenu=<math>(f^n)</math> converge simplement vers la [[Application_(mathématiques)/Définitions#Exemples_d’applications|fonction <math>f</math> indicatrice de <math>\{1\}</math>]], qui est discontinue. La convergence n’est donc pas uniforme. Remarquons qu'on a tout de même <math>\int_0^1f^n\to0=\int_0^1f</math>. En effet, pour tout <math>\varepsilon>0</math>, <math>\int_0^{1-\varepsilon}f^n\to0</math> (par convergence uniforme sur <math>[0,1-\varepsilon]</math> ou simplement par majoration par <math>(1-\varepsilon)f^n(1-\varepsilon)</math>) et <math>\int_{1-\varepsilon}^1f^n\le\varepsilon</math>.
}}
}}

{{Théorème
  | titre   =Théorème d'interversion limite-dérivée
  | contenu = 
Soit <math>f_n,g</math> définies sur un intervalle ouvert <math>\mathcal D \subset \R</math>.

Si :
*<math>(f'_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU}g</math> sur <math>\mathcal D</math> ;
* il existe un point <math>a\in\mathcal D</math> tel que <math>\left( f_n \left(a \right) \right)</math> converge ;
alors :
*la suite <math>\left( f_n \right)</math> converge simplement vers une fonction <math>f</math> définie sur <math>\mathcal D</math> (la convergence est même uniforme sur tout sous-intervalle borné de {{nobr|<math>\mathcal D</math>) ;}}
* cette fonction <math>f</math> est dérivable et <math>f'= g</math>, autrement dit :
{{Encadre|class=center|contenu=<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_n \right)</math>}}.
}}
(Si les <math>f'_n</math> sont continues, <math>f'</math> le sera donc également.)
{{Démonstration déroulante|contenu=[[Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Théorème de différentiation terme à terme]]
}}
{{Exemple|contenu=Pour <math>n\in\N</math> et <math>x\in[0,\pi/2]</math>, on note <math>f_n(x)=n\cos^nx\sin x</math>.

Montrer que la suite de fonctions <math>(f_n)</math> converge simplement mais pas uniformément.
{{Solution|contenu=
<math>f_n(0)=0</math> et pour tout <math>x\in\left]0,\pi/2\right]</math>, <math>f_n(x)\to0</math> (par croissances comparées). Cependant, <math>\int_0^{\pi/2}f_n=\int_1^0nt^n\,(-\mathrm dt)=\frac n{n+1}\to1</math>. La convergence de <math>(f_n)</math> vers <math>0</math> n'est donc pas uniforme sur <math>[0,\pi/2]</math> (elle l'est seulement sur <math>[\varepsilon,\pi/2]</math> pour tout <math>\varepsilon>0</math>). C'est même pire et l'on peut d'ailleurs le redémontrer directement : <math>\forall x\in[0,\pi/2]\quad0\le f_n(x)\le f_n\left(\arctan\frac1\sqrt n\right)</math> donc <math>\|f_n\|_\infty=\sqrt n\left(1+\frac1n\right)^{-\frac{n+1}2}\sim\sqrt\frac n{\mathrm e}\to+\infty</math>.
}}
}}


{{Théorème
  | titre   = Théorème d'interversion limite-intégrale
  | contenu =
Soit <math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> et soient <math>a<b \in \mathcal D</math>. On suppose de plus que <math>f_n</math> est continue par morceaux sur <math>[a,b]\subset \mathcal D</math> pour tout <math>n\in\N</math>.

Alors :

{{Encadre|class=center|contenu=<math>\int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n (x)\;\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\;\mathrm{d}x</math>.}}
}}
C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au [[Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Le théorème fondamental de l'analyse : lien intégrale-primitives|théorème fondamental de l'analyse]].

{{Avertissement|Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme d'une suite de fonctions n'implique pas la convergence de la suite de leurs intégrales.

Exemple : soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction bornée, intégrable et d'intégrale non nulle. Posons <math>f_n(x)=\frac1nf\left(\frac xn\right)</math>.

Alors, <math>\|f_n\|_\infty=\frac1n\|f\|_\infty\to0</math> mais <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f_n=\int_{-\infty}^{+\infty}f\ne0</math>.
}}

Enfin, on a le

{{Théorème
  | titre   = Théorème de convergence dominée (Lebesgue)
  | contenu =
Si :
* <math>f_n</math> est continue par morceaux sur <math>[a,b]</math> pour tout <math>n\in\N</math> ;
* la suite de fonctions <math>(f_n)</math> converge simplement vers une fonction <math>f</math> continue par morceaux sur <math>[a,b]</math> ;
* il existe une fonction <math>g</math> continue par morceaux sur <math>[a,b]</math> telle que : 
<div style="text-align: center;"><math>\forall n \in\N\quad\forall x\in[a,b]\quad|f_n(x)|\le g(x)</math> '''(hypothèse de domination)''' ;</div>

alors

{{Encadre|class=center|contenu=<math>\int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n (x)\;\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\;\mathrm{d}x</math>.}}
}}

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