Voir la source de Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège

{{Leçon du jour
  | idfaculté      = mathématiques
  | département    = Géométrie
  | niveau         = 9
  | autres projets = oui
  | w              = Méthodologie
}}
Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

= Propriétés des symétries =

== Axiomes ==

==== Par deux points distincts, il passe une et une seule droite  ====

==== Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée  ====

==== Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée  ====

==== La symétrie axiale ne change pas les longueurs  ====
Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite (d), alors AB = A'B'

==== La symétrie axiale ne change pas les angles  ====
Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite (d), alors : <math>\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}</math>

==== Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu  ====
Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

== Parallèles et sécantes  ==

==== Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (strictement parallèles), soit tous (parallèles et confondues)  ====

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : [[#Par deux points distincts, il passe une et une seule droite|"Par deux points distincts, il passe une et une seule droite"]].

==== Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre  ====

==== Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre  ====

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit : 
* parallèle : dans ce cas l'autre le serait aussi.
* confondue : mais alors elle ne pourrait pas être sécante à la première.

== Autres propriétés des symétries axiales  ==
==== Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie. ====
Évident par définition de la symétrie axiale.
 
==== L'image, par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe, est parallèle à la droite d'origine  ====

Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'. 
Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

== Droites parallèles et perpendiculaires  ==


==== Si deux droites distinctes sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont strictement parallèles entre elles.  ====
(d) et (d') sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : [[#Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie|"Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie"]], (d) et (d') sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O'  est le symétrique de O par rapport à (AB) et appartient aussi à (d) et à (d'). Ces deux droites ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

==== Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre  ====
Soit (d) et (d') les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :[[#Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre|"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre"]]. 
Soit <math>\delta</math> la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à (d) et <math>\delta</math> qui sont donc parallèles d’après la propriété : [[#Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles|"Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles"]]. 
Mais alors l’image de (d) par rapport à <math>\delta</math> est parallèle à (d) (d'après la propriété : [[#L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine|"L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"]]), et passe par B. De plus par l'axiome : [[#La symétrie axiale ne change pas les angles|"La symétrie axiale ne change pas les angles"]] et l'axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée"]] elle est égale à (d'). Donc (d') est parallèle à (d).

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