Voir la source de Série numérique/Séries à termes positifs

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Rappels/]]
  | suivant   = [[../Convergence absolue/]]
  | niveau    = 15
  | page_liée = Exercices/Exemple de télescopage
  | page_liée2 = Exercices/Cauchy et d'Alembert
}}

== Le théorème de comparaison et ses applications  ==
On remarquera l'analogie avec les [[Intégration de Riemann/Intégrales généralisées|intégrales généralisées]].

{{Lemme
  | contenu =
Soit <math>\sum u_n</math> une série numérique à termes positifs (<math>\forall n\in\N\quad u_n\ge0</math>).

<math>\sum u_n</math> converge si et seulement si la suite des sommes partielles <math>(S_n)</math> est majorée.
}}
{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Cela découle directement du [[Approfondissement sur les suites numériques/Convergence#Théorème de la limite monotone|théorème de la limite monotone]] appliqué à la suite <math>(S_n)</math> : comme <math>u_n = S_{n+1}-S_n \ge 0</math>, cette suite est croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée.
}}

Voici maintenant l'un des principaux théorèmes d'étude des séries '''à termes positifs'''.

{{Théorème
  | titre   = Théorème de comparaison (séries numériques)
  | contenu =
Soient <math>\sum u_n</math> et <math>\sum v_n</math> des séries '''à termes positifs''' telles que, à partir d'un certain rang, <math>u_n\le v_n</math>.
* Si <math>\sum v_n</math> converge, alors <math>\sum u_n</math> converge.
* Si <math>\sum u_n</math> diverge, alors <math>\sum v_n</math> diverge.
}}
{{Démonstration déroulante
  | contenu =
La deuxième assertion est la contraposée de la première.

Supposons, sans perte de généralité, que <math>u_n\le v_n</math> pour tout <math>n\in\N</math>, et notons <math>(U_n)</math> et <math>(V_n)</math> les suites des sommes partielles associées, respectivement, à <math>\sum u_n</math> et <math>\sum v_n</math>.

Si <math>\sum v_n</math> converge, alors <math>(V_n)</math> est majorée, d’après le lemme. Mais <math>u_n \le v_n \Rightarrow U_n \le V_n</math> donc si <math>(V_n)</math> est majorée, alors <math>(U_n)</math> aussi, ce qui implique, d’après le lemme, que <math>\sum u_n</math> converge, ce qui est le résultat voulu.
}}


{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
*Montrer que <math>\sum\mathrm e^{-n^2}</math> converge.
{{Solution|contenu=
Pour tout <math>n\in\N</math>, on a <math>n\le n^2</math> donc <math>0<\mathrm e^{-n^2}\le\mathrm e^{-n}</math>.

Or <math>\sum\mathrm e^{-n}=\sum\left(\frac1{\mathrm e}\right)^n</math> est une [[../Introduction#Exemple : série géométrique|série géométrique convergente]] car <math>\frac1{\mathrm e}<1</math>. Le théorème de comparaison donne alors le résultat.
}}
*Sachant que [[../Exercices/Série harmonique#Exercice 1|la série harmonique <math>\sum\frac1n</math> diverge]], montrer que la série de [[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Riemann]] <math>\sum\frac1{n^\alpha}</math> diverge aussi lorsque le réel <math>\alpha</math> est inférieur à <math>1</math>.
{{Solution|contenu=Si <math>\alpha\le1</math> alors pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\frac1{n^\alpha}\ge\frac1n>0</math>.
}}
}}

{{Corollaire
  | titre   = Corollaire : séries et relations de comparaison
  | contenu = 
Soit <math>\sum v_n</math> une série '''à termes positifs'''.
* Si <math>u_n \underset{+\infty}{=} O(v_n)</math>, alors <math>\sum v_n\text{ converge }\Rightarrow \sum u_n\text{ converge}</math>.
* Si <math>u_n \underset{+\infty}{\sim} v_n</math>, alors <math>\sum v_n\text{ converge }\iff \sum u_n\text{ converge}</math>.
}}

La démonstration repose sur le théorème de comparaison et la définition des [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|relations de comparaison]].

{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
*Étudier la nature de la série <math>\sum\frac{2^n-3}{4^n+7}</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac{2^n-3}{4^n+7}\sim\frac{2^n}{4^n}=\frac1{2^n}>0</math> donc la série converge car <math>\sum\frac1{2^n}</math> est une série géométrique convergente.
}}
*Soit <math>\left(t_n\right)</math> une suite réelle telle que <math>t_n=O\left(r^n\right)</math> pour un certain <math>r\in\left[0,1\right[</math>. Montrer que <math>\sum\left|\sin t_n\right|</math> converge.
{{Solution|contenu=<math>\left|\sin t_n\right|\le\left|t_n\right|</math> et il existe <math>M</math> tel que <math>\left|t_n\right|\le Mr^n</math>, or <math>\sum Mr^n</math> est une série géométrique convergente.
}}
*La série de Riemann <math>\sum\frac1{n^\alpha}</math> converge si (et seulement si) le réel <math>\alpha</math> est strictement supérieur à <math>1</math> : voir l'exercice lié.{{CfExo
  | idfaculté = mathématiques
  | exercice  = [[../Exercices/Exemple de télescopage#Exercice 1|Exemple de télescopage, exercice 1]]
}}
:Signalons par ailleurs que l'on sait calculer les sommes <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> lorsque <math>\alpha</math> est un entier pair (cf. [[Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta]]), la plus connue étant <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>.
*Montrer que <math>\sum\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)</math> converge.
{{Solution|contenu=
Toute série est de même nature que son opposée.

<math>-\ln \left(1-\frac1{n^2}\right)\sim\frac1{n^2}>0</math> donc il y a bien convergence car <math>\sum\frac1{n^2}</math> est une série de Riemann convergente.
}}
}}

== Règles de D'Alembert et de Cauchy  ==

{{Théorème|titre=Règle de [[w:Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]]|contenu ={{Wikipédia|Règle de d'Alembert}}
Soit <math>\sum u_n</math> une série '''à termes strictement positifs'''. On note <math>\ell</math> et <math>L</math> les [[w:Limites inférieure et supérieure|limites inférieure et supérieure]] des quotients successifs :
:<math>0\le\ell:=\liminf\frac{u_{n+1}}{u_n}\le L:=\limsup\frac{u_{n+1}}{u_n}\le+\infty</math><!--y compris +\infty-->.
* Si <math>L<1</math> alors <math>\sum u_n</math> converge.
* Si <math>\ell>1</math>, alors <math>\sum u_n</math> diverge grossièrement.
(Si <math>\ell\le1\le L</math>, on ne peut rien conclure.)
}}
Lorsque la suite <math>\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)</math> admet une limite <math>\lambda</math>, l'énoncé se simplifie car <math>\ell=\lambda=L</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si <math>L<1</math>, soit <math>q</math> un réel tel que <math>L<q<1</math>. Puisque <math>L<q</math>, à partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u_{n+1}/u_n\le q</math>. Ainsi, la suite <math>\left(u_n\right)_{n\ge N}</math> est majorée par la [[Suites et récurrence/Limite d'une suite#Limite d'une suite géométrique|suite géométrique]] <math>\left(u_Nq^{n-N}\right)_{n\ge N}</math>. Et puisque <math>q<1</math>, la [[../Introduction#Exemple : série géométrique|série géométrique]] converge donc [[#Le théorème de comparaison et ses applications|par comparaison]], <math>\sum u_n</math> converge.

Si <math>\ell>1</math> alors, à partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u_{n+1}/u_n\ge1</math>, autrement dit : la suite <math>\left(u_n\right)_{n\ge N}</math> est croissante, donc <math>u_n\ge u_N>0</math>. Par conséquent, la suite <math>\left(u_n\right)</math> ne tend pas vers <math>0</math>.
}}

On utilise cette règle quand l’expression de <math>u_n</math> comporte des produits ou des quotients : voir l'exercice lié.{{CfExo
  | idfaculté = mathématiques
  | exercice  = [[../Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2|Cauchy et d'Alembert, exercice 2]]
}}

{{Théorème|titre=Règle de [[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Cauchy]]|contenu={{Wikipédia|Règle de Cauchy}}
Soit <math>\sum u_n</math> une série '''à termes positifs'''. On considère la ''limite supérieure''
<div style="text-align: center;"><math>p:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}</math></div>.
* Si <math>p<1</math>, alors <math>\sum u_n</math> converge.
* Si <math>p>1</math>, alors <math>\sum u_n</math> diverge grossièrement.
(Si <math>p= 1</math>, on ne peut pas conclure.)
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
* Si <math>p<1</math>, soit <math>q</math> un réel tel que <math>p<q<1</math>. Puisque <math>p<q</math>, à partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u_n^{1/n}\le q</math>. Ainsi, la suite <math>\left(u_n\right)_{n\ge N}</math> est majorée par la [[Suites et récurrence/Limite d'une suite#Limite d'une suite géométrique|suite géométrique]] <math>\left(q^n\right)_{n\ge N}</math>. Et puisque <math>q<1</math>, la [[../Introduction#Exemple : série géométrique|série géométrique]] converge donc [[#Le théorème de comparaison et ses applications|par comparaison]], <math>\sum u_n</math> converge.
* Si <math>p>1</math>, il existe une infinité de valeurs ''n'' telles que <math>u_n^{1/n}\ge1</math>, donc telles que <math>u_n\ge1</math>. Par conséquent, la suite <math>\left(u_n\right)</math> ne tend pas vers <math>0</math>.
}}

On utilise cette règle quand l’expression de <math>u_n</math> comporte des puissances <math>n</math>-ièmes : voir l'exercice lié.{{CfExo
  | idfaculté = mathématiques
  | exercice  = [[../Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 3|Cauchy et d'Alembert, exercice 3]]
}}
{{Remarque|contenu=
Lorsque la suite <math>(\sqrt[n]{u_n})</math> admet une limite <math>\lambda</math>, [[Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Le théorème de Cesàro|en particulier lorsque la suite <math>\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)</math> admet une limite <math>\lambda</math>]], on a <math>p=\lambda</math>.
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Rappels/]]
  | suivant   = [[../Convergence absolue/]]
}}