Voir la source de Recherche:Une recherche sur quelques nombres premiers

{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Théorie des nombres
  | niveau      = 14
  | titre       = La relation entre 3 et quelques certains nombres premiers
}}

== Présentation :  ==

Bonjour , dans cette page je vais donner des explications exactes sur une relation que "j'ai découvert" entre 3 et quelques nombres premiers grands, j'espère que ça servira en quelque chose.

== I ) Trois à la puissance un nombre premier et la distance entre lui et le proche nombre premier :  ==

=== 1) un tableau d'observation: ===
Ici je vais présenter mes observations. en parcourant de très grands, nombres , je ne vais afficher que les 6 derniers chiffres , vu que les autres chiffres seront identiques . (les points de suspension veut dire que le nombre des chiffres est très élevé 

{| class="wikitable"
|-
|''' Nombre premier noté <math>p_i</math>'''|| '''<math>3^{p_i}</math> ''' || '''la distance entre <math>3^{p_i}</math> et le prochain nombre premier''' || '''le prochain nombre premier''' || '''la distance entre <math>3^{p_i}</math> et le dernier nombre premier avant''' || '''le dernier nombre premier avant''' 
|-

|'''<math>2</math> '''|| '''<math>3^2</math> = 9''' || '''2''' || '''11''' || '''2''' || '''7''' 
|-

|'''<math>3</math> '''|| '''<math>3^3</math> = 27''' || '''2''' || '''29''' || '''4''' || '''23''' 
|-

|'''<math>5</math> '''|| '''<math>3^5</math> = 243''' || '''8''' || '''251''' || '''2''' || '''241''' 
|-

|'''<math>7</math> '''|| '''<math>3^7</math> = 2187''' || '''16''' || '''2203''' || '''8''' || '''2179''' 
|-

|'''<math>11</math> '''|| '''<math>3^{11}</math> = 117 147''' || '''16''' || '''117 163''' || '''14''' || '''117 133''' 
|-

|'''<math>13</math> '''|| '''<math>3^{13}</math> = 1 594 323''' || '''8''' || '''1 594 331''' || '''22''' || '''1 594 301''' 
|-

|'''<math>17</math> '''|| '''<math>3^{17}</math> = 129 140 163''' || '''34''' || '''129 140 197''' || '''4''' || '''129 140 159''' 
|-

|'''<math>19</math> '''|| '''<math>3^{19}</math> = 1 162 261 467''' || '''56''' || '''1 162 261 523''' || '''14''' || '''1 162 261 453''' 
|-

|'''<math>23</math> '''|| '''<math>3^{23}</math> = ...... 178 827''' || '''32''' || '''...178 859''' || '''20''' || '''...178 807''' 
|-

|'''<math>29</math> '''|| '''<math>3^{29}</math> = ...... 364 883''' || '''30''' || '''...365 013''' || '''14''' || '''...364 869''' 
|-

|'''<math>31</math> '''|| '''<math>3^{31}</math> = ...... 283 947''' || '''16''' || '''...283 963''' || '''4''' || '''...283 943''' 
|-

|'''<math>37</math> '''|| '''<math>3^{37}</math> = ...... 997 363''' || '''50''' || '''...997 413''' || '''2''' || '''...997 361''' 
|-

|'''<math>41</math> '''|| '''<math>3^{41}</math> = ...... 786 403''' || '''70''' || '''...786 473''' || '''2''' || '''...786 401''' 
|-

|'''<math>43</math> '''|| '''<math>3^{43}</math> = ...... 077 627''' || '''52''' || '''...077 679''' || '''74''' || '''...077 553''' 
|-

|'''<math>47</math> '''|| '''<math>3^{47}</math> = ...... 287 787''' || '''52''' || '''...287 839''' || '''46''' || '''...287 741''' 
|-

|'''<math>53</math> '''|| '''<math>3^{53}</math> = ...... 796 723''' || '''26''' || '''...796 749''' || '''4''' || '''...796 719''' 
|-

|'''<math>59</math> '''|| '''<math>3^{59}</math> = ...... 811 067''' || '''64''' || '''...811 131''' || '''38''' || '''...811 029''' 
|-

|'''<math>61</math> '''|| '''<math>3^{61}</math> = ...... 299 603''' || '''34''' || '''...299 637''' || '''74''' || '''...299 529''' 
|-

|'''<math>67</math> '''|| '''<math>3^{67}</math> = ...... 410 587''' || '''230''' || '''...410 817''' || '''298''' || '''...410 289''' 
|-

|'''<math>71</math> '''|| '''<math>3^{71}</math> = ...... 257 547''' || '''20''' || '''...257 567''' || '''20''' || '''...257 527''' 
|-

|}

Le tableau chez moi est étendu jusqu'à <math>3^{257}</math> qui a une valeur approximative à 120-128 chiffres ; donc depuis maintenant je vais parler du tableau qui est chez moi .

=== 2) Remarques:  ===

==== Constat 1 :  ====

Soit p, p' les nombres premiers (le plus grand nombre premier proche de <math>3^{p_i}</math> , resp le plus petit nombre premier proche de <math>3^{p_i}</math> ; et r,r' les distances entre <math>3^{p_i}</math> et p (resp p')

d'après le tableau on en déduit que :

                                          p - r <math><  3^{p_i} < </math>  p' + r’


Non seulement ça , mais on remarque aussi que <math>r < 3*{p_i}</math> où <math> r' < 3*{p_i}</math> ; sauf le cas de <math>3^{67}</math> lequel r' est <math>< 4*{67}</math> et r <math>< 5*{67}</math> 

On va laisser r de côté maintenant , on va maintenant nous intéresser au côté droit de <math>3*{p_i}</math> , et passons aux choses sérieuses.


pour tout les <math>{p_i}</math> compris entre 2 et 257 - Sauf 67 - on a '''" L'existence d'au moins "''' un nombre premier P dans l'intervalle <math>[| 3^{p_i} - 3*{p_i} </math>; <math>3^{p_i} + 3*{p_i} |]</math> ainsi :

                                     |<math>P - 3^{p_i}</math>| < <math>3*{p_i}</math>

==== Résultat 1 :  ====

Quelque soit <math>{p_i}</math> nombre premier , il existe au moins un nombre premier compris entre <math>[| 3^{p_i} - k*{p_i} </math>; <math>3^{p_i} + k*{p_i} |]</math> tel que k est un nombre entier naturel non nul , et ce k augmente de 1 a chaque fois qu'on trouve un nombre premier <math>{p_i}</math> tel que : |<math>P - 3^{p_i}</math>| < <math>k*{p_i}</math>



=== 3) Une relation entre <math>{p_i}</math> et P :  ===

==== Rappel :  ====

{{Théorème|contenu = Le petit théorème de Fermat :
« si ''p'' est un nombre premier et si ''a'' est un entier non divisible par ''p'', alors ''a''&nbsp;<sup>''p''–1</sup>&nbsp;–&nbsp;1 est un multiple de ''p''. ». Autrement dit, sous les mêmes conditions sur ''a'' et ''p'' :

<div style="text-align: center;"><math> a^{p-1}-1\equiv 0 \pmod p.</math></div>

Autrement dit : <div style="text-align: center;"><math> a^{p}\equiv a \pmod p.</math></div>}}

==== La relation :  ====

Soit P le nombre premier cité en haut tel que : <math>P = 3^{p_i} + r'</math> ; Soit 3 le nombre '''"a"''' sachant que quelques soit <math>{p_i}</math>, 3 est premier avec <math>{p_i}</math> sauf <math>{p_i}</math> = 3 : 


* '''Si <math>{p_i}\neq 3</math>''' : 
Alors on applique le théorème de Fermat on trouve que : 
<div style="text-align: center;"><math> 3^{p_i}\equiv 3 \pmod {p_i}.</math></div>
<=> <div style="text-align: center;"><math> P\equiv 3+r' \pmod {p_i}.</math></div>

Ici on peut rien conclure , on aura 2 cas : 


'''Si <math>3 + r' < {p_i}</math>''' :

Alors la division euclidienne s'écrit sous forme : <div style="text-align: center;"><math> \exists q \in \mathbb{N^{*}} : P = {p_i} * q + (3+r')</math></div>
avec <math>0\leqslant3+r'<{p_i}</math>




'''Si <math>3 + r' > {p_i}</math>''' : 

Alors <div style="text-align: center;"><math> \exists q' \in \mathbb{N^{*}} : 3 + r' = {p_i} * q' + r'' </math></div> avec <math>0\leqslant r''<{p_i}</math>, donc on peut en conclure que : 


<div style="text-align: center;"><math> \exists q'' = (q+ q') \in \mathbb{N^{*}} : P = {p_i} * q'' + r''</math></div> avec <math>0\leqslant r''<{p_i}</math>
* '''Si <math>{p_i} = 3</math> ''' :

On a <math>3^{3} = 27 \equiv 0 \pmod {3}</math> ; r' = 2 < 3 

donc il existe un unique q tel que 29 = 3*q + 3 + 2 => 24 = 3*q = > q = 8 juste

==== Résultat :  ====

Ainsi on a montré que :


Quelque soit <math>{p_i}</math> nombre premier , il existe un unique nombre premier qui est le plus proche et plus grand que <math>3^{p_i}</math> d'une distance unique R tel que <math>P = 3^{p_i} +  R </math> 
Alors on a : 

1) Si R > <math>{p_i}</math> alors : <math>\exists !q'' = (q+ q') \in \mathbb{N^{*}} : P = {p_i} * q'' + R'</math> tel que 
<math>0\leqslant R'<{p_i}</math> et <math> R + 3 = {pi}*q + R'</math> .
ainsi: <div style="text-align: center;"><math>P \equiv R' \pmod {p_i}</math></div>


2) Si R < <math>{p_i}</math> alors :<math>\exists !q \in \mathbb{N^{*}} : P = {p_i} * q + (3 + R) </math> tel que 
<math>0\leqslant R+3<{p_i}</math>.
ainsi: <div style="text-align: center;"><math>P \equiv R + 3 \pmod {p_i}</math></div>


== II ) Conjecture division euclidienne entre 2 nombres premiers :  ==

En attente de contre-exemple ou de démonstration :

<math>\forall p \in \mathbb{P} ; p \geqslant 5 ; \exists {p_1},{p_2}\in \mathbb{P} ; \exists r \in \mathbb{N^{*}} : p = ({p_1}\times {p_2}) + r \qquad\qquad 0\leqslant r < max({p_1},{p_2}) </math>

== III) La relation entre phi (le nombre d'or) et quelques nombres premiers : ==

=== 1) Présentation : ===
Bonjour

Ici je vais présenter la relation entre le nombre d'or a la puissance d'un premier et quelques nombres premiers que j'ai découvert, en utilisant la partie entière d'un nombre réel et parfois l'arrondissement . 

L'arrondissement d'un nombre réel est le plus proche entier naturel de lui . 

La partie réel d'un nombre réel x est le plus proche entier naturel à gauche, notée E(x). 

phi = '''φ''' = <math>\frac{(1+\surd5)}{2}=1.6180339887498948</math> 

=== 2) Un tableau d'observation : ===
{| class="wikitable"
!<math>{p_i}</math>
!phi à la puissance <math>{p_i}</math>
!le plus proche premier à gauche
!le plus proche premier à droite
|-
|2
|2.6180
|'''2'''
|'''3'''
|-
|3
|4.2360
|3
|'''5'''
|-
|5
|11.0901
|'''11'''
|13
|-
|7
|29.0344
|'''29'''
|31
|-
|11
|199.0050
|'''199'''
|211
|-
|13
|521.00191
|'''521'''
|523
|-
|17
|3571.00028
|'''3571'''
|3581
|-
|19
|9349.000106
|'''9349'''
|9371
|-
|23
|64079.00001560
|64067
|64081
|-
|29
|1149851.00000086
|1149817
|1149857
|-
|31
|3010349.000000332
|'''3010349'''
|3010363
|-
|37
|54018521.0000000185
|'''54018521'''
|54018533
|-
|41
|370248451.0000000027
|'''370248451'''
|370248479
|-
|43
|969323029.0000000010
|969323023
|969323099
|-
|47
|6643838879.000000000133
|'''6643838879'''
|6643838893
|-
|53
|119218851370.99999999966
|119218851343
|'''119218851371'''
|-
|59
|2139295485798.9999999932
|2139295485773
|2139295485841
|-
|61
|5600748293800.99999998
|5600748293771
|'''5600748293801'''
|-
|67
|100501350283428.99999963
|100501350283351
|100501350283483
|-
|71
|688846502588398.9999973
|688846502588389
|'''688846502588399'''
|-
|73
|1803423556807920.9999929
|1803423556807919
|1803423556807967
|-
|79
|32361122672259148.99986
|32361122672259113
|'''32361122672259149'''
|-
|83
|221806434537978678.99901
|221806434537978659
|221806434537978743
|-
|89
|3980154972736918050.98098
|3980154972736917991
|3980154972736918117
|-
|97
|186982561199565069120.02663
|186982561199565069109
|186982561199565069163
|-
|101
|1281597540372340914244.0533
|1281597540372340914113
|1281597540372340914377
|-
|103
|3355265920593054081610.4532
|3355265920593054081547
|3355265920593054081631
|-
|107
|22997334743627409910146.9418
|22997334743627409910141
|22997334743627409910219
|-
|109
|60207804009475408399848.8049
|60207804009475408399733
|60207804009475408399859
|-
|113
|412670427844921037468268.4325
|412670427844921037468267
|412670427844921037468293
|-
|127
|347880681146567910616827793.65
|347880681146567910616827707
|347880681146567910616827859
|-
|131
|2384409660666970679762805428.430
|2384409660666970679762805421
|'''2384409660666970679762805529'''
|}

=== 3) Remarques : ===
D'abord ce tableau est limité au nombre premier 131 , les tests entre 137 et 521 ont tous échoués dommage .

On remarque que parfois , en prenant un nombre premier <math>{p_i}</math>, on obtient que <math>E(\varphi^{\displaystyle {p_{i}}} )</math> est un nombre premier , dans le tableau on trouve 11 nombres qui réalisent la relation

Parfois aussi , en prenant un nombre premier <math>{p_i}</math>, l'arrondissement de  <math>\varphi^{\displaystyle {p_{i}}} </math> est un nombre premier , on trouve dans le tableau 15 cas .

et enfin , dans quelques cas , le nombre entier le plus proche de <math>\varphi^{\displaystyle {p_{i}}} </math> à droite est un nombre premier , on trouve 7 cas.

=== 4) Conclusion: ===
On posant <math>\Phi_{p_i} = Arr(\varphi^{p_i})</math> , arr c'est l'arrondissement , 

on trouve que <math>\Phi_{2}</math>,<math>\Phi_{5}</math>,<math>\Phi_{7}</math>,<math>\Phi_{11}</math>,<math>\Phi_{13}</math>,<math>\Phi_{17}</math>,<math>\Phi_{19}</math>,<math>\Phi_{31}</math>,<math>\Phi_{37}</math>,<math>\Phi_{41}</math>,<math>\Phi_{47}</math>,<math>\Phi_{53}</math>,<math>\Phi_{61}</math>,<math>\Phi_{71}</math>,<math>\Phi_{79}</math>, sont les nombre premiers qui réalisent la relation en dessus , pour <math>{p_i}</math> entre 2 et 521 , en attendant quelqu'un qui continue la recherche grâce a un ordinateur qui calcule de très grands nombres

== Références ==
{{références|colonnes=1}}

[[w:Petit_théorème_de_Fermat|Petit théorème de Fermat]]

[http://compoasso.free.fr/primelistweb/page/prime/liste_online.php Liste des nombres premiers de 2 à 1 000 000 000 000 (1000 milliards)]

[http://fr.numberempire.com L’Empire des nombres Outils mathématiques ] (utilisé pour générer les 3 puissance pi et trouver le plus proche nombre premier de ce dernier)

[http://web2.0calc.fr/ Calculatrice en ligne ]