Voir la source de Opérations sur les fonctions/Produit et quotient

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Somme et différence/]]
  | suivant   = [[../Composition/]]
  | niveau    = 12
}}


== Produits de fonctions  ==
{{Définition
  | contenu =
Soit <math>u</math> et <math>v</math> deux fonctions définies respectivement sur les ensembles <math>\mathcal{D}u</math> et <math>\mathcal{D}v</math>.
* La fonction <math>\ uv</math> est la fonction définie par <math>\ (uv)(x)=u(x) \times v(x)</math> sur l’ensemble <math>\mathcal{D}u \cap \mathcal{D}v</math>, c'est-à-dire l’ensemble des valeurs communes à <math>\mathcal{D}u~</math> et à <math>\mathcal{D}v~</math>.
}}

=== Exemple ===
* <math>f(x) = 5x - 2</math>

<math>(-3f)(x) = -3f(x) </math>

<math>= -3(5x-2)</math>

{{Encadre
  | contenu =
<math>= -15x + 6</math>
}}

=== Sens de variation de ku  ===
Soient les fonctions suivantes :
[[Fichier:Defaut.svg|right]]
* <math>f_1(x) = x^{2}</math>
* <math>f_2(x) = 2x^{2}</math>
* <math>f_3(x) = 3x^{2}</math>
* <math>f_4(x) = \frac{1}{2}x^{2}</math>

{{Théorème
  | contenu =
* si <math>k > 0</math>, u et ku ont le même sens de variation.
* si <math>k < 0</math>, u et ku ont des sens de variations contraires.
}}


{{Exemple
  | contenu =
<math>f(x) = 5x + 1 - \frac{3}{x}</math>

Déterminer le sens de variation de <math>f</math>.

<math>f = u - 3v</math>
:avec 

<math>u(x) = 5x + 1</math>

<math>v (x) = \frac{1}{x}</math>

''u'', fonction affine avec a = '''5''' est croissante sur <math>]0; +\infty[</math>

''v'', fonction inverse est décroissante sur <math>]0; +\infty[</math> donc -3v est croissante sur <math>]0; +\infty[</math>

:or <math>f = u + (-3v)</math>
:: donc f est la somme de deux fonctions croissante sur <math>]0; +\infty[</math>, donc ''f'' est croissante sur <math>]0; +\infty[</math>
}}

== Quotients de fonctions  ==
{{Définition
  | contenu =
Soit <math>u</math> et <math>v</math> deux fonctions définies respectivement sur les ensembles <math>\mathcal{D}u</math> et <math>\mathcal{D}v</math>.
* La fonction <math>\ {u \over v}</math> est la fonction définie par <math>\ \left ( {u \over v} \right )(x)={u(x) \over v(x)}</math> sur l’ensemble <math>\mathcal{D}u \cap \mathcal{D}v</math> privé de tout <math>\ x</math> tel que <math>\ v(x)=0</math>, c'est-à-dire l’ensemble des valeurs communes à <math>\mathcal{D}u</math> et à <math>\mathcal{D}v</math> avec <math>\ v(x)\ne0</math>.
}}


{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Somme et différence/]]
  | suivant   = [[../Composition/]]
}}