Voir la source de Opérations sur les fonctions/Fonctions associées

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Somme et différence/]]
  | niveau    = 12
}}


== Définition ==

{{Définition
  | contenu =
Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère <math>(O;\vec i,\vec j)</math> est notée <math>\mathcal C_f</math>.

On appelle '''fonction associée à ƒ''' toute fonction ''g'' dont la représentation graphique <math>\mathcal C_g</math> est obtenue par une transformation simple de <math>\mathcal C_f</math>.
}}

== Fonctions associées courantes  ==

Dans toute cette page, <math>k\in\R</math>

=== g(x) = f(x) + k ===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(x)+k</math>

<math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la translation de vecteur <math>k\,\vec j</math>}}


[[Fichier:Fonction math01.png]]

=== g(x) = f(x + k)===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(x+k)</math>

<math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la translation de vecteur <math>-k\,\vec i</math>}}


[[Fichier:Fonction math02.png]]

=== g(x) = -f(x) ===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto -f(x)</math>

<math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Ox)}}


[[Fichier:Fonction math5.png]]

=== g(x) = f(-x)===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(-x)</math>

<math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Oy)}}


[[Fichier:Fonction math6.png]]

=== g(x) = |f(x)| ===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto |f(x)|</math>

On a alors :
* <math>g(x) = f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f</math> est au-dessus de (Ox)
* <math>g(x) = -f(x) \Leftrightarrow f(x)\leq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f</math> est en-dessous de (Ox)

On aboutit à la transformation suivante :
* Si <math>\mathcal C_f</math> est au-dessus de (Ox), <math>\mathcal C_g</math> correspond à <math>\mathcal C_f</math>
* Si <math>\mathcal C_f</math> est en-dessous de (Ox), <math>\mathcal C_g</math> est l’image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Ox)}}


[[Fichier:Fonction math03.png]]

=== g(x) = f(|x|) ===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(|x|)</math>

On a alors pour tout <math>x,~g(-x)= f(|-x|) = f(|x|) =  g(x)</math>, donc '''''g'' est paire'''.

(Oy) est donc axe de symétrie pour la courbe <math>\mathcal C_g</math>.

On a donc :
* <math>\mathcal C_g</math> coïncide avec <math>\mathcal C_f</math> sur <math>\R^+</math>
* On complète le tracé de <math>\mathcal C_g</math> en faisant la symétrie par rapport à l’axe (Oy).}}


[[Fichier:Fonction math04.png]]

=== g(x) = k × f(x), affinité===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto k\cdot f(x)</math>

<math>\mathcal C_g</math> s’obtient en multipliant par ''k'' les ordonnées des points de <math>\mathcal C_f</math>.

On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens vertical.}}


[[Fichier:Fonction math7.png]]

=== g(x) = f(kx) ===

{{Théorème
  | contenu=
Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(kx)</math>

<math>\mathcal C_g</math> s’obtient en divisant par ''k'' les abscisses des points de <math>\mathcal C_f</math>.

On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens horizontal.}}


[[Fichier:Fonction math8.png]]


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  | idfaculté = mathématiques
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}}