Voir la source de Ondes électromagnétiques/Interface diélectrique-métal, ondes stationnaires

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Interface entre deux diélectriques/]]
  | suivant   = [[../Rayonnement dipolaire/]]
  | numéro    = 8
  | niveau    = 15
}}

__TOC__

On se placera dans la jauge de Lorenz. L'origine du repère utilisé est un point O situé à la surface de séparation entre les deux milieux considérés. Le point courant est noté M et repéré par le vecteur <math>\overrightarrow{\rm OM}=\vec r</math>.

== Réflexion sur un métal parfait  ==

=== Lois de Snell-Descartes  ===

[[Fichier:Defaut.svg|thumb|Modèle de la surface métallique]]
On étudie le comportement d'une onde électromagnétique :
* plane
* progressive, se propageant dans la direction <math>\vec u_i</math>
* monochromatique, de pulsation ω
* polarisée rectilignement

à l'interface entre :
* un milieu diélectrique LHI d'indice optique ''n''
* un métal parfait

le tout dans les hypothèses suivantes :
* sans charges ni courants volumiques
* milieux non absorbants
* milieux non magnétiques

On note :
* <math>k_0=\frac\omega c</math> le nombre d'onde dans le vide de cette onde
* <math>k=n\, k_0</math> le nombre d'onde de cette même onde dans le délectrique
* <math>\vec n</math> la normale au dioptre au lieu d'incidence

L'onde incidente a pour vecteur d'onde <math>\vec k_i=k\vec u_i</math>. L'angle d'incidence que <math>\vec k_i</math> forme avec la normale au dioptre est noté ''i''.

L'expérience montre qu’il se forme alors une onde réfléchie plane, progressive, monochromatique de même pulsation ω, de vecteur d'onde <math>\vec k_r=k\vec u_r</math>. L'angle d'incidence que <math>\vec k_r</math> forme avec la normale au dioptre est noté ''i'''.

Au niveau de la surface de séparation, les champs électrique et magnétique, incident et réfléchi s'écrivent sous la forme générale :
* <math>\vec s_i(\vec r,t)=\vec s_{0i}e^{j(\omega t-\vec k_i\cdot\vec r)}</math>
* <math>\vec s_r(\vec r,t)=\vec s_{0r}e^{j(\omega t-\vec k_r\cdot\vec r)}e^{j\varphi_r}</math>
* <math>\varphi_r</math> ne dépend pas de <math>\vec r</math>

Le déphasage entre l'onde réfléchie et l'onde incidente vaut <math>(\vec k_i-\vec k_r)\cdot\vec r+\varphi_r</math>, qui doit être indépendant de <math>\vec r</math>. Par le même raisonnement que dans le chapitre précédent, on aboutit aux lois suivantes :

{{Théorème
 | titre = Lois de Snell-Descartes
 | contenu =
* '''1° loi de Descartes''' : <math>\vec n,~\vec u_i,~\vec u_r</math> sont dans un même plan
* '''2° loi de Descartes de la réflexion''' : <math>i=-i'</math>}}

=== Incidence normale et courant surfacique  ===

Dans cette section, on se place dans le cas simplifié où l'onde incidente est normale au dioptre. On a alors :
:<math>\begin{cases} i=0\\ i'=0\end{cases}</math>

On se place dans la base <math>(\vec u_x,\vec u_y,\vec u_z)</math> telle que :
* l'onde incidente soit polarisée rectilignement suivant <math>\vec u_y</math>
* le vecteur d'onde de l'onde réfléchie ait même sens et même direction que <math>\vec u_z</math>

;L'onde incidente a :
* pour vecteur d'onde <math>\vec k_i=-nk_0\vec u_z</math>
* pour champ électrique <math>\vec E_i=E_{0i}e^{j(\omega t+nk_0z)}\vec u_y</math>
* pour champ magnétique <math>\vec B_i=B_{0i}e^{j(\omega t+nk_0z)}\vec u_x</math>, où <math>B_{0i}=n\frac{E_{0i}}c</math>

;L'onde réfléchie a :
* pour vecteur d'onde <math>\vec k_r=nk_0\vec u_z</math>
* pour champ électrique <math>\vec E_r=\vec E_{0r}e^{j(\omega t-nk_0z)}e^{j\varphi_r}</math>
* pour champ magnétique <math>\vec B_r=\vec B_{0r}e^{j(\omega t-nk_0z)}e^{j\varphi_r}</math> avec <math>\vec B_{0r}=\frac nc \vec u_z\wedge \vec E_{0r}</math>

Les équations de passage donnent :
* Pour le champ électrique : <math>E_{0i}\vec u_ye^{j\omega t}+\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}e^{j\omega t}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\vec u_z</math>
* Pour le champ magnétique : <math>n\frac{E_{0i}}ce^{j\omega t}\vec u_x+\frac nc\vec u_z\wedge\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}e^{j\omega t}=\mu\vec j_S\wedge\vec u_z</math>

Dans la première équation, on remarque que <math>E_{0i}\vec u_ye^{j\omega t}+\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}e^{j\omega t}\perp \vec u_z</math>, donc <math>\sigma=0</math>.

Cela entraîne <math>E_{0i}\vec u_y=-\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}</math>, donc :
:<math>\begin{cases}\vec E_{0i}=\vec E_{0r} \\ \varphi_r=\pi\end{cases}</math>

On réinjecte cette information dans la deuxième équation :
:<math>\begin{align}
\mu\vec j_S\wedge\vec u_z &= \frac nc e^{j\omega t}\left(E_{0i}\vec u_x-\vec u_z\wedge\vec u_y E_{0i}\right)\\
&= \frac{2n E_{0i} \vec u_x}c e^{j\omega t}
\end{align}</math>

{{CfExo
 | idfaculté = physique
 | exercice  = [[../Exercices/Propagation dans un métal réel|Propagation dans un métal réel]]
}}

{{Théorème
 | titre = Courant surfacique
 | contenu = L'incidence de l'onde électromagnétique sur le métal fait naître un '''courant surfacique''' <math>\vec j_S=\frac{2n}{\mu c}\vec E_{0i}e^{j\omega t}</math>.

Ce courant :
* a même pulsation que l'onde
* est proportionnel au champ électrique incident
* a même direction que ce champ électrique incident}}

Le métal étant supposé parfaitement conducteur, ce courant n'engendre pas de dissipation de puissance dans le métal. De plus, le champ électromagnétique est parfaitement réfléchi. Dans le cas d'un métal réel, les choses sont différentes car une partie du champ est transmise dans le métal et une partie de l'énergie y est perdue. Une étude plus approfondie de ce cas est laissée en exercice.

== Ondes stationnaires  ==

=== Apparition ===

Toujours dans l'hypothèse de l'incidence normale, exprimons le champ électromagnétique dans le milieu diélectrique :
* <math>\underline \vec E=\vec E_i+\vec E_r=2j\sin(nk_0z)E_{0i}e^{j\omega t}\vec u_y</math>
* <math>\underline \vec B=\vec B_i+\vec B_t=2\cos(nk_0z) B_{0i}e^{j\omega t} \vec u_x</math>

Soit, en prenant la partie réelle :
:<math>\begin{cases}
\vec E=2E_{0i}\sin(nk_0z)\cos\left(\omega t+\frac\pi 2\right)\\
\vec B=2B_{0i}\cos(nk_0z)\cos(\omega t)\\
\end{cases}</math>

{{Propriété
 | titre = Onde stationnaire
 | contenu = Dans les expressions du champ électromagnétique dans le diélectrique, le temps et les coordonnées d'espace ne sont plus en argument de la même fonction.

L'onde '''ne se propage plus''' : on ne parle alors plus d'onde progressive mais d''''onde stationnaire'''.}}

On peut visualiser ce résultat sur l'animation ci-dessous, qui représente la superposition des deux ondes se propageant dans le diélectrique :
* l'onde rouge joue le rôle de l'onde incidente, se propageant vers la gauche,
* l'onde bleue joue le rôle de l'onde réfléchie, se propageant vers la droite,
* la superposition est représentée en noir.

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Standing wave 2.gif]]</div>

=== Onde stationnaire entre deux plans parallèles : Quantification du vecteur d'onde  ===

On considère deux plans constitués de métaux parfaits, parallèles, d'équations <math>z=0</math> et <math>z=L</math>, séparés par un milieu diélectrique d'indice optique ''n'' dans lequel la célérité des ondes électromagnétiques vaut ''v''. On cherche à établir une onde électromagnétique stationnaire entre ces deux plans.

On sait que le potentiel vecteur vérifie l'équation <math>\vec\Delta\vec A=\frac1{v^2}\frac{\partial^2\vec A}{\partial t^2}</math>. Au vu de la symétrie du système, on cherche les solutions sous la forme <math>\vec A=A(z)e^{j\omega t}\vec u_x</math>.

L'équation différentielle devient <math>\frac{{\rm d}^2 A}{{\rm d}z^2}+\frac{\omega^2}{v^2}A(z)=0</math>

Les solutions sont donc de la forme <math>A(z)=A_0\sin\left(\frac{\omega }{v}z+\varphi\right)=A_0\sin(kz+\varphi)</math>

Les conditions aux limites sont dictées par le fait que les métaux sont parfaits :
:<math>\begin{cases} A(0)=0 \\ A(L)=0 \end{cases}</math>

Donc
:<math>\begin{cases} A_0\sin(\varphi)=0 \\ A_0\sin(kL+\varphi)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \varphi=0 \\ A_0\sin(kL)=0 \end{cases}</math>

On déduit de la deuxième égalité que <math>\exists m\in\mathbb N^*,~kL=m\pi</math>

{{CfExo
 | idfaculté = physique
 | exercice  = [[../Exercices/Ondes stationnaires/|Ondes stationnaires]]
}}

{{Propriété
 | titre = Quantification du vecteur d'onde
 | contenu = Le vecteur d'onde est '''quantifié''' : <math>k=\frac{m\pi}{L},~m\in\mathbb N^*</math>.

Ainsi, entre deux plans, on ne pourra établir que des ondes de fréquence déterminée.}}

[[Fichier:Harmonicos cordas.png|thumb|Modes d'une corde vibrante]]

En termes de longueur d'onde, la quantification s'écrit <math>L=m\frac{\lambda}2,~m\in\mathbb N^*</math>. On retrouve ainsi le même résultat que pour les modes d'une corde électrique vibrante entre deux points : les seuls modes pouvant s'établir sont les modes pour lesquels la largeur de la cavité est un multiple de la demi-longueur d'onde.

→ Cette quantification du vecteur d'onde est la base de la théorie des [[ondes électromagnétiques guidées]] et des guides d'ondes. C'est également la cause de l’[[w:Effet Casimir|effet Casimir]].

→ [[Fichier:Nuvola apps kalzium.svg|25px]] En [[Département:Mécanique quantique|mécanique quantique]], on retrouve exactement la même problématique pour le cas d'une particule dans un puits de potentiel.

=== Forme des champs  ===

[[Fichier:Standing wave.svg|right]]
Du potentiel vecteur, on déduit le champ électromagnétique :
:<math>\begin{cases}
\vec B=A_0k\cos(kz)\cos(\omega t)\vec u_y\\
\vec E=A_0\omega\sin(kz)\sin(\omega t)\vec u_x
\end{cases}</math>

Topologiquement, on constate que les nœuds du champ électrique sont les ventres du champ magnétique et vice-versa.

De plus, au cours du temps, les champs électrique et magnétique s'échangent de l'énergie : lorsque le champ électrique est identiquement nul dans la cavité, le champ magnétique est maximal et vice-versa.


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