Voir la source de Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../|Sommaire]]  
  | suivant   = [[../Notation différentielle/]]  
  | niveau    = 14
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==  Dérivée d’une fonction à une variable ==
{{Encart|cadre=oui|symbole=[[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]|couleur=8A0808|contenu='''Définition'''  

La [[Fonction dérivée/Nombre dérivé#Définition du nombre dérivé|dérivée en un point]] d’une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante :  <div style="text-align: center;"><math>f\,'(x)=\lim_{u \to 0} \frac{f(x+u)-f(x)}{u}</math>.</div>}}

Il s'agit de la limite quand <math>u</math> tend vers 0 du taux d'accroissement de <math>f</math>.

=== Notations ===
En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. [[Notions sur les différentielles/Notation différentielle|chapitre {{Numéro}}2]]) :
* <math>f\,'=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d x}</math> si la grandeur représentée par la fonction <math>f=f(x)</math> ne dépend que d'une dimension spatiale.
* <math>f\,'=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> ou parfois <math>\dot{f}=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> si la grandeur représentée par la fonction <math>f=f(t)</math> ne dépend que du temps.

=== Dérivée logarithmique ===
{{Encart|cadre=oui|symbole=[[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]|couleur=8A0808|contenu='''Définition'''  

On appelle la ''[[Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)|dérivée logarithmique]]'' d’une fonction à valeurs non nulles la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.}}

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction ''f'' est la dérivée de la fonction ''g'' définie par <math>g(x) = \ln |f(x)| </math>. Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a : <math>g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}</math>

== Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables ==
Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, et <math>t</math> en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

{{Encart|cadre=oui|symbole=[[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]|couleur=8A0808|contenu='''Définition'''  

La dérivée de la fonction <math>f=f(x,y,z,t)</math> par rapport à la variable <math>x</math> est définie par :  <div style="text-align: center;"><math>f^{\,'}_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\delta x \to 0}\frac{f(x+\delta x,y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta x}</math>.</div>}}

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :
: <math>f^{\,'}_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\delta y \to 0}\frac{f(x,y+\delta y,z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta y}</math>,
: <math>f^{\,'}_z=\frac{\partial f}{\partial z}=\lim_{\delta z \to 0}\frac{f(x,y,z+\delta z,t)-f(x,y,z,t)}{\delta z}</math>,
: <math>f^{\,'}_t=\frac{\partial f}{\partial t}=\lim_{\delta t \to 0}\frac{f(x,y,z,t+\delta t)-f(x,y,z,t)}{\delta t}</math>
De telles dérivées sont appelées ''dérivées partielles''. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à  <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, ou <math>t</math>, ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :
: <math>f^{\,''}_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>, <math>f^{\,''}_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}</math>, etc.
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