Voir la source de Moment cinétique en mécanique quantique/Définition et exemples

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 1
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  | niveau    = 16
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== Le moment cinétique orbital  ==

En mécanique classique, le moment cinétique est défini par <math>\vec \mathcal L = \vec r \times \vec p</math>, on définit donc de même en mécanique quantique l'opérateur moment cinétique, dit orbital, par 
:<math>\mathbf L = \mathbf R \times \mathbf P</math>

Soit, composante par composante, 
:<math>L_x = Y \cdot P_z - Z \cdot P_y</math>
:<math>L_y = Z \cdot P_x - X \cdot P_z</math>
:<math>L_z = X \cdot P_y - Y \cdot P_x</math>

'''Remarque''' : On peut définir <math>\mathbf L</math> ainsi, sans avoir à symetriser l'expression, c'est-à-dire à poser <math>\mathbf L = \frac{1}{2} \mathbf R \times \mathbf P -\frac{1}{2} \mathbf P \times \mathbf R</math>, car les différentes composantes commutent (<math>[R_i,P_j]=0~</math> pour <math>i \not= j</math>). En effet, on peut se persuader après calcul que : 
<math>\mathbf L = -\mathbf P \times \mathbf R</math> ( Attention au symbole × qui ne fait pas référence à une multiplication, mais à un produit vectoriel étendu à des observables )

De même qu'en mécanique classique, cet opérateur est très utile, en effet on peut parfois exprimer l'hamiltonnien en fonction de <math>\mathbf L</math>, et par exemple trouver des méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger.

== Définition générale  ==

On remarque (par un calcul facile de commutateurs) que les composantes du moment cinétique orbital vérifient les relations de commutation suivantes :
:<math>[L_x,L_y]=i \hbar L_z</math>
:<math>[L_y,L_z]=i \hbar L_x</math>
:<math>[L_z,L_x]=i \hbar L_y</math>

On verra par la suite (cf. [[../Base des états propres|chapitre 2]]) que ces relations suffisent à déterminer la forme des valeurs propres des ces trois opérateurs. On définit donc un moment cinétique de manière générale :

{{Définition
 | contenu =
Un opérateur hermitien <math>\mathbf J = (J_x,J_y,J_z)</math> est appelé moment cinétique si ses composantes vérifient les relations :
:<math>[J_x,J_y]=i \hbar J_z</math>
:<math>[J_y,J_z]=i \hbar J_x</math>
:<math>[J_z,J_x]=i \hbar J_y</math>
}}

On définit de plus l'opérateur norme au carré du moment cinétique par :
:<math>\mathbf J ^2 = J_x ^2 +J_y ^2 +J_z ^2 </math>

et on vérifie que cet opérateur commute avec les composantes de <math>\mathbf J </math>

== Le spin  ==

== Lien avec les rotations spatiales  ==


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