Voir la source de Machines thermiques/Étude de quelques machines

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Étude théorique/]]
  | suivant   = [[../Cycles thermodynamiques/]]
  | numéro    = 2
  | niveau    = 14
}}

== Les moteurs  ==

=== Définitions ===

{{Définition
  | contenu =

Un '''moteur''' est une machine thermique qui '''produit du travail''' en utilisant la chaleur provenant de la source chaude, mais une partie de cette chaleur part vers la source froide. On a ainsi par rapport au moteur M (en utilisant le convention des signes dite du banquier):
* '''Q₁ > 0'''
* '''Q₂ < 0'''
* '''W < 0'''

Un moteur se représente par le schéma suivant :
[[Fichier:Moteurthermo.png]]
}}


{{Définition
  | contenu =

Le C.O.P. (coefficient de performance) ou '''rendement''' du moteur, noté <math>\rho</math>, est défini par <math>\rho = -\frac{W}{Q_1}</math>

C'est le rapport du travail obtenu par la chaleur fournie par la source chaude. Il est compris entre 0 et 1.
}}

=== Exemple : les sources de chaleur sont des thermostats  ===

Un thermostat est un système qui garde toujours la même température, quelle que soit la quantité de chaleur échangée. Ainsi, T₁ et T₂ sont constants. Puisqu'on a &nbsp; <math>\delta Q = T.dS</math>, on en déduit:
:<math>Q_1 = -T_1.\Delta S_{\sigma_1}</math>
:<math>Q_2 = -T_2.\Delta S_{\sigma_2}</math>

{{Attention|Avec_fond = oui|Il faut '''prendre garde aux signes'''. Q₁ et Q₂ sont comptés par rapport à M et la formule <math>\delta Q = T.dS</math> s'applique quand Q est comptée par rapport au système dont on considère la température et la variation d'entropie.}}

On applique les principes de la thermodynamique à M :
* Sur un '''cycle réversible''' <math>\Delta S_{\sigma_1} = -\Delta S_{\sigma_2}</math> d'où &nbsp; <math>-\frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2}</math> ou encore &nbsp; <math>Q_2 = -Q_1 \frac{T_2}{T_1}</math>.
* <math>W + Q_1 + Q_2 = 0~</math> donc &nbsp; <math>W = -Q_1 - Q_2 = Q_1 \frac{T_2}{T_1} - Q_1 = Q_1.\left ( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right ) = Q_1.\frac{T_2 - T_1}{T_1}</math>


{{Théorème
  | titre=Théorème de Carnot|contenu=
Tous les moteurs dithermes fonctionnant entre deux sources de chaleur de températures T₁ et T₂, avec <math>T_1 \geq T_2</math>, possèdent le même rendement maximal <math>\rho_{max} = -\frac{W}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}~</math>, celui-ci étant atteint pour un fonctionnement réversible de la machine.
}}

''Remarque : plus la source chaude est chaude et plus la source froide est froide, meilleur est le rendement.''

=== Exemple: La source chaude est de l'eau  ===

On considère toujours la source froide comme un thermostat, mais la source chaude est maintenant un volume V d'eau à la température initiale T<sub>1,0</sub>. Cette fois, la température de la source chaude n’est pas constante et tend vers la température de la source froide, supposée constante.

On a, comme précédemment, <math>-Q_2 = T_2 . \Delta S_{\sigma_2}</math>.

Par contre, c’est faux pour <math>\sigma_1</math>, car T₁ n’est pas constant. On a en revanche <math>-\delta Q_1 = c_p . dT_1 = T_1 . dS_{\sigma_1}~</math>

D'où &nbsp; <math>dS_{\sigma_1} = c_p . \frac{dT_1}{T_1}</math>

En intégrant, &nbsp; <math>\Delta S_{\sigma_1} = \int_{T_{1,0}}^{T_2} c_p . \frac{dT_1}{T_1} = c_p . \ln \frac {T_2}{T_{1,0}}</math>

Or, on a &nbsp; <math>\Delta S_{\sigma_1} + \Delta S_{\sigma_2} = 0</math> d'où <math>c_p . \ln \frac {T_2}{T_{1,0}} - \frac{Q_2}{T_2} = 0</math> donc <math>Q_2 = T_2 . c_p . \ln \frac {T_2}{T_{1,0}}</math>

Or <math>-\delta Q_1 = c_p . dT_1</math> donc <math>-Q_1 = c_p . (T_2 - T_{1,0})</math> donc <math>c_p = \frac{Q_1}{T_{1,0} - T_2}</math>. En reportant dans l’expression de Q₂, on trouve:
<math>Q_2 = Q_1 . \frac{T_2}{T_{1,0} - T_2}.\ln \frac {T_2}{T_{1,0}}</math>

On trouve enfin:
:<math>W = -Q_1 - Q_2 = -Q_1 \left ( 1+\frac{T_2}{T_{1,0} - T_2}.\ln \frac {T_2}{T_{1,0}} \right )~</math>

d'où le rendement : &nbsp; &nbsp; <math>\rho = 1-\frac{T_2}{T_{1,0} - T_2}.\ln \frac {T_{1,0}}{T_2}</math>

== Réfrigérateur - Pompe à chaleur  ==

{{Définition
  | contenu =
Un '''réfrigérateur''' - ou une '''pompe à chaleur''' - est une machine thermique qui '''prend de la chaleur à la source froide''' pour en '''fournir à la source chaude'''. Puisqu'un tel transfert ne peut se faire spontanément, on doit fournir du travail à la machine thermique. Ainsi:
* '''Q₁ < 0'''
* '''Q₂ > 0'''
* '''W > 0'''

Le schéma de principe est le suivant:
:[[Fichier:Pac-Thermo.png|500px]]
}}


{{Définition
  | contenu =
Pour un système récepteur, on parle d''''efficacité''' plutôt que de rendement. Elle est notée ''e''. C’est le rapport de la quantité de chaleur transférée dans le sens qui nous intéresse par le travail fourni pour effectuer cette tâche.

* Pour une pompe à chaleur, où le but est de réchauffer la source chaude, l'efficacité est: &nbsp; &nbsp; <math>e = -\frac{Q_1}{W}</math>.
* Pour un réfrigérateur, où le but est de refroidir la source froide, l'efficacité est: &nbsp; &nbsp; <math>e = \frac{Q_2}{W}</math>
}}

=== Exemple: Chauffage d'une maison à l'aide d'une pompe à chaleur  ===

La source chaude est une maison. On souhaite maintenir la température de la maison constante en hiver. Cependant, l'isolation n'étant pas parfaite, la maison cède une quantité de chaleur Q₁ au milieu extérieur. La pompe à chaleur devra donc fournir Q₁ au cours d'un cycle.

La source froide est un lac proche. On considère qu’il reste à la température du milieu extérieur, T₂ (T₂ > 0).

On a, comme dans le cas du moteur:
:<math>-Q_1 = T_1 . \Delta S_{\sigma_1}</math>
:<math>-Q_2 = T_2 . \Delta S_{\sigma_2}</math>
:<math>\Delta S_{\sigma_1} + \Delta S_{\sigma_2} = 0</math>

:D'où &nbsp; &nbsp; <math>Q_2 = -Q_1 . \frac{T_2}{T_1}</math>

Or &nbsp; &nbsp; <math>W + Q_1 + Q_2 = 0</math> 

d'où 
:<math>W = -Q_2 - Q_1 = Q_1 . \frac{T_2 - T_1}{T_1}</math>

D'où l'efficacité &nbsp; &nbsp; <math>e = -\frac{Q_1}{W} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}</math>

On retrouve la signification de l'efficacité. En effet, on a &nbsp; &nbsp; <math>{Q_1}_{pac} = e W</math>. 

Si on avait chauffé la maison en ne faisant que convertir le travail en chaleur (en convertissant par exemple de l'électricité par effet Joule), on aurait eu &nbsp; &nbsp; <math>{Q_1}_{joule} = W</math> et donc &nbsp; &nbsp; <math>e = \frac{{Q_1}_{pac}}{{Q_1}_{joule}}</math>.

=== Autre exemple: réfrigérateur  ===
On étudie maintenant un réfrigérateur. La source froide est le réfrigérateur, qu'on souhaite garder à une température constante T₂. La source chaude est le milieu extérieur, à température considérée comme constante T₁. Comme le réfrigérateur n’est pas parfaitement isolé thermiquement, le réfrigérateur reçoit une certaine quantité de chaleur, qu'on doit alors lui reprendre.

Second principe:
:<math>\Delta S_{\sigma_1} + \Delta S_{\sigma_2} = 0</math> &nbsp; &nbsp; d'où &nbsp; &nbsp; <math>\frac{Q_1}{T_1} = -\frac{Q_2}{T_2}</math> 
donc:
:<math>Q_1 = -Q_2 . \frac {T_1}{T_2}</math>

Premier principe:
:<math>W = -Q_1 - Q_2 = Q_2. \left ( \frac {T_1}{T_2} - 1 \right ) = Q_2 \frac {T_1 - T_2}{T_2}</math>

D'où l'efficacité &nbsp; &nbsp; <math>e = \frac {Q_2}{W} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}</math>

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