Voir la source de Loi des grands nombres/Loi faible des grands nombres

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Résultats préliminaires/]] 
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  | niveau    = 15
}}

== Présentation ==

La loi faible des grands nombres, ou théorème de Khintchine, est utilisée en statistique, où elle permet de donner des estimateurs de valeurs caractéristiques d'une loi de probabilités (espérance, variance,...)

== Énoncé ==

{{Théorème
  | titre   = Loi faible des grands nombres
  | contenu =
Soit <math>(X_n)_{n \in \N}</math> une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé <math>\left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\ </math>, de même espérance <math>\mathbb{E}[X]</math> et de même variance <math>V[X] <+\infty</math>. Alors la moyenne empirique des <math>X_n</math> converge en probabilités vers <math>\mathbb{E}[X]</math>.
<div style="text-align: center;"><math>\forall \varepsilon >0,\qquad \lim_{n \rightarrow +\infty} \mathbb P \left( \left| \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} - \mathbb{E}[X] \right| \geq \varepsilon \right) = 0 </math></div>
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Notons <math>S=\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}</math>. On a <math>\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[X]</math> et <math>V[S] = \frac{V[X]}n</math>.

Ainsi, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :

<math>\mathbb P \left( \left| S - \mathbb{E}[S] \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{V[S]}{\varepsilon^2} = \frac{V[X]}{n \varepsilon^2}</math>.

D'où le résultat final.
}}

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