Voir la source de Intégrale double/Intégration de fonctions numériques sur un pavé quelconque

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Intégration de fonctions positives/]]
  | suivant   = [[../Étude de l'intégration sur des compacts simples/]]
  | numéro    = 3
  | niveau    = 15
}}

== Définition de l'intégrale double ==

{{Définition
 | titre = Définition — Fonction intégrable réelle
 | contenu =
On dit qu'une fonction continue <math>f : I \times J\to\mathbb R</math> est intégrable si <math>|f|</math> l'est ou ce qui est équivalent, si <math>f_+</math> et <math>f_-</math> le sont.

On pose alors :
:<math>\iint f = \iint f_+ - \iint f_-</math>.
}}

{{Définition
 | titre = Définition — Fonction intégrable complexe
 | contenu =
On dit qu'une fonction continue <math>f : I \times J\to\Complex</math> est intégrable si <math>|f|</math> l'est ou ce qui est équivalent, si <math>\Re(f)</math> et <math>\Im(f)</math> le sont.

On pose alors :
:<math>\iint f = \iint{\Re(f)}+\mathrm i \iint{\Im(f)}</math>.
}}

{{Théorème
 | contenu =
Soit une fonction continue intégrable <math>f :P=I \times J\to\Complex</math>, et <math>(K_n)</math> une suite exhaustive de pavés compacts dans <math>P</math>. Alors
:<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{K_n}f=\iint_Pf</math>.
}}

== Propriétés de base ==

La '''linéarité''' de l'intégrale double est claire, au vu des résultats précédents : <math>\iint (\lambda f + \mu g) = \lambda \iint f  + \mu \iint g</math>.

{{Théorème
 | contenu =
<math>\mathcal L^1(I \times J, \mathbb K)</math> est un sous-espace vectoriel de <math>\mathcal C(I \times J, \mathbb K)</math>, et sur <math>\mathcal L^1(I \times J, \mathbb K)</math> l’application <math>N_1</math> définit une norme.
}}

{{Lemme
 | contenu =
Soit <math>f</math> et <math>g</math> deux applications telles que <math>|f|^2</math> et <math>|g|^2</math> soient intégrables. Alors <math>f \cdot g</math> est intégrable.
}}

{{Démonstration déroulante
 | contenu =
La continuité de <math>f \cdot g</math> étant claire, il suffit de remarquer que :
:<math>|fg| \leq \frac1{2}(|f|^2+|g|^2)</math>
pour conclure.
}}

{{Théorème
 | contenu =
<math>\mathcal L^2(I \times J, \mathbb K)</math> est un sous-espace vectoriel de <math>\mathcal C(I \times J, \mathbb K)</math>, et l’application <math>(\cdot | \cdot)</math> est un produit scalaire qui fait de <math>\mathcal L^2(I \times J, \mathbb K)</math> un espace hermitien.
}}

{{Proposition
 | contenu =
Si <math>f</math> est intégrable sur <math>I \times J</math>, alors <math>f</math> est aussi intégrable sur <math>\stackrel{\ \circ}{I} \times \stackrel{\ \circ}{J}</math> et :
:<math>\iint_{I \times J} f = \iint_{\stackrel{\ \circ}{I} \times \stackrel{\ \circ}{J}} f</math>.
}}

== Théorème de Fubini ==
{{Wikipédia|Théorème de Fubini}}
{{...}}


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}}