Voir la source de Initiation aux systèmes d'équations/Équation à plusieurs inconnues

{{Chapitre
  | niveau    = 9
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Principes élémentaires de résolution/]]
  | suivant   = [[../Mise en équation d'un problème/]]
}}

Nous avons vu dans le chapitre précédent comment résoudre une équation à une inconnue. Dans ce chapitre, nous allons étudier les équations ayant plusieurs inconnues.

{{Clr}}

== De quoi s'agit-il ?  ==

Une équation à plusieurs inconnues est une équation dans laquelle plusieurs nombres ont été remplacés par des lettres. Résoudre cette équation revient à retrouver les valeurs des nombres qu’il faut mettre à la place des lettres pour que l'égalité représentée par l'équation soit satisfaite.

Par exemple, une équation à trois inconnues sera :

<math>2x-3y=5z-2</math>

Nous nous limiterons pour le moment aux équations ayant deux inconnues.

Pour comprendre de quoi il s'agit, nous commencerons par une équation très simple.

Soit, par exemple, à résoudre l'équation :

<math>x+y=7</math>

En fait, on nous demande de trouver deux nombres dont la somme est 7. Une légère réflexion nous montre, qu'en fait, il existe plusieurs façons de choisir x et plusieurs façons de choisir y pour résoudre l'équation. On peut, par exemple, dire que x est égal à 1 et y à 6. Mais on peut aussi dire que l’on choisit x égal à 3 et y égal à 4. Cet exemple simple nous montre qu'une équation à deux inconnues peut avoir un grand nombre de solutions et cela peut être ennuyeux dans la pratique. Nous comprendrons pourquoi au chapitre suivant.

En fait, on aimerait bien qu’il n'y ait qu'une seule façon de choisir x et qu'une seule façon de choisir y. Pour cela, on va augmenter les conditions que doivent vérifier x et y. Par exemple, disons que, non seulement la somme de x et de y doit être égale à 7, mais en plus lorsque l’on soustrait y de x, on devra trouver 3. x et y devront donc satisfaire aux deux conditions:

<math> \begin{cases}
x+y=7 \\
x-y=3
\end{cases}</math>

Nous appellerons ceci un système de deux équations à deux inconnues.

Sans trop de mal, nous voyons que si l’on choisit la valeur 5 pour x et la valeur 2 pour y, les deux équations sont satisfaites. Si nous continuons à réfléchir pour trouver une autre possibilité de choisir x et y, nous n'y arrivons pas. Nous admettrons donc qu’il n'y a pas d'autres possibilités et nous dirons que le système est résolu.


== Comment résoudre un système d'équations ?  ==

Au chapitre précédent, nous avons étudié comment résoudre une équation à une inconnue. Pouvons-nous de façon similaire trouver des méthodes pour résoudre des systèmes d'équations à plusieurs inconnues ? La réponse, bien sûr, est oui. Essayons de résoudre notre système précédent sans deviner la solution, mais en raisonnant logiquement.

==== Premier exemple  ====

<math> \begin{cases}
x+y=7 \\
x-y=3
\end{cases}</math>

Comme au chapitre précédent, nous pouvons commencer à raisonner sur des bâtons. Supposons que nous ayons deux bâtons (bâton1 et bâton2) de même longueur et deux autres bâtons (bâton3 et bâton4) aussi de même longueur. Si nous mettons bout à bout le bâton1 et le bâton3 d’une part et si nous mettons bout à bout le bâton2 et le bâton4 d’autre part, nous comprenons que nous allons nous retrouver avec deux nouveaux bâtons plus long que les précédents mais de mêmes longueurs. Ce raisonnement transposé sur notre système nous amène à dire que si l’on ajoute le premier membre de la première équation au premier membre de la deuxième équation d’une part et si l’on ajoute le deuxième membre de la première équation au deuxième membre de la deuxième équation d’autre part, nous devrions trouver deux quantités égales et nous pouvons ainsi former une nouvelle équation. Essayons !

<math> \begin{cases}
x+y=7 \\
x-y=3
\end{cases}</math>

En faisant ce que nous avons dit, nous obtenons :

<math>(x+y)+(x-y)=7+3</math>

On dira, par la suite, que l’on a fait une addition membre à membre.

Qu'avons-nous gagné à faire cela ? Pour le comprendre simplifions les deux membres de l'équation, nous obtenons :

<math>x+y+x-y=7+3</math>

C'est-à-dire :

<math>2x=10</math>

et en divisant les deux membres par 2, nous obtenons :

<math>x=5</math>

Qui est bien la valeur que l’on avait devinée pour x.

Maintenant si dans le système :

<math> \begin{cases}
x+y=7 \\
x-y=3
\end{cases}</math>

nous remplaçons x par 5, nous obtenons :

<math> \begin{cases}
5+y=7 \\
5-y=3
\end{cases}</math>

Nous voyons que nous avons deux équations à une inconnue qui auront pour solution y = 2, qui est aussi la valeur que nous avons devinée pour y.


==== Deuxième exemple  ====

J'entends déjà vos critiques. Vous allez dire que l'exemple précédent était un cas particulier, que c’était trop beau, qu’il y avait +y dans la première équation et -y dans la deuxième. C'est normal, qu'en additionnant membre à membre, les y aient disparu. Comment va-t-on faire si les y ne disparaissent pas en additionnant membre à membre.

En fait, on peut toujours s'arranger pour qu’ils disparaissent. Prenons un autre exemple :

<math> \begin{cases}
2x+5y=16 \\
3x+2y=13
\end{cases}</math>

Ici, si on additionne membres à membres, les y ne disparaissent pas. On va donc faire une manipulation préalable sur chacune des équations du système. On va multiplier les deux membres de la première équation par un nombre et les deux membres de la seconde équation par un autre nombre de façon à ce que, après une addition membres à membres, les y disparaissent.

Multiplions les deux membres de la première équation par 2 et les deux membres de la deuxième équation par -5, on obtient :

<math> \begin{cases}
4x+10y=32 \\
-15x-10y=-65
\end{cases}</math>

Nous voyons qu’il y a +10y dans la première équation et -10y dans la deuxième équation. En additionnant membres à membres les y devraient disparaître. Allons-y !

<math>(4x+10y)+(-15x-10y)=32-65</math>

Simplifions :

<math>4x+10y-15x-10y=32-65</math>

Soit :

<math>-11x=-33</math>

En divisant les deux membres par -11, on obtient :

<math>x=3</math>

nous avons trouvé x. Remplaçons maintenant x par 3 dans le système de départ :

<math> \begin{cases}
2x+5y=16 \\
3x+2y=13
\end{cases}</math>

Nous obtenons :

<math> \begin{cases}
2\times3+5y=16 \\
3\times3+2y=13
\end{cases}</math>

Simplifions :

<math> \begin{cases}
6+5y=16 \\
9+2y=13
\end{cases}</math>

Enlevons 6 aux deux membres de la première équation et 9 aux deux membres de la deuxième équation, on obtient :

<math> \begin{cases}
5y=10 \\
2y=4
\end{cases}</math>

Divisons par 5 les deux membres de la première équation et par 2 les deux membres de la deuxième équation, on obtient :

<math> \begin{cases}
y=2 \\
y=2
\end{cases}</math>

Et nous avons trouvé la valeur de y qui est 2.


La méthode de résolution des systèmes que l’on vient de voir est appelée : "'''méthode de résolution par combinaison linéaire'''" ou plus simplement: "'''méthode de résolution par combinaison'''".



Il existe d'autres méthodes de résolution. Nous allons voir dans l'exemple suivant la "'''méthode de résolution par substitution'''".



==== Troisième exemple  ====

Soit à résoudre le système :

<math> \begin{cases}
x-2y=3 \\
2x-5y=3
\end{cases}</math>

Nous allons résoudre ce système en utilisant la '''méthode de résolution par substitution'''.


Cette méthode est surtout employée lorsqu'on remarque que l'une des inconnues dans l'une des équations du système n'a pas de coefficient. C'est le cas dans notre système, nous remarquons que dans la première équation l'inconnue x n'a pas de coefficient.

En ajoutant 2y aux deux membres de la première équation, nous obtenons :

<math> \begin{cases}
x=3+2y \\
2x-5y=3
\end{cases}</math>

Nous remarquons que, dans la première équation, x a la même valeur que 3 + 2y. L'astuce va donc consister à remplacer x par 3 + 2y dans la deuxième équation. On obtient :

<math> \begin{cases}
x=3+2y \\
2(3+2y)-5y=3
\end{cases}</math>

L'intérêt d’avoir fait ceci est qu’il n'y a plus qu'une inconnue dans la deuxième équation et nous allons pouvoir la résoudre.

Par distributivité, on obtient :

<math> \begin{cases}
x=3+2y \\
6+4y-5y=3
\end{cases}</math>

Puis en simplifiant :

<math> \begin{cases}
x=3+2y \\
6-y=3
\end{cases}</math>

En ajoutant y - 3 aux deux membres de la deuxième équation, on obtient :

<math> \begin{cases}
x=3+2y \\
3=y
\end{cases}</math>

y vaut donc 3. En remplaçant y par 3 dans la première équation, on obtient :

<math> \begin{cases}
x=3+2\times3 \\
3=y
\end{cases}</math>

Soit finalement :

<math> \begin{cases}
x=9 \\
y=3
\end{cases}</math>


{{Remarque
  | contenu =
Les personnes, intéressées par le contenu de ce chapitre, pourront l'approfondir en étudiant la leçon spécialisée : [[Système d'équations linéaires]].
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