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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 14
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Contraposées/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}

== Exercice 3-1==
Vrai ou faux ?
#Si <math>1+1=3</math>, alors <math>1+1=2</math>.
#Si <math>1+1=2</math>, alors <math>1+1=3</math>.
#Il n'est pas vrai que « <math>1+1=2</math> si <math>1+1=3</math> ».
#Il n'est pas vrai que « <math>1+1=3</math> si <math>1+1=2</math> ».
#<math>1+1=3</math> si et seulement si <math>3+14=\pi</math>.
#<math>-\sqrt2>0</math> si et seulement si <math>(-\sqrt2)^2>0^2</math>.
#Un entier naturel est positif si et seulement si son carré est positif.
{{Solution|contenu=
#Vrai (pour deux raisons).
#Faux.
#Faux (en tant que négation de l'énoncé 1).
#Vrai (en tant que négation de l'énoncé 2).
#Vrai (car les deux termes sont faux).
#Faux (car l'un est faux et l'autre vrai).
#Vrai (car les deux termes sont vrais, quel que soit l'entier naturel considéré).
}}

== Exercice 3-2==
#On considère les assertions <math>P</math> : « il pleut » et <math>Q</math> : « je suis mouillé ». Donner des énoncées en français qui traduisent les assertions suivantes :<br><math>a)\;\lnot P\quad b)\;\lnot\lnot Q\quad c)\;P\land Q\quad d)\;Q\Rightarrow P\quad e)\;P\lor\lnot P</math><br><math>f)\;\lnot P\land Q\quad g)\;\lnot(P\land Q)\quad h)\;\lnot P\land\lnot Q</math>.
#Simplifiez les énoncés suivants :
#*Il n'est pas vrai que s'il pleut, il fait froid.
#*Il n'est pas vrai que « les coquelicots sont rouges si et seulement si les violettes sont bleues ».
#*Il n'est pas vrai que « les champignons ne poussent pas s'il ne fait pas soleil ».
{{Solution|contenu=
#
#:a) Il ne pleut pas.
#:b) Je suis mouillé.
#:c) Il pleut et je suis mouillé.
#:d) Si je suis mouillé alors il pleut.
#:e) Vrai.
#:f) Il ne pleut pas et je suis mouillé.
#:g) Il ne pleut pas ou je suis sec.
#:h) Il ne pleut pas et je suis sec.
#
#*Il pleut et il ne fait pas froid.
#*Les coquelicots sont rouges et au moins une violette n'est pas bleue, ou les violettes sont bleues et au moins un coquelicot n'est pas rouge.
#*Il ne fait pas soleil et un champignon pousse.
}}

== Exercice 3-3==
#La négation de la proposition « S'il fait beau, je vais à la plage » est :
#:a) S'il fait beau, je ne vais pas à la plage.
#:b) S'il ne fait pas beau, je ne vais pas à la plage.
#:c) S'il ne fait pas beau, je vais à la plage.
#:d) Il fait beau et je ne vais pas à la plage.
#La proposition « Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas souvent » équivaut à :
#:a) Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas.
#:b) Les personnes qui réfléchissent souvent ne parlent pas trop.
#:c) Les personnes qui réfléchissent souvent parlent trop.
#:d) Les personnes qui ne parlent pas trop réfléchissent souvent.
{{Solution|contenu=
1. d), 2. b)
}}

==Exercice 3-4==
#Montrer qu'il y a 4 connecteurs unaires et écrire leurs tables de vérité.
#
#:a) Écrire les tables de vérité des trois connecteurs binaires <math>\underline\lor</math>, <math>\mid</math> et <math>\|</math> définis par :
#:*<math>\underline\lor</math> est le connecteur de ''disjonction exclusive'' (« OU exclusif ») : <math>P\underline\lor Q</math> est vrai si l'on a <math>P</math> ou <math>Q</math> mais pas les deux à la fois ;
#:*<math>\mid</math> (barre de Sheffer) est le connecteur d’''incompatibilité'' (« NAND » ou « NON ET ») : <math>P\mid Q</math> signifie que <math>P</math> exclut <math>Q</math> (ou encore : que l'on ne peut pas avoir <math>P</math> et <math>Q</math> à la fois) ;
#:*<math>\|</math> (connecteur de Pierce) est le connecteur de ''rejet'' (« NOR » ou « NON OU ») : <math>P\|Q</math> signifie que l'on n'a ni <math>P</math>, ni <math>Q</math>.
#:b) Montrer que tous les connecteurs logiques usuels peuvent être définis en utilisant uniquement la barre de Sheffer, et que le connecteur de Pierce peut jouer le même rôle.
#:c) Montrer qu'il y a 16 connecteurs binaires et écrire leurs tables de vérité.
#Combien y a-t-il de connecteurs ternaires ?
{{BDdebut|titre=Solution}}
1. Les connecteurs <math>n</math>-aires sont les applications de <math>\{Vrai,Faux\}^n</math> dans <math>\{Vrai,Faux\}</math>. Il y en a donc <math>2^{(2^n)}</math>.<br>En particulier, il y a <math>2^{(2^1)}=4</math> connecteurs unaires : <math>P\mapsto P</math>, <math>P\mapsto\lnot P</math>, <math>P\mapsto Vrai</math> et <math>P\mapsto Faux</math>, dont voici les tables de vérité :

{| class="wikitable"
|-
!Valeur de <math>P</math>
! Valeur de <math>\lnot P</math>
! Valeur de <math>Vrai</math>
! Valeur de <math>Faux</math>
|-
|V||F||V||F
|-
|F||V||V||F
|}
2.
:a)
{| class="wikitable"
|-
! Valeur de <math>P</math>
! Valeur de <math>Q</math>
! Valeur de <math>P\underline\lor Q</math>
! Valeur de <math>P\mid Q</math>
! Valeur de <math>P\|Q</math>
|-
|V||V||F||F||F
|-
|V||F||V||V||F
|-
|F||V||V||V||F
|-
|F||F||F||V||V
|}
:b) On sait que tous les connecteurs logiques peuvent s'obtenir à partir des deux connecteurs <math>\lnot</math> et <math>\land</math>, ou encore <math>\lnot</math> et <math>\lor</math>. Il suffit donc d'engendrer ces deux derniers avec <math>|</math>, puis avec <math>\|</math>. On a <math>P\mid Q=\lnot(P\land Q)</math> donc <math>\lnot P=P\mid P</math> et <math>P\land Q=\lnot(P\mid Q)</math>. De même, <math>P\|Q=\lnot(P\lor Q)</math> donc <math>\lnot P=P\|P</math> et <math>P\lor Q=\lnot(P\|Q)</math>.
:c) Il y a <math>2^{(2^2)}=16</math> connecteurs binaires, dont voici les tables de vérité :

{| class="wikitable"
|-
!<math>P</math>
!<math>Q</math>
! <math>P\land Q</math>!!<math>\lnot P\land Q</math>!!<math>P\land\lnot Q</math>!!<math>\lnot P\land\lnot Q</math>!!<math>P\lor Q</math>!!<math>\lnot P\lor Q</math>!!<math>P\lor\lnot Q</math>!!<math>\lnot P\lor\lnot Q</math>!!<math>P\Leftrightarrow Q</math>!!<math>P\Leftrightarrow\lnot Q</math>!!<math>P</math>!!<math>\lnot P</math>!!<math>Q</math>!!<math>\lnot Q</math>!!<math>V</math>!!<math>F</math>
|-
|V||V||V||F||F||F||V||V||V||F||V||F||V||F||V||F||V||F
|-
|V||F||F||F||V||F||V||F||V||V||F||V||V||F||F||V||V||F
|-
|F||V||F||V||F||F||V||V||F||V||F||V||F||V||V||F||V||F
|-
|F||F||F||F||F||V||F||V||V||V||V||F||F||V||F||V||V||F
|}
3. Il y a <math>2^{(2^3)}=256</math> connecteurs ternaires.
{{BDfin}}

==Exercice 3-5==
#Vérifier à l'aide des tables de vérité les équivalences logiques suivantes :
#:<math>a)\;\lnot\lnot P\equiv P\qquad b)\;P\lor Q\equiv Q\lor P\qquad c)\;\lnot(P\land Q)\equiv(\lnot P)\lor(\lnot Q)</math>
#:<math>d)\;(P\Rightarrow Q)\equiv(\lnot P)\lor Q\qquad e)\;(P\lor Q)\land(P\lor R)\equiv P\lor(Q\land R)</math>.
#En déduire :
#:<math>a)\;(P\Rightarrow Q)\equiv(\lnot Q\Rightarrow\lnot P)\qquad b)\;\lnot(P\Rightarrow Q)\equiv P\land\lnot Q</math>
#:<math>c)\;(Q\Rightarrow P)\land(\lnot Q\Rightarrow P)\equiv P\qquad d)\;(\lnot P\Rightarrow P)\equiv P</math>.
#Dans chacun des cas suivants, écrire la table de vérité de l'assertion et trouver une assertion équivalente plus simple :
#:<math>a)\;P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\qquad b)\;(P\Rightarrow Q)\Rightarrow R\qquad c)\;(P\Rightarrow Q)\lor(Q\Rightarrow P)</math>.
{{BDdebut|titre=Solution}}
1. Il suffit de comparer les colonnes correspondantes des tables suivantes :
{| class="wikitable"
|-
!<math>P</math>!!<math>\lnot P</math>!!<math>\lnot\lnot P</math>
!<math>Q</math>!!<math>P\lor Q</math>!!<math>Q\lor P</math>
!<math>P\land Q</math>!!<math>\lnot(P\land Q)</math>!!<math>\lnot Q</math>!!<math>\lnot P\lor\lnot Q</math>
!<math>P\Rightarrow Q</math>!!<math>(\lnot P)\lor Q</math>
|-
|V||F||V||V||V||V||V||F||F||F||V||V
|-
|V||F||V||F||V||V||F||V||V||V||F||F
|-
|F||V||F||V||V||V||F||V||F||V||V||V
|-
|F||V||F||F||F||F||F||V||V||V||V||V
|}
{| class="wikitable"
|-
!<math>P</math>!!<math>Q</math>!!<math>R</math>
!<math>P\lor Q</math>!!<math>P\lor R</math>!!<math>(P\lor Q)\land(P\lor R)</math>
!<math>Q\land R</math>!!<math>P\lor(Q\land R)</math>
|-
|V||V||V||V||V||V||V||V
|-
|V||V||F||V||V||V||F||V
|-
|V||F||V||V||V||V||F||V
|-
|V||F||F||V||V||V||F||V
|-
|F||V||V||V||V||V||V||V
|-
|F||V||F||V||F||F||F||F
|-
|F||F||V||F||V||F||F||F
|-
|F||F||F||F||F||F||F||F
|}
2.
:a) En utilisant successivement d), a), b), d), on obtient : <math>(\lnot Q\Rightarrow\lnot P)\equiv(\lnot\lnot Q)\lor\lnot P\equiv Q\lor\lnot P\equiv(\lnot P)\lor Q\equiv(P\Rightarrow Q)</math>
:b) En utilisant successivement d), a), c), a), on obtient : <math>\lnot(P\Rightarrow Q)\equiv\lnot((\lnot P)\lor Q)\equiv\lnot((\lnot P)\lor\lnot\lnot Q)\equiv\lnot\lnot(P\land\lnot Q)\equiv P\land\lnot Q</math>.
:c) En utilisant successivement d), a), b), e), on obtient : <math>(Q\Rightarrow P)\land(\lnot Q\Rightarrow P)\equiv(\lnot Q\lor P)\land(\lnot\lnot Q\lor P)\equiv(\lnot Q\lor P)\land(Q\lor P)\equiv(P\lor\lnot Q)\land(P\lor Q)\equiv P\lor(\lnot Q\land Q)\equiv P\lor Faux\equiv P</math>.
:d) En utilisant d) puis a), on obtient : <math>(\lnot P\Rightarrow P)\equiv(\lnot\lnot P\lor P)\equiv(P\lor P)\equiv P</math>.
3.
{| class="wikitable"
|-
!<math>P</math>!!<math>Q</math>!!<math>R</math>
!<math>P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)</math>!!<math>(P\Rightarrow Q)\Rightarrow R</math>!!<math>(P\Rightarrow Q)\lor(Q\Rightarrow P)</math>
|-
|V||V||V||V||V||V
|-
|V||V||F||F||F||V
|-
|V||F||V||V||V||V
|-
|V||F||F||V||V||V
|-
|F||V||V||V||V||V
|-
|F||V||F||V||F||V
|-
|F||F||V||V||V||V
|-
|F||F||F||V||F||V
|-
| || || ||<math>\lnot(P\land Q\land\lnot R)</math>||<math>(P\land\lnot Q)\lor R</math>||Vrai
|}
{{BDfin}}

==Exercice 3-6==
#Que peut-on dire de l'assertion <math>P</math> lorsque l'assertion « <math>P\Rightarrow Q</math> » est vraie<br>a) avec <math>Q</math> qui est fausse ? b) avec <math>Q</math> qui est vraie ?
#Mêmes questions lorsque l'assertion « <math>Q\Rightarrow P</math> » est vraie.
#Étant donnée une assertion <math>P</math> fixée, que peut-on dire de l'assertion <math>Q</math> telle que <math>P\lor Q</math> soit une tautologie et <math>P\land Q</math> une contradiction ?
{{Solution|contenu=
#a) <math>P</math> est fausse, b) Rien.
#a) Rien, b) <math>P</math> est vraie.
#Par hypothèse, <math>(P\lor Q)\land\lnot(P\land Q)</math>, ce qui équivaut à <math>(\lnot P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow\lnot P)</math>, ou encore : <math>Q\Leftrightarrow\lnot P</math>.
}}

==Exercice 3-7==
On considère trois propositions <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal B</math> et <math>\mathcal C</math> et l'on suppose que <math>\mathcal A\Leftrightarrow(\mathcal B\land\mathcal C)</math> et <math>\mathcal C\Leftrightarrow(\mathcal A\lor\lnot\mathcal C)</math>. En déduire les valeurs de vérité de <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal B</math> et <math>\mathcal C</math>.
{{Solution|contenu=
De la seconde hypothèse on déduit que <math>\mathcal C</math> est vrai et donc <math>\mathcal A</math> aussi. De la première hypothèse on déduit alors que <math>\mathcal B</math> est vrai.
}}

==Exercice 3-8==
Déterminer les ensembles suivants :
*<math>X=\{x\in\R\mid x>1\Rightarrow x>5\}</math>,
*<math>Y=\{x\in\R\mid x>1\Rightarrow(x>2\Rightarrow x>3)\}</math>,
*<math>Z=\{x\in\R\mid(x>1\Rightarrow x>2)\Rightarrow x>3\}</math>.
{{Solution|contenu=
*<math>X=\{x\in\R\mid x\le1{\rm\ ou\ }x>5\}=\left]-\infty,1\right]\cup\left]5,+\infty\right[</math>.
*Pour tout <math>x\in\R</math>, <math>x\in Y\Leftrightarrow[(x\le1){\rm\ ou\ }(x\le2{\rm\ ou\ }x>3)]\Leftrightarrow[(x\le1{\rm\ ou\ }x\le2){\rm\ ou\ }x>3)]\Leftrightarrow[x\le2{\rm\ ou\ }x>3]</math> donc <math>Y=\left]-\infty,2\right]\cup\left]3,+\infty\right[</math>.
*Pour tout <math>x\in\R</math>, <math>x\in Z\Leftrightarrow
[{\rm non}(x\leq 1{\rm\ ou\ }x>2){\rm\ ou\ }x>3]\Leftrightarrow
[(x>1{\rm\ et\ }x\leq 2){\rm\ ou\ }x>3]</math> donc <math>Z=\left]1,2\right]\cup\left]3,+\infty\right[</math>.
}}

Soient <math>a,b,k\in\R</math> tels que <math>a\le b</math> et <math>k>1</math>. Déterminer les réels <math>x</math> tels que
:<math>\forall y\in[a,b]\quad(x\ge y\Rightarrow x\ge ky)</math>.
{{Solution|contenu=
Un réel <math>x</math> vérifie
:<math>\forall y\in[a,b]\quad(y>x\lor y\le x/k)</math>
ou encore
:<math>[a,b]\subset\left]-\infty,x/k\right]\cup\left]x,+\infty\right[</math>
si et seulement si <math>\left]-\infty,x/k\right]\cup\left]x,+\infty\right[=\R</math> (c'est-à-dire <math>x/k\ge x</math>) ou <math>[a,b]\subset\left]-\infty,x/k\right]</math> ou <math>[a,b]\subset\left]x,+\infty\right[</math>.

L'ensemble des solutions <math>x</math> est donc <math>\left]-\infty,0\right]\cup\left[kb,+\infty\right[\cup\left]-\infty,a\right[</math>, autrement dit :
*si <math>b\le0</math> : <math>\R</math> ;
*si <math>a\le0<b</math> : <math>\left]-\infty,0\right]\cup\left[kb,+\infty\right[</math> ;
*si <math>a>0</math> : <math>\left]-\infty,a\right[\cup\left[kb,+\infty\right[</math>.
}}

==Exercice 3-9==
#Donner un exemple simple d'ensemble <math>E</math>, et de choix d'interprétation sur <math>E</math> des prédicats <math>P</math> et <math>Q</math>, tel que les énoncés suivants soient vrais tous les deux :
#:A : <math>\exists x\in E\quad\lnot P(x)</math>
#:B : <math>\exists x\in E\quad[P(x)\land\lnot Q(x)]</math>.
#Pour tout <math>(E,P,Q)</math> vérifiant A et B, donner (en justifiant !) la valeur de vérité de chacun des deux énoncés :
#:C : <math>[\forall x\in E\quad P(x)]\Rightarrow[\forall x\in E\quad Q(x)]</math>
#:D : <math>\forall x\in E\quad [P(x)\Rightarrow Q(x)]</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>E=\{0,1\}</math>, <math>P(1)=V</math>, <math>P(0)=F</math>, <math>Q(1)=F</math> (et <math>Q(0)</math> quelconque).
#C est vrai car <math>[\forall x\in E\quad P(x)]</math> est faux (car il équivaut à <math>\lnot A</math>).<br>D est faux car il équivaut à <math>\lnot B</math>.
}}

==Exercice 3-10==
Dans chaque cas, écrire en langage quantifié la négation de l'assertion (on précisera, quand c'est possible, la valeur de vérité des assertions).
#<math>\forall x\in\R\quad(x>3\land x\le-2)</math>
#<math>\exists(x,y,z)\in\R^3\quad(x>y+z\land x-y\ne y-z\land-1\le z\le2)</math>
#<math>\forall a\in\N\quad\exists(b,c)\in\N\times\N\quad a=bc</math>
#<math>\forall(a,b)\in\N\times\N\quad\exists c\in\N\quad a=bc</math>
#<math>\exists a\in\N\quad\forall b\in\N\quad\exists c\in\N\quad a=bc</math>
#<math>\forall(a,b)\in\R^2\quad a<b\Rightarrow\exists q\in\Q\quad a<q<b</math>
#La suite numérique <math>(u_n)_{n\in\N}</math> vérifie : <math>\exists M\in\R\quad\forall n\in\N\quad u_n\le M</math>
#La suite numérique <math>(u_n)_{n\in\N}</math> vérifie : <math>\exists M\in\R\quad\exists N\in\N\quad\forall n\in\N\quad(n\ge N\Rightarrow u_n\le M)</math>.
{{Solution|contenu=
#La négation <math>\exists x\in\R\quad(x\le3\lor x>-2)</math> est vraie, et même : <math>\forall x\in\R\quad(x\le3\lor x>-2)</math>.
#La proposition est vraie, et même : <math>\forall(y,z)\in\R^2\quad\exists x\in\R\quad(x>y+z\land x\ne2y-z)</math>. Sa négation est <math>\forall(x,y,z)\in\R^3\quad(x\le y+z\lor x-y\ne y-z\lor -1\le z\le2)</math>.
#La proposition est vraie car <math>\forall a\in\N\quad a=a\times1</math>. Sa négation est <math>\exists a\in\N\quad\forall(b,c)\in\N\times\N\quad a\ne bc</math>.
#La négation <math>\exists(a,b)\in\N\times\N\quad\forall c\in\N\quad a\ne bc</math> est vraie (<math>\forall c\in\N\quad 1\ne 0c</math>).
#La proposition est vraie, et même : <math>\forall b\in\N\quad 0=b0</math>. Sa négation est <math>\forall a\in\N\quad\exists b\in\N\quad\forall c\in\N\quad a\ne bc</math>.
#La proposition est vraie (<math>\Q</math> est [[Topologie générale/Adhérence, intérieur|dense]] dans <math>\R</math>). Sa négation est <math>\exists(a,b)\in\R^2\quad a<b\land\forall q\in\Q\quad (q\le a\lor q\ge b)</math>.
#La proposition signifie que la suite <math>(u_n)_{n\in\N}</math> est majorée. Sa négation est <math>\forall M\in\R\quad\exists n\in\N\quad u_n>M</math>.
#La proposition signifie que la suite <math>(u_n)_{n\in\N}</math> est majorée à partir d'un certain rang ([[Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées|ce qui équivaut à : cette suite est majorée]]). Sa négation est <math>\forall M\in\R\quad\forall N\in\N\quad\exists n\in\N\quad(n\ge N\land u_n>M)</math>.
}}

==Exercice 3-11==
Juger de la validité des [[w:Syllogisme|syllogismes]] suivants :
#Aucune citrouille n'est rouge, or tous les fruits sont rouges, donc certains fruits ne sont pas des citrouilles.
#Seules les citrouilles sont orange, or certains fruits ne sont pas orange, donc certains fruits ne sont pas des citrouilles.
#Seuls les jugements désintéressés sont des jugements libres, or tout jugement rationnel est un jugement libre, donc certains jugements rationnels sont désintéressés.
#Qui est déchu de ses droits civiques n'est pas éligible, or certains criminels ne sont pas déchus de leurs droits civiques, donc certains criminels sont éligibles.
#Seuls les actes explicitement interdits par la loi sont répréhensibles, or certains détournements d'argent ne sont pas explicitement interdits par la loi, donc certains détournements d'argent ne sont pas répréhensibles.
{{Solution|contenu=
#Valide, bien qu'affaibli (on pourrait conclure qu'''aucun'' fruit n'est une citrouille).
#Invalide (il faudrait remplacer, dans la prémisse majeure, « Seules les citrouilles » par « Toutes les citrouilles »).
#Valide, bien qu'affaibli (on pourrait conclure que ''tous'' les jugements rationnels sont désintéressés).
#Invalide (il faudrait intervertir, dans la prémisse majeure, « est » et « n'est pas »).
#Parfaitement valide.
}}

==Exercice 3-12==
Soient <math>0=\varnothing</math> et <math>1=\{0\}</math>.
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? (justifier)
#<math>0=1\Rightarrow0=0</math>
#<math>0=0\Rightarrow0=1</math>
#<math>0\ne0\Rightarrow0=1</math>
#<math>\exists x\;(x=0\Rightarrow x=1)</math>
#<math>\exists x\;(x\ne0\Rightarrow x=1)</math>
{{Solution|contenu=
<math>P\Rightarrow Q</math> signifie : <math>P</math> est faux ou <math>Q</math> est vrai.
#<math>0=1\Rightarrow0=0</math> est vrai car <math>0=0</math> est vrai (ou encore : car <math>0=1</math> est faux).
#<math>0=0</math> est vrai et <math>0=1</math> est faux donc <math>0=0\Rightarrow0=1</math> est faux.
#(<math>0=1</math> est faux mais) <math>0\ne0</math> est faux donc <math>0\ne0\Rightarrow0=1</math> est vrai.
#<math>\exists x\;(x=0\Rightarrow x=1)</math> est vrai. Pour le démontrer, il suffit de fournir un <math>x</math> tel que <math>x=1</math> soit vrai ou tel que <math>x=0</math> soit faux (par exemple <math>x=1</math>, ou n'importe quel <math>x\ne0</math>, comme <math>x=2</math>).
#<math>\exists x\;(x\ne0\Rightarrow x=1)</math> est vrai. Pour le démontrer, il suffit de fournir un <math>x</math> tel que <math>x=1</math> soit vrai ou tel que <math>x\ne0</math> soit faux (on a le choix entre <math>x=1</math> ou <math>x=0</math>).
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