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{{Exercice
  | titre     = Exercices sur Rentabilité et risque
  | idfaculté = économie
  | numéro    = 2
  | chapitre  = [[../../Rentabilité et risque/]]
  | précédent = [[../Marchés financiers/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
  | niveau    = 16
}}
; Exercice 1
Un investissement a une rentabilité espérée de 10 % par an avec un écart-type de 18%. Le coefficient d’aversion au risque <math> \theta</math> est de 2,5 . Quel est le rendement sans risque minimum pour avoir la même satisfaction ( utilité ) pour l' investisseur ?  

{{solution
  |contenu =
La fonction d' utilité d' un investisseur représente l' arbitrage qu'il fait entre le risque et le rendement. L' investisseur est risquophobe avec un <math> \theta</math> de 2,5 > 0 .<br>
La fonction d' utilité moyenne-variance est :

::: <math> U = E(R) - \frac{ \theta}{2} \sigma^2 = 10 \% - \frac{ 2,5}{2} . ( 18 \% )^2 = 0,06 = 6 \%</math>

Pour avoir la même utilité, l' investisseur devrait trouver un actif réputé sans risque avec un rendement sans risque de 6 % ( ce qui malheureusement est actuellement irréaliste ). 
}}


; Exercice 2
Un investisseur dispose de {{unité|200000|euros}}. Il achète des actions pour {{unité|150000|euros}} avec un rendement espéré de 6 % par an et une volatilité estimée à 20%. Avec les {{unité|50000|euros}} restant, il investit dans une obligation avec un taux actuariel de 0,3 % . Calculer le coefficient d'aversion au risque <math> \theta</math>.

{{solution
  |contenu =

Considérons la fonction d' utilité moyenne-variance :
::<math> E(R_p) -  \frac{ \theta}{2} \sigma_p^2 </math>

où <math> E(R_p) </math> est la rentabilité espérée du portefeuille p pour l'actif risqué ,  <math> \sigma</math>  la volatilité, <math> \sigma ^2</math> la variance , et <math> \theta</math> le coefficient d'aversion au risque.

si <math> W_o </math> est la richesse initiale , <math> W_f </math> la richesse finale et <math> x </math> le pourcentage de produits risqués,  on aura:
:: <math> W_f = x W_o ( 1 + R ) + ( 1 - x ) W_o ( 1 + r ) </math>
où R est le rendement espéré, r le rendement du taux sans risque  

d’où la rentabilité espérée

::<math> E(R_p) =  \frac{ W_f - W_o}{W_o} = r + x ( R - r ) </math>


Comme l' investisseur veut optimiser son portefeuille (i.e. avoir le maximum de profit) on doit avoir :
::: <math> E(R_p) -  \frac{ \theta}{2} \sigma_p^2 \rightarrow max </math>

avec <math> \sigma_p = x .  \sigma_R </math>

Pour avoir les extremums ( ou extréma ) d'une fonction, il faut annuler la dérivée première. 

::: <math> \frac{ d}{dx} ( r + x ( R - r )  -  \frac{ \theta}{2} . ( x . \sigma_R)^2 )  = ( R - r ) -  \theta . x . \sigma_R^2  = 0 </math>
 

On a donc 
:::<math>\theta = \frac{ R - r }{x . \sigma^2} =   \frac{ 6 \% - 0,3 \% }{75 \%  . (20 \%)^2} =   \frac{ 0,06 - 0,003 }{0,75 . (0,2)^2} = 1,90 </math>  

le coefficient d'aversion au risque <math> \theta</math> est égal à 1,90 > 0 .
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Marchés financiers/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}