Voir la source de Géométrie différentielle/Espace tangent

{{Chapitre
  | idfaculté   = mathématiques
  | numéro      = 2
  | précédent   = [[../Définitions élémentaires/]]
  | suivant     = [[../Fibré et Fibré tangent/]]
  | niveau      = 18
}}

== Introduction ==

La définition d'une variété <math>C^k</math> a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.
<br />

Soient <math>M</math> et <math>N</math> deux variétés <math>C^k</math>, et soit <math>f:M\longrightarrow N</math>. Comment parler de la différentielle de <math>f</math> ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes. <br />

<br />

Soit <math>x\in M</math>. Soit <math>(U,\phi_U)</math> une carte de <math>M</math> et <math>(V,\phi_V)</math> une carte de <math>N</math> tel que <math>x\in U</math> et <math>f(x)\in V</math>. Il est alors naturel de considérer l’application <math>\varphi_V\circ f\circ \varphi_U^{-1}</math>, qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.<br />


La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

== Espace tangent  ==

{{Définition|titre=Notation|contenu=Soit <math>(U,\phi_U)</math> une carte. On note <math>E_U</math> l'espace vectoriel d'arrivée dans lequel <math>U</math> est inclus.}}

{{Définition|titre=Relation d'équivalence|contenu=Soient <math>(U,\varphi_U)</math> et <math>(V,\varphi_V)</math> deux cartes de M. Soient <math>u\in E_U</math> et <math>v\in E_V</math>. Soit <math>x\in U,y\in V</math>. <br>

Alors <math>(u,\varphi_U,x) {\sim} (v,\varphi_V,y)</math> si <math>x = y</math>, et <math>v = d(\varphi_V\circ\varphi_U^{-1})(\varphi_U(x))(u)</math>.}}

{{Proposition|titre=Proposition :|contenu=La relation définie ci-dessus est bien une relation d'équivalence.}}

{{Définition|titre=Définition : Espace tangent|contenu=On appelle espace tangent à <math>M</math> l’ensemble des classes d'équivalences pour la relation précédemment définie. <br />
On le note <math>TM</math>.}}

{{Définition|titre=Définition : Espace tangent en x|contenu=Soit <math>x\in M</math>. On appelle espace tangent en <math>x</math> l’ensemble des classes d'équivalences dont le troisième membre est égal à <math>x</math>. <br />
On le note <math>T_x M</math>.}}

== Différentielle ==
Reprenons notre fonction <math>f</math> définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.

{{Définition|titre=Définition : différentielle d'une fonction|contenu=On définit <math>df:TM \longrightarrow TN</math> de la manière suivante :<br />
Soit <math>x\in M</math>, <math>(U,\varphi_U)</math> une carte de <math>M</math> telle que <math>x\in U</math> et <math>(V,\varphi_V)</math> une carte de <math>N</math> telle que <math>f(x)\in V</math>. On définit alors <math>df(\overline{(u,\varphi_U,x)})=\overline{(d(\varphi_V \circ f\circ\varphi_U^{-1})(\varphi_U(x))(u),\varphi_V,f(x))}</math>.<br />
Il est fondamental de noter que cette définition de dépend pas des cartes (preuve à écrire).
}}

{{Propriété|titre=Propriété :|contenu=On note que l’on peut définir <math>df(x):T_x M \longrightarrow T_{f(x)}N</math> à partir de cette définition. À CHANGER.}}

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