Voir la source de Formule d'inversion de Pascal/Démonstration par techniques sommatoires

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Démonstration par calcul matriciel/]]
  | numéro    = 1
  | niveau    = 15
}}

{{Clr}}

{{théorème
  | titre = Formule d'inversion de Pascal
  | contenu =
Soient (''u<sub>n</sub>'')<sub>''n''∈ℕ</sub> et (''v<sub>n</sub>'')<sub>''n''∈ℕ</sub> deux suites à valeurs dans un [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions#Groupe : définitions et exemples|groupe abélien]] <math>\left(G,+\right)</math> (par exemple <math>G=\R</math>), nous avons :

<math>\left( \forall n\in \N \quad u_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} v_k \right) \Leftrightarrow \left( \forall n \in \N \quad v_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} u_k \right)</math>.

Plus précisément : <math>\forall u_0,\dots,u_N,v_0,\dots,v_N\in G</math>
:<math>\left(\forall n\le N\quad u_n=\sum_{k=0}^n\binom nkv_k\right)\Leftrightarrow\left(\forall n\le N\quad v_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom nku_k\right)</math>.
}}

{{Encart
  | symbole = démonstration
  | contenu = '''Démonstration par techniques sommatoires'''

On montre d'abord le lemme :

<math> \forall i\in \{0,1,\dots,n \} \quad \sum_{k=i}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} {k\choose i} = {n \choose i} 0^{n-i}</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>i\le k\le n</math>, <math>\binom nk\binom ki=\binom ni{n-i\choose n-k}</math> ([[Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1]]) donc

<math>\begin{align}
\sum_{k=i}^n(-1)^{n-k}{n \choose k} {k \choose i}
&=\binom ni\sum_{k=i}^n(-1)^{n-k} {n-i \choose n-k} \\
&=\binom ni(1-1)^{n-i} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(Formule du binôme)} \\
&=\binom ni0^{n-i}.
\end{align}</math>

Remarque : une autre façon de démontrer ce lemme est de remarquer que la somme à calculer est le coefficient de <math>x^{n-i}</math> dans le développement en série de <math>\exp(-x)\exp(x)=1</math>.
}}
Démontrons maintenant le sens direct (<math>\Rightarrow</math>) de l'équivalence. Supposons donc que :

<math> \forall n\le N \quad u_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}v_k </math>.

Alors :

<math>\begin{align}
\forall n\le N\quad\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n \choose k}u_k &= \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n \choose k}\sum_{i=0}^k {k \choose i}v_i \\ 
&= \sum_{i=0}^n v_i \sum_{k=i}^n(-1)^{n-k}{n \choose k} {k \choose i} \qquad \qquad \qquad \text{(Inversion de somme)} \\
&= \sum_{i=0}^n v_i {n \choose i} 0^{n-i} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(Lemme)} \\
&= {v_n} {n \choose n} 0^{n-n} \\
&= v_n \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(Car } \text{)}
\end{align}</math>

Réciproquement (<math>\Leftarrow</math>), supposons que :

<math> \forall n\le N\quad v_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}{n \choose k}u_k </math>

c'est-à-dire, en posant (pour tout <math>n\le N</math>) <math>u'_n=(-1)^nv_n</math> et <math>v'_n=(-1)^nu_n</math> :

<math>\forall n\le N\quad u'_n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}v'_k</math>.

Alors, d'après le sens direct :

<math>\forall n\le N\quad\sum_{k=0}^n{n\choose k}v_k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^ku'_k=(-1)^nv'_n=u_n</math>.
}}

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