Voir la source de Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le tenseur champ électromagnétique

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Équations du mouvement/]]
  | niveau    = 17
}}

== Nouvelle forme des équations du mouvement  ==

On peut exprimer l'équation du mouvement sous une autre forme en écrivant directement la stationnarité de l'action :

<div style="text-align: center;"><math>\delta S = \delta \left(\int_a ^b (-mc~ds-q \tilde A \cdot d\tilde x) \right) =\int_a^b \left[ mc~a_\mu  +q \left( \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}  -\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\right)  u^\nu \right] \delta x^\mu ~ds= 0</math></div>

où <math>\tilde u = \frac{d \tilde x}{ds}</math> est la quadri-vitesse et <math>\tilde a = \frac{d \tilde u}{ds}</math> est la quadri-accélération.

{{clr}}
{{démonstration déroulante
  | contenu =
<math>\delta S = \delta \left(\int_a ^b (-mc~ds-q \tilde A \cdot d\tilde x) \right) =\int_a ^b (-mc~\delta (ds)-q~ \delta(\tilde A \cdot d\tilde x))</math>

Avec <math> \delta (ds)=\delta(\sqrt{d\tilde x \cdot d\tilde x})=\delta (\sqrt{dx^\mu dx_\mu})=\frac{dx_\mu \delta(dx^\mu)}{ds} =u_\mu d(\delta x^\mu )</math>

et <math>\delta(\tilde A \cdot d \tilde x)=\delta (A _\mu) dx^\mu + A_\mu d(\delta x^\mu) </math>

On a <div style="text-align: center;"><math>\delta S = \int_a ^b (-mc~ u_\mu-q A_\mu)d(\delta x^\mu) +\int_a^b -q \delta (A _\mu) dx^\mu </math></div>

La première intégrale s'intègre par parties (comme dans la démonstration générale des équations d'Euler-Lagrange) :

<math>\int_a ^b (-mc~ u_\mu-q A_\mu)d(\delta x^\mu)=\int_a^b (mc~du_\mu+q ~dA_\mu )\delta x^\mu -\left[ (mc~u_\mu +qA_\mu) \delta x^\mu \right]_a^b </math>

et, comme <math>\delta x^\mu (a)=\delta x^\mu (b)=0~</math>, le terme intégré est nul.

On a ainsi :

<math>\begin{align} \delta S & =   \int_a^b (mc~du_\mu+q ~dA_\mu )\delta x^\mu -q ~\delta (A _\mu) dx^\mu \\ 
& = \int_a^b (mc~du_\mu+q ~ \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu )\delta x^\mu -q~ \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} \delta x^\nu dx^\mu \\ 
& = \int_a^b \left[ mc~du_\mu  +q \left( \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}  -\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\right)  dx^\nu \right] \delta x^\mu \\ \end{align}</math>

car en échangeant les indices muets, <math> \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} \delta x^\nu dx^\mu = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} \delta x^\mu dx^\nu </math>.

On obtient la forme finale de <math>\delta S~</math> est factorisant <math>ds ~</math> :

<div style="text-align: center;"><math> \delta S= \int_a^b \left[ mc~a_\mu  +q \left( \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}  -\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\right)  u^\nu \right] \delta x^\mu ~ds </math></div>
}}

La relation <math>\delta S =0~</math> est vérifiée quelle que soit la trajectoire <math>\delta \tilde x ~</math> si le terme entre crochet est nul, c'est-à-dire si :
<div style="text-align: center;"><math>mc~a_\mu  =-q \left( \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}  -\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\right)  u^\nu </math></div>

On introduit alors le tenseur <math>F_{\mu \nu}=\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}- \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}  </math>

et l'équation du mouvement s'écrit <div style="text-align: center;"><math>mc ~a_\mu=q ~F_{\mu \nu} ~u^\nu</math></div>

== Expression du tenseur <math>F_{\mu \nu} ~</math>  ==

Le tenseur <math>F_{\mu \nu} ~</math> est antisymétrique par définition, il y a donc 6 composantes à calculer. En utilisant la définition de <math>\tilde A ~</math> et les relations 

<div style="text-align: center;"><math>\mathbf E=-\mathbf{grad} ~\phi -\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math></div>
<div style="text-align: center;"><math>\mathbf B=\mathbf{rot} ~\mathbf A</math></div>

on trouve l’expression du tenseur :

<div style="text-align: center;"><math>F_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}
0 & E _x/c & E_y/c & E_y/c\\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0\\
\end{pmatrix}</math></div>


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