Voir la source de Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact

{{Devoir
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | niveau    = 16
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant =
}}
{{Wikipédia|Opérateur autoadjoint}}{{Wikipédia|Opérateur compact}}
Dans ce problème, <math>H</math> est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur <math>\R</math>. On rappelle que :
*les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
*<math>\|T\|=\sup_{\|u\|=\|v\|=1}\left|\langle Tu,v\rangle\right|</math> :
*si <math>T</math> est auto-adjoint on a aussi <math>\|T\|=\sup_{\|u\|=1}\left|\langle Tu,u\rangle\right|</math>.

<u>'''Partie I.'''</u> Soit <math>T</math> un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math>.

'''1) a)''' Montrer que si un sous-espace de <math>H</math> est stable par <math>T</math> alors son orthogonal l'est aussi.
:'''b)''' Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
'''2) a)''' Soit <math>(u_n)</math> une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.
:'''b)''' Désormais, <math>(u_n)</math> est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) <math>\lambda_n</math>. Déduire de la question précédente que <math>\lambda_n\to0</math> ''(on raisonnera par l'absurde, en remarquant que <math>u_n=Tv_n</math> avec <math>v_n=\frac1{\lambda_n}u_n</math>)''.
:'''c)''' En déduire que tous les sous-espaces propres de <math>T</math> sont de dimension finie à l'exception de <math>\ker T</math>.
'''3)''' Montrer que <math>\|T\|</math> ou <math>-\|T\|</math> est une valeur propre. ''(On pensera à la caractérisation de <math>\|T\|</math> rappelée au début.)''

'''4) a)''' En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que <math>|\lambda_0|\ge|\lambda_1|\ge\dots\ge|\lambda_n|\ge\dots</math>, que les espaces propres associés <math>F_k</math> sont deux à deux orthogonaux, et que <math>\left(\oplus_kF_k\right)^\bot=\ker T</math>.
:'''b)''' Montrer que <math>T</math> est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des <math>T_n:=T\Pi_n</math> où <math>\Pi_n</math> désigne la projection orthogonale sur <math>\oplus_{0\le k\le n}F_k</math>.
<u>'''Partie II.'''</u> Dans cette partie, <math>H=\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>. Pour <math>t,x\in[0,1]</math>, on pose :
:<math>K(t,x)=\min(t,x)\left(1-\max(t,x)\right)</math>, puis <math>Tf(x)=\int_0^1K(t,x)f(t)\,\mathrm dt</math>.
'''1)''' Montrer que <math>T</math> est un opérateur autoadjoint compact sur <math>H</math> et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur <math>[0,1]</math>.

'''2) a)''' Soit <math>f</math> un vecteur propre associé à une valeur propre <math>\lambda\ne0</math>. Montrer que <math>\lambda f''=-f</math> et <math>f(0)=f(1)=0</math>.
:'''b)''' En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont données par <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et qu'une suite orthonormée <math>(e_n)</math> de vecteurs propres associés est donnée par <math>e_n(x)=\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> est-il valeur propre ? En déduire que les <math>(e_n)</math> forment une base hilbertienne de <math>H</math>.
:'''c)''' Que vaut <math>\|T\|</math> ?
'''3)''' Montrer que <math>K(t,x)=\frac2{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n\pi x)\sin(n\pi t)}{n^2}</math>, au sens <math>\mathrm L^2</math> ''(on pourra remarquer ou admettre que les <math>h_{n,k}(t,x):=e_n(t)e_k(x)</math> pour <math>k,n\in\N</math> forment une base hilbertienne de <math>H\times H</math>)''
:Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout <math>(t,x)</math>.
'''4)''' En calculant <math>\|K\|_2^2</math> de deux manières, en déduire que <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}</math>.
{{Solution|contenu=
<u>'''Partie I.'''</u>
'''1) a)''' Soient <math>F</math> un sous-espace de <math>H</math> stable par <math>T</math> et <math>u\in F^\bot</math>. Pour tout <math>v\in F</math>, on a <math>w:=Tv\in F</math> donc <math>\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle=\langle u,w\rangle=0</math>.
:'''b)''' Si <math>Tu=\lambda u</math> et <math>Tv=\mu v</math> avec <math>\lambda\ne\mu</math>, alors <math>\lambda\langle u,v\rangle=\langle Tu,v\rangle=\langle u,Tv\rangle=\mu\langle u,v\rangle</math> donc <math>\langle u,v\rangle=0</math>.
'''2) a)''' Pour tous <math>p,q</math> distincts, <math>\|u_p-u_q\|=\sqrt2</math>.
:'''b)''' Supposons que la suite <math>(\lambda_n)</math> ne tend pas vers <math>0</math>. Alors, la suite positive <math>(1/|\lambda_n|)</math> ne tend pas vers +\infty donc admet une sous-suite <math>(1/|\lambda_{n_k}|)</math> bornée. La suite <math>(u_{n_k})</math> est alors l'image par <math>T</math> d'une suite bornée de vecteurs, si bien que (comme <math>T</math> est compact) <math>(u_{n_k})</math> admet une sous-suite convergente. Ceci contredit le résultat de la question précédente donc l'hypothèse était absurde : la suite <math>(\lambda_n)</math> tend bien vers <math>0</math>.
:'''c)''' Immédiat.
'''3)''' Supposons <math>T\ne0</math> et montrons que le réel <math>\lambda:=\sup_{\|u\|=1}\langle Tu,u\rangle</math> est une valeur propre de <math>T</math>. Soit <math>(u_n)</math> une suite de vecteurs unitaires telle que <math>\langle Tu_n,u_n\rangle\to\lambda</math>. Alors, <math>\|Tu_n-\lambda u_n\|^2=\|Tu_n\|^2+\lambda^2\|u_n\|^2-2\lambda\langle Tu_n,u_n\rangle\le2\lambda^2-2\lambda\langle Tu_n,u_n\rangle\to0</math>. On peut supposer de plus (par compacité de <math>T</math>, quitte à extraire une sous-suite) que <math>(Tu_n)</math> converge, vers un certain vecteur <math>v</math>. Alors, <math>v=\lim\lambda u_n\ne0</math>. Par passage à la limite dans <math>T(\lambda u_n)=\lambda T(u_n)</math>, on en déduit : <math>T(v)=\lambda T(v)</math>, donc <math>\lambda</math> est bien une valeur propre de <math>T</math>. De même, <math>\mu:=\inf_{\|u\|=1}\langle Tu,u\rangle</math> est valeur propre. Or <math>\|T\|=\max(\lambda,-\mu)</math>, donc <math>\|T\|</math> ou <math>-\|T\|</math> est une valeur propre.

'''4) a)''' Soient <math>\lambda_0</math> (égale à <math>\pm\|T\|</math>) la valeur propre de plus grande valeur absolue et <math>F_0</math> le sous-espace propre associé. Le sous-espace fermé <math>F_0^\bot</math> est stable par <math>T</math>, et la restriction de <math>T</math> à ce sous-espace est encore un opérateur autoadjoint compact, de norme <math>\le|\lambda_0|</math>. En itérant, on construit ainsi deux suites <math>(\lambda_k)</math> et <math>(F_k)</math> (éventuellement infinies) vérifiant les propriétés voulues.
:'''b)''' <math>\|T-T_n\|=|\lambda_{n+1}|</math> (ou <math>0</math> si les suites s'arrêtent au rang <math>n</math>).
<u>'''Partie II.'''</u>

'''1)''' <math>T</math> est compact par restriction, et autoadjoint parce que <math>K</math> est symétrique. Pour toute <math>f\in H</math>, <math>Tf</math> est continue par uniforme continuité de <math>K</math>.

'''2) a)''' De <math>\lambda f(x)=\int_0^xt(1-x)f(t)\,\mathrm dt+\int_x^1x(1-t)f(t)\,\mathrm dt</math> on déduit <math>\lambda f'(x)=-\int_0^xtf(t)\,\mathrm dt+\int_x^1t(1-t)f(t)\,\mathrm dt</math>, puis <math>\lambda f''=-f</math>. Quant aux conditions <math>f(0)=f(1)=0</math>, elles résultent immédiatement de <math>K(t,0)=K(t,1)=0</math>.
:'''b)''' En résolvant l'équation différentielle, on en déduit : <math>f(x)=C\sin(n\pi x)</math> avec <math>n\in\N^*</math> et <math>\lambda=\frac1{(n\pi)^2}</math>. Donc les valeurs propres non nulles de <math>T</math> sont <math>\lambda_n=\frac1{(n\pi)^2}</math> et le sous-espace propre associé est la droite engendrée par le vecteur unitaire <math>e_n:x\mapsto\sqrt2\sin(n\pi x)</math>. Le réel <math>0</math> n'est pas valeur propre car (par le même calcul que dans la question précédente)<math>0=Tf\Rightarrow0=-f</math>. D'après la partie I, les <math>e_n</math> forment donc une base hilbertienne de H.
:'''c)''' <math>\|T\|=\lambda_1=\frac1{\pi^2}</math>.
'''3)''' <math>K(t,x)=\sum_{n,k\in\N^*}\mu_{n,k}e_n(t)e_k(x)</math>, avec <math>\sum_{n,k\in\N^*}\mu_{n,k}e_k(x)=\langle K(\cdot,x),e_n\rangle=T(e_n)(x)=\lambda_ne_n(x)</math> donc <math>\mu_{n,n}=\lambda_n</math> et les autres <math>\mu_{n,k}</math> sont nuls. Par continuité des deux membres, cette égalité dans <math>\mathrm L^2([0,1]^2)</math> est en fait une égalité point par point.

'''4)''' On en déduit : <math>\|K\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n^2=\frac1{\pi^4}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}</math>. Or par calcul direct, <math>\|K\|_2^2=2\int_0^1(1-x)^2\left(\int_0^xt^2\,\mathrm dt\right)\,\mathrm dx=\frac23\int_0^1(1-x)^2x^3\,\mathrm dx=\frac23\left(\frac14-\frac25+\frac16\right)=\frac1{90}</math>.
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant =
}}