Voir la source de Colorimétrie/Annexe/Détermination des fonctions colorimétriques

{{Annexe
  | idfaculté   = physique
  | niveau      = 16
  | numéro      = 4
  | précédent   = [[../Changement de primaires/]]
  | suivant     = [[../Quelques systèmes RVB/]]
}}

Pour calculer les fonctions colorimétriques, il faut connaître :
* les coordonnées du lieu du spectre ; celles-ci peuvent être obtenues de façon expérimentale, comme ce fut le cas dans le cadre des travaux de Guild et de Wright, ou par correction des coordonnées dans une autre système de primaires comme indiqué dans l’[[../Changement de primaires|annexe n°3]] ;
* les luminances de chacune des primaires lors de l'égalisation du blanc de référence que l’on nommera coefficients de luminance.

== Luminance photométrique  ==

Le blanc de référence <math>\{W\}</math> a une densité de luminance spectrale <math>S_{\{W\}}(\lambda)</math> déterminée. Par conséquent les luminances des lumières quasi-monochromatiques <math>\{w_\lambda\}</math> correspondant à des tranches juxtaposées de largeur ∆λ, centrées sur λ, du spectre du blanc de référence ont toutes une luminance énergétique <math>L'_{\{w_\lambda\}} S_{\{W\}}(\lambda)\cdot \Delta\lambda </math>. La [[Photométrie/Luminance|luminance]] visuelle (ou photométrique) de la tranche s'exprime alors :

:<math>L_{\{w_\lambda\}} = 683 \cdot V(\lambda) \cdot L'_{\{w_\lambda\}}.</math>

{{Remarque
  | align   = 
  | titre   = Remarque
  | contenu = 
En pratique, on préfère utiliser une luminance relative qui permet d’établir une échelle de valeurs, par exemple de 0 à 1 ou de 0 à 100 %.
:<math>L_{\{w_\lambda\}} = 683 \cdot k \cdot V(\lambda) \cdot L'_{\{w_\lambda\}}.</math>
}}

== Composantes ==

C'est l'égalisation de la sensation colorée pour chaque tranche quasi-monochromatique qui permet de retrouver par ajustement des proportions des trois primaires, les coordonnées <math>r(\lambda)</math>, <math>g(\lambda)</math> et <math>b(\lambda)</math>, à défaut de pouvoir mesurer les composantes <math>R(\lambda)</math>, <math>G(\lambda)</math> et <math>B(\lambda)</math>, du fait de la difficulté de maintenir la luminance de la tranche exactement à la valeur souhaitée. 

D'après la définition, et dans le cas d'une lumière monochromatique, les composantes d'une tranche sont proportionnelles aux fonctions colorimétriques :

:<math>R (\lambda)=K\cdot \overline{r}(\lambda)\cdot L'_{\{w_\lambda\}} \, ;</math>

:<math>G(\lambda) =K\cdot \overline{g}(\lambda)\cdot L'_{\{w_\lambda\}} \, ;</math> 

:<math>B(\lambda) =K\cdot \overline{b}(\lambda)\cdot L'_{\{w_\lambda\}} . </math>


{{BDdebut
  | titre    = 
  | dérouler = Voir la démonstration
  | enrouler = Cacher la démonstration
  | visible  = non
  | couleur = #FFCCCC
 }}
La composante rouge pour une couleur quelconque est définie par :

:<math> R =K\cdot\int\limits_{380~nm}^{780~nm} \overline{r}(\lambda).S(\lambda). \mathrm d\lambda .</math>

Dans le cas d'une raie quasi-monochromatique, on peut donc exprimer sa composante notée <math>R(\lambda) </math> :

:<math>R (\lambda)=K\cdot \overline{r}(\lambda)\cdot S_{\{W\}}\cdot \Delta\lambda 
=K\cdot \overline{r}(\lambda)\cdot L'_{\{w_\lambda\}}.</math>
{{BDfin}}

== Fonctions colorimétriques  ==

En introduisant la somme <math>\scriptstyle\overline{d}(\lambda)= \overline{r}(\lambda)+\overline{g}(\lambda)+\overline{b}(\lambda)</math>, inconnue et à déterminer ultérieurement, on peut donc en déduire que :

:<math> \overline{r} (\lambda) = r(\lambda) \cdot \overline{d}(\lambda) \, ;</math>

:<math>\overline{g} (\lambda) = g(\lambda) \cdot \overline{d}(\lambda) \, ; </math>

:<math> \overline{b} (\lambda) = b(\lambda) \cdot \overline{d}(\lambda) . </math>


{{BDdebut
  | titre    = 
  | dérouler = Voir la démonstration
  | enrouler = Cacher la démonstration
  | visible  = non
  | couleur = #FFCCCC
 }}

Pour la composante rouge, la coordonnée est le rapport :

:<math> r(\lambda) = \dfrac {R(\lambda)}{R(\lambda)+G(\lambda)+ B(\lambda)} .</math>

Or, on vient de voir que <math>R(\lambda)</math> est proportionnel à <math>\overline{r}(\lambda)</math>, on peut donc écrire :

:<math>r(\lambda) 
=\dfrac{\overline{r}(\lambda)}{\overline{r}(\lambda)+\overline{g}(\lambda)+\overline{b}(\lambda)}
=\dfrac{\overline{r}(\lambda)}{\overline{d}(\lambda)}.</math>

On en déduit évidemment que :

:<math>\overline{r} (\lambda) = r(\lambda) \cdot \overline{d}(\lambda).</math>

{{BDfin}}


Pour définir les fonctions trichromatiques, il reste à déterminer la fonction somme <math>\scriptstyle\overline{d}(\lambda)</math> à partir des coordonnées. On peut obtenir, à condition de choisir ''K'' = 683.''k'' :
 
:<math>\overline{d}(\lambda)
= \frac {V(\lambda)}{L_{\{R\}} \cdot {r}(\lambda) +L_{\{G\}} \cdot {g}(\lambda) + L_{\{B\}}\cdot {b}(\lambda)}.</math>


Les fonctions colorimétriques peuvent ainsi être définies à partir du moment où on arrive à déterminer expérimentalement les coordonnées du lieu du spectre et les coefficients de luminance des primaires.

{{BDdebut
  | titre    = 
  | dérouler = Voir la démonstration
  | enrouler = Cacher la démonstration
  | visible  = non
  | couleur = #FFCCCC
 }}

On exprime de la luminance en fonction des coordonnées,

:<math>L_{\{e_\lambda\}} = R(\lambda)\cdot L_{\{R\}}+ G(\lambda)\cdot L_{\{G\}}+  B(\lambda) \cdot L_{\{B\}}</math>, 

ce que qui permet d’établir l'égalité qui suit si on la prend équivalente à la luminance telle qu'elle est définie en photométrie.

:<math>L_{\{e_\lambda\}} = K\cdot \left( \overline{r}(\lambda)\cdot L_{\{R\}}+\overline{g}(\lambda)\cdot L_{\{G\}}+\overline{b}(\lambda)\cdot L_{\{B\}} \right)\cdot L'_{\{e_\lambda\}}
= 683 \cdot k \cdot V(\lambda) \cdot L'_{\{e_\lambda\}}</math>

En remplaçant <math>\overline{r}(\lambda)</math> par <math>{r}(\lambda) \cdot \overline{d}(\lambda)</math>, il vient :

:<math>L_{\{e_\lambda\}}
= K\cdot \left( r(\lambda)\cdot L_{\{R\}}+g(\lambda)\cdot L_{\{G\}}+b(\lambda)\cdot L_{\{B\}}\right)\cdot \overline{d}(\lambda)\cdot L'_{\{e_\lambda\}}
= 683 \cdot k \cdot V(\lambda) \cdot L'_{\{e_\lambda\}}.</math>

On vérifie bien la relation énoncée plus haut :

:<math>\overline{d}(\lambda)
= \frac {V(\lambda)}{L_{\{R\}}.{r}(\lambda) + L_{\{G\}}.{g}(\lambda) + L_{\{B\}}.{b}(\lambda)}.</math>

On peut également observer que :

:<math> V(\lambda) = L_{\{R\}}.\overline{r}(\lambda) + L_{\{G\}}.\overline{g}(\lambda) + L_{\{B\}}.\overline{b}(\lambda).</math>

{{BDfin}}

== Changement de blanc de référence  ==
Si les fonctions colorimétriques doivent être calculées pour une blanc de référence <math>\{W\}</math> différent du blanc de référence <math>\{W'\}</math> utilisé pour l'obtention des coordonnées, on obtient en recalculant les composantes puis les coordonnées :

:<math>{r}_{W'}(\lambda)=\tfrac 1 3 \, ; \, {g}_{W'}(\lambda)=\tfrac 1 3 \, ; \, {b}_{W'}(\lambda)=\tfrac 1 3 ,</math>

et <math>{r}_{W}(\lambda)</math>, <math>{g}_{W}(\lambda)</math> et <math>{b}_{W}(\lambda)</math> sont différentes de <math>\tfrac 1 3</math>. Il faut donc à nouveau procéder à un changement des proportions des primaires avec la méthode donnée en [[../Changement de primaires|annexe n°3]] dans le cas particulier du tableau ci-dessous.

:{| class="wikitable" style="align:center; text-align:center; width:80%;"
|-
! scope=row rowspan=2| Système de couleurs 1
! scope=row | Couleurs 1
! scope=col |Rouge <math>\{R_1\}</math>
! scope=col |Vert <math>\{G_1\}</math>
! scope=col |Bleu <math>\{B_1\}</math>
! scope=col |Blanc <math>\{W\}</math>
|-
! scope=row | Composantes pour égaliser le blanc
|<math>R_{1W}</math>
|<math>G_{1W}</math>
|<math>B_{1W}</math>
|1
|-
! scope=row rowspan=2| Système de couleurs 2
! scope=row | Couleurs 2
! scope=col |Rouge <math>\{R_2\}</math>
! scope=col |Vert <math>\{G_2\}</math>
! scope=col |Bleu <math>\{B_2\}</math>
! scope=col |Blanc <math>\{W'\}</math>
|-
! scope=row | Composantes pour égaliser le blanc
|<math>\tfrac 1 3</math>
|<math>\tfrac 1 3</math>
|<math>\tfrac 1 3</math>
|1
|}

On peut ainsi corriger les coordonnées du lieu du spectre afin de calculer les nouvelles fonctions colorimétriques (en réutilisant la méthode indiquée ci-dessus) qui permettront d'obtenir les coordonnées 1/3, 1/3, 1/3 pour le nouveau blanc de référence <math>\{W'\}</math>.


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  | idfaculté   = physique
  | précédent   = [[../Changement de primaires/]]
  | suivant     = [[../Quelques systèmes RVB/]]
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