Voir la source de Cinétique et dynamique d'un système continu de matière

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 4
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels/]]
  | suivant   = 
}}

{{Al|5}}Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» ; de plus si le contenu du système reste inchangé <math>\;\big(</math>aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion<math>\big)</math>, le système est dit « fermé » <math>\;\big[</math>sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> dite « de contrôle »<math>\big]</math>. 

{{Al|5}}Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» de masse surfacique «<math>\;\sigma(M) = \dfrac{dm}{d S}(M)\;</math>» ou linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» de masse linéique {{Nobr|«<math>\;\lambda(M)</math>}} <math>= \dfrac{dm}{d \mathit{l}}(M)\;</math>» ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :
* « le pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> » par « le pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \sigma(M)\;d S_M \right]\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> » ou par « le pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right]\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> » puis
* « l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique <math>\;\mathcal{Y}\;</math> associée à l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à partir de sa densité volumique <math>\;y(M) =</math> <math>\dfrac{d \mathcal{Y}}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> à savoir <math>\;\mathcal{Y} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} y(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_volumique|les deux types d'intégrale volumique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique <math>\;\mathcal{Y}\;</math> associée à l'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à partir de sa densité surfacique <math>\;y_{s}(M) =</math> <math>\dfrac{d \mathcal{Y}}{d S}(M)\;</math> à savoir <math>\;\mathcal{Y} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} y_s(M)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_surfacique_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique <math>\;\mathcal{Y}\;</math> associée à l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à partir de sa densité linéique <math>\;y_{\mathit{l}}(M) =</math> <math>\dfrac{d \mathcal{Y}}{d \mathit{l}}(M)\;</math> à savoir <math>\;\mathcal{Y} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} y_{\mathit{l}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ».

== Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ==

{{Al|5}}Dans le cas général le système continu de matière est déformable et

{{Al|5}}dans le cas où il est fermé et « <u>indéformable</u> » il définit un « <u>solide</u> <math>\;\big(</math>au sens de la mécanique<math>\big)\;</math>».

=== Masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» est une grandeur scalaire <math>\;> 0\;</math> caractérisant l'inertie du système et définie selon <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />.</center>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système est <u>fermé</u>, sa masse ne varie pas c'est-à-dire «<math>\;m_{\text{syst}} = cste\;</math>» <math>\;\big\{</math>mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique <math>\;\searrow\;</math> ou <math>\;\nearrow\big\}</math>.  

=== Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>ou centre de masse<math>\big)\;</math> du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» est le barycentre <math>\;G\;</math> des positions instantanées des pseudo-points <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> affectés de leur masse élémentaire <math>\;dm</math>, sa définition mathématique s'écrivant<ref name="définition du barycentre d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> <center>«<math>\;G\;</math> tel que <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big(G\;</math> est donc un point fictif<math>\big)</math>.</center>
{{Al|5}}<u>Propriété</u> : avec <math>\;O\;</math> représentant une position quelconque, «<math>\;G\;</math> est tel que <math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big(</math>de par la définition, <math>\;G\;</math> est indépendant de <math>\;O\big)</math>. 

{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}<u>Justification</u> : introduisant la position <math>\;O\;</math> dans la définition, on obtient «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right]\,\mu(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\, \overrightarrow{OG}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\Leftrightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>}} <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou encore «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />.

=== Résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>», en mouvement dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, est notée, à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)</math> <math>\;\big[</math>ou, en absence d'ambiguïté, <math>\;\vec{P}(t)\big]\;</math> et définie comme la somme continue<ref name="somme continue"> Par intégrale volumique.</ref> des quantités de mouvement de chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> au même instant <math>\;t\;</math> soit, en notant <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> la densité volumique de résultante cinétique en <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste"> Sous cette forme est encore applicable en cinétique relativiste.</ref> ou encore, ;<br> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste"> N'est pas applicable sous cette forme en cinétique relativiste.</ref>{{,}}<ref> L'expression en cinétique relativiste est nettement moins conviviale <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans laquelle <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_{M}(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}toutefois cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est <math>\not\ll\,c\big]</math>, la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique <math>\;\bigg[</math>en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> est a priori <math>\;\not\propto\;</math> à la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>, cette dernière étant <math>\;\propto\;</math> à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement <math>\;\dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique<math>\bigg]</math>.</ref> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système est <u>fermé</u>, c'est-à-dire s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, <u>l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant</u> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le système est <u>ouvert</u>, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si le système est ouvert, }}<math>\;\succ\;</math>par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et <math>\;\big(</math>ou<math>\big)</math>

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si le système est ouvert, }}<math>\;\succ\;</math>par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.

{{Al|5}}<u>Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\underline{\;\left( \mathcal{V} \right)}</math> : La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>», définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, est liée au mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> dans lequel <br><math>\;m_{\text{syst}}\;</math> est la masse du système et <br><math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>
{{Al|17}}{{Transparent|Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : }}<u>Démonstration</u><ref name="choix du caractère incompressible pour simplifier la démonstration"> Dans cette démonstration nous supposons le système incompressible <math>\Bigg\{</math>c'est-à-dire dont la masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> ne dépend pas explicitement du temps <math>\;t\;</math> soit <math>\;\left(\! \dfrac{\partial \mu}{\partial t}\! \right)_{\!\!M}(M) = 0\Bigg\}\;</math> mais ce qui importe c'est que chaque pseudo-point ait une masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> globalement constante correspondant à une constance de chaque facteur <math>\;\big(</math>cas d'un système incompressible<math>\big)\;</math> ou à une variation contraire <math>\;\big[</math>par exemple si <math>\;\mu(M) \searrow</math>, <math>\;d \mathcal{V}_M \nearrow\big]</math>.</ref> : Choisissant un point <math>\;O\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, est tel que <math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ; 

{{Al|24}}{{Transparent|Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : }}dérivant cette relation par rapport à <math>\;t\;</math> et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient <math>\;m_{\text{syst}}\;\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left(\! \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial t}\! \right)_{\!\!\!M}\!(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> <math>\;m_{\text{syst}} = cste\;</math> pour un système fermé, la dérivée temporelle de <math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math> est donc <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> que multiplie la dérivée temporelle de <math>\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math> mais <u>ce serait faux pour un système ouvert</u>, c'est donc la raison pour laquelle <u>le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé</u>.</ref> ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{V}_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />, le 2<sup>ème</sup> membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.

{{Al|17}}{{Transparent|Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : }}<u>La résultante cinétique</u> <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> <u>du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>», définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est</u> donc, au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur quantité de mouvement du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système, point fictif <u>auquel on affecte toute la masse du système</u>.

=== Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O === 

==== Définition du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O ====

{{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à un point <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>a priori {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système continu"> Ou « moment cinétique (vectoriel) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <math>\;O\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.</ref>}} est la somme continue<ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à ce même point <math>\;O\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> soit, en notant <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O,\,\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!O,\,\text{syst}}}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, ou encore, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;</math> dans lequel <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;</math> est la densité volumique de résultante cinétique en <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{\!O,\,\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref name="moment cinétique d'un système ouvert"> Définition applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle l'est encore à un système continu ouvert de matière d'expansion tridimensionnelle défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les vecteurs moment cinétique des pseudo-points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\big[</math>de même, en cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;</math> seuls les vecteurs vitesse des pseudo-points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser, il en est de même en cinétique relativiste mais les vecteurs vitesse des pseudo-points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à multiplier par le facteur de Lorentz qui leur est associé<math>\big]\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;</math> « le vecteur résultante cinétique volumique en <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», <br>soit encore «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>
==== Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ====

{{Al|5}}Soit <math>\;\left( O\,,\, O' \right)\;</math> deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> suit la relation suivante <center>«<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \vec{\sigma}_{\!O'}(\text{syst},\, t) + \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» est la résultante cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{OM_i} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M_i}\;</math> et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.</ref> soit <math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M} \right] \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{O'M} \wedge \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme <math>\;\vec{\sigma}_{\!O'}(\text{syst},\, t)\;</math> et on factorise vectoriellement à gauche par <math>\;\overrightarrow{OO'}\;</math><ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.</ref> dans le {{1er}} terme <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{OO'} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M \right] =</math> <math>\overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d'où la R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D."> Relation Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le changement d'origine entre un point quelconque <math>\;O\;</math> et le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t) + \overrightarrow{OG} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant <math>\;t</math>, par rapport à un point <math>\;O\;</math> quelconque dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t)\;</math>» est donc la somme <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : }}du moment cinétique vectoriel du système, au même instant <math>\;t</math>, par rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t)\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : }}du moment cinétique vectoriel, par rapport à <math>\;O</math>, du point fictif <math>\;G\;</math> de quantité de mouvement <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(G,\, t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>».

==== Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude ====

{{Al|5}}Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire tel que <math>\;\vec{V}_{M}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\big\}</math>, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> vaut, à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à un point <math>\;O\;</math> quelconque, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t) + \overrightarrow{OG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans lequel «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; \vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\\ \vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> où, le système continu étant en translation, {{Nobr|«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>}} <math>= m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» et «<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> puis, par factorisation vectorielle à droite<ref name="factorisation vectorielle" /> «<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> par définition du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système continu soit <center>«<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> et <br>«<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math><ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> <math>\;= \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
==== Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude ====

===== Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle =====

[[File:Mouvement circulaire - moment cinétique en un point de l'axe autre que le centre.png|thumb|310px|Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> imposé, avec précision du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C]]
{{Al|5}}Soit <math>\;A\;</math> un point quelconque de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> avec <math>\;A \neq C\;</math> centre du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point <math>\;A \neq C\;</math> de son axe de rotation, noté <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> est défini par <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) =\overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> ;</center> 
{{Al|5}}y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée {{Nobr|<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />,}} à savoir <math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math><ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>{{,}}<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire - bis"> On aurait pu aussi écrire <math>\;\vec{V}_M(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math> avec <math>\;\forall\;A \in \Delta\;</math> voir la remarque du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », mais cela aurait entraîné, après une simplification apparente, une légère complication <math>\;\ldots</math></ref>, on obtient <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) =</math> <math>\overrightarrow{AM}(t) \wedge m\, \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math> nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel<ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la formule utilisée ici étant <math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) =</math> <math>\left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)}{m} = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{CM}(t) \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \left[ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) \right] \overrightarrow{CM}(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{AM}(t) = \overrightarrow{AC}(t) + \overrightarrow{CM}(t)\;</math> par utilisation de la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> ou encore, en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> le vecteur unitaire de <math>\;\Delta</math>, on peut écrire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\quad\text{ainsi que}\\ \overrightarrow{AM}(t) = \overline{AC}\;\vec{u}_{\Delta} + \overrightarrow{CM}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{AC}\;\overline{\Omega}(t)\;\cancel{+\; \overrightarrow{CM}(t) \cdot \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}}\\ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{CM}(t) =\; \cancel{\overline{AC}\;\vec{u}_{\Delta} \cdot \overrightarrow{CM}(t)\; +}\; \overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> car <math>\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_{\Delta}</math>, d'où <math>\;\dfrac{\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)}{m} = \overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t)\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{AC}\;\overline{\Omega}(t)\; \overrightarrow{CM}(t)</math>, soit encore, en notant <math>\;R\;</math> le rayon du cercle <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t) = R^2\;\;\forall\;t</math>, l'expression finale du <u>vecteur moment cinétique du point matériel</u> <math>\;M\;</math><u>en mouvement circulaire de centre</u> <math>\;C</math>, <u>de rayon</u> <math>\;R\;</math> et <u>de vecteur rotation instantanée</u> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> quand <u>l'origine de calcul du moment cinétique est un point</u> <math>\;A\;</math> <u>de l'axe de rotation</u> <math>\;\neq\;</math> du centre <math>\;C\;</math> du cercle <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = m\;R^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AC}\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
===== Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ =====

[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)]]
{{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» étant en rotation autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire, au même instant <math>\;t</math>, le vecteur moment cinétique volumique du système en <math>\;M\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> sous la forme <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \mu(M)\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \mu(M)\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_vectoriel_d'un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />, avec <math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M</math>, le vecteur moment cinétique du système <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> étant la somme continue<ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ; on en déduit donc <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \mu(M)\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le {{1er}} ou 2<sup>ème</sup> terme, <center>«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> ;</center>
{{Al|5}}en notant «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique"/>{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point et moment d'inertie volumique"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math>» étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c'est-à-dire de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> et «<math>\;\dfrac{dJ_{\Delta}(M)}{d \mathcal{V}_M} = \mu(M)\;r^2 = J_{\Delta,\,\text{volum}}(M)\;</math>» le moment d'inertie volumique du système en <math>\;M\;</math> relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation.</ref> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2\;</math> le <u>moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation </u><math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2<sup>ème</sup> grandeur d'inertie caractérisant le système, la {{1re}} étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et 

{{Al|5}}repérant <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r}\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]\;</math><ref name="repérage cylincro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>,

{{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant 
* premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c'est-à-dire que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et
* deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c'est-à-dire que les pseudo-points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des pseudo-points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les pseudo-points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, 
{{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu de matière ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2<sup>ème</sup> grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref>{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
===== Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système » =====

{{Al|5}}Pour tout <math>\;A</math>, point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et passant par <math>\;A</math>, <br>{{Al|5}}on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation <math>\;\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}</math>, orthogonales entre elles, telles que <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t)\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math>» du système c'est-à-dire telles que <br>«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH_{k}}\;\overrightarrow{H_{k}M}(t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Ou, en choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}\;</math> et repérant <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}</math> <math>\;\Big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{k}}\,,\,\vec{u}_{\theta_{k}}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace\Big]</math>, c'est-à-dire «<math>\; \left( r_{k},\, \theta_{k},\, z_{k} \right)\;</math>», la réécriture de la condition selon «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z_{k}\;r_{k}\;\vec{u}_{r_{k}}(t) = \vec{0}\;</math>».</ref> avec <math>\;H_{k}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)</math>, <br><math>\Downarrow</math> <br> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t) = J_{\Delta_{p,\,k}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> avec «<math>\;J_{\Delta_{p,\,k}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r_{k}^{\,2}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle <math>\;r_{k} = H_{k}M</math>, <br><math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> définissant un « <u>axe principal d'inertie</u> du système issu de <math>\;A\;</math>»<ref> Il y a donc au moins trois axes principaux d'inertie d'un système continu fermé par point origine de calcul de moment cinétique (vectoriel) du système lors de la rotation de ce dernier autour de l'axe choisi <math>\;\ldots</math></ref>, <br><math>\;J_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> étant le « <u>moment principal d'inertie</u> du système relativement à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> passant par <math>\;A\;</math>».</center>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux <math>\;\perp</math>, d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>», en rotation autour d'un axe issu de <math>\;A\;</math> ayant l'une des trois directions précédentes, « soit <math>\;\parallel\;</math> au vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>», {{Nobr|c'est-à-dire}} qu'<u>on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point</u> <math>\;A</math>, ou encore <u>on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine</u> {{Nobr|<math>\;A\;</math><ref name="repère principal d'inertie"> Les trois axes principaux d'inertie du système issus de <math>\;A\;</math> définissent, avec ce dernier, le « repère principal d'inertie du système ».</ref>}} mais <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>un axe quelconque <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points</u> <math>\;A\;</math> c'est-à-dire que le 2<sup>ème</sup> terme du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta \right)}(\text{syst},\,t)\;</math> du système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, à savoir «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \; \perp \left( \Delta \right)\;</math>», peut être non nul pour tous les points <math>\;A \in \left( \Delta \right)\;</math><ref> Et s'il existe un point <math>\;A_p \in \left( \Delta \right)\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{A_pH}\;\overrightarrow{HM}(t) = \vec{0}\;</math>», pour les autres points <math>\;A \in \left( \Delta \right)\;</math> mais <math>\;\neq A_p\;</math> on a, sauf cas très particulier, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \neq \vec{0}\;</math>»,}} ce qui signifie que <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est axe principal d'inertie uniquement si le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système est le point <math>\;A_p</math>.</ref>.

{{Al|5}}<u>Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants</u> : Pour plus de détails voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_notion_d’axes_principaux_d'inertie_d’un_«_système_continu_de_matière_»|complément, notion d'axes principaux d'inertie d'un système continu de matière]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_moments_principaux_d’inertie_»_de_quelques_solides_homogènes|complément, moments principaux d'inertie de quelques solides homogènes]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : }}l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on vérifie la relation {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta \right)}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= J_{\Delta}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^{\,2}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle <math>\;r = HM\;</math> établissant que <u>l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe</u>, en effet «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en <math>\;H_n</math>, à la position <math>\;M_{n,\,\theta}\;</math> correspond une position unique <math>\;{M'}_{n,\,\theta}\;</math> symétrique de <math>\;M_{n,\,\theta}\;</math> par rapport à <math>\;H_n\;</math> c'est-à-dire tel que <math>\;\overrightarrow{H_n{M'}_{n,\,\theta}}(t) = - \overrightarrow{H_nM_{n,\,\theta}}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mu(M_{n,\,\theta})\;\overline{AH_n} \left[ \overrightarrow{H_nM_{n,\,\theta}}(t) + \overrightarrow{H_n{M'}_{n,\,\theta}}(t) \right] = \vec{0},\;\;\forall\;\theta,\;\;\forall\;n\;</math>» d'où la propriété énoncée en intégrant sur <math>\;\theta\;</math> à <math>\;H_n\;</math> fixé utilisant <math>\;\big(</math>une seule fois<math>\big)\;</math> toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en <math>\;H_n\;</math><ref> Pour une seule utilisation il faut donc regrouper les positions par couple.</ref> puis sur <math>\;H_n\;</math> pour décrire toutes les sections droites.

=== Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ ===

{{Al|5}}<u>Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>est</u> définie comme <u>la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système</u>, au même instant <math>\;t</math>, dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par rapport à un point</u> <math>\;A\;</math> <u>quelconque de l'axe</u> soit <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\;t) = \vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\;t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»,<ref name="définition moment cinétique scalaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_»_dans_le_référentiel_d’étude_et_conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude et conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> <math>\;\forall\;A\;\in\;\Delta</math>.</center>
{{Al|5}}<u>Justification de la définition</u> : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est <u>[[w:Équiprojectivité_en_physique|équiprojectif]]</u> {{Nobr|c'est-à-dire}} en vérifiant la propriété «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \overrightarrow{AA'} = \vec{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition : }}pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<ref name="formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Formule_de_changement_d'origine_d'évaluation_du_moment_cinétique_vectoriel_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> soit «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\vec{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\, t) + \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> et on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition {{Nobr|vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>}} <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) \cdot \overrightarrow{AA'} = \vec{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\, t) \cdot \overrightarrow{AA'}\;\cancel{ + \left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \overrightarrow{AA'}}\;</math>»<ref name="produit mixte de trois vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », en particulier les conditions de nullité du produit mixte.</ref> R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />. ;

{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition : }}prenant deux points distincts <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> quelconques sur l'axe <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, nous pouvons poser <math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math> et l'[[w:Équiprojectivité_en_physique|équiprojectivité]] du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \vec{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude</u> : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'exprimant, à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à un point <math>\;A\;</math> quelconque d'un axe <math>\;\Delta</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =\; \cancel{\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t)\; +}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref> Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation par rapport au C.D.I. du système étant nul selon la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particulier_d'un_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude|cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : }}le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = m_{\text{syst}} \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte de trois vecteurs) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{AG}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = m_{\text{syst}} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H_GG}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» en notant <math>\;H_G\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;G\;</math> sur l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> d'où les coordonnées cylindro-polaires de <math>\;G</math> <math>\;\left( r_G\,,\, \theta_G\,,\, z_G \right)</math> <math>\;\big[</math>avec pour base cylindro-polaire liée à <math>\;G</math>, <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]\;</math><ref name="repérage cylincro-polaire" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H_GG}(t) = r_G(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math> et par suite «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}\;r_G(t) \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{u}_\theta(t) \right]\;</math>» ou, en notant <math>\;V_{\theta,\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant <math>\;t</math><ref name="encore applicable en cinétique relativiste" />, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en transl.},\, t) =  m_{\text{syst}}\;r_G(t)\;V_{\theta,\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math><ref name="non applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref> Relation très peu utilisée, la notion de moment cinétique n'intervenant pratiquement qu'en présence d'une composante de rotation <math>\;\ldots</math></ref>.</center>
{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude</u> : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'exprimant, à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation" /> dans lequel «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M)</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe et <math>\;\overline{\Omega}(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : }}le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left\lbrace J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que <math>\;\overrightarrow{HM}(t) \perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;\;\forall\;M</math>, «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\; \cancel{-\; \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par rapport auquel le moment cinétique est évalué <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» que l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> soit principal d'inertie<ref name="définition d'un axe principal d'inertie"> Voir la définition dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Simplification_dans_le_cas_où_l'axe_Δ_de_rotation_du_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_est_«_axe_principal_d'inertie_du_système_»|simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est “ axe principal d'inertie du système ”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou non<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
=== Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue<ref name="somme continue" /> des énergies cinétiques de tous les pseudo-points <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, définies au même instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="énergie cinétique d'un point"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> soit, en notant <math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t) =</math> <math>\dfrac{d K}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à cet instant <math>\;t</math>,  <center>«<math>\;K(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref name="énergie cinétique d'un système ouvert"> Définition applicable à un système continu fermé de matière l'est encore à un système continu ouvert de matière défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les énergies cinétiques des pseudo-points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser.</ref> ou, <br>la densité volumique d'énergie cinétique s'exprimant encore selon <br>«<math>\;K_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{\vec{P}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu(M)} = \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \cdot \vec{V}_{M}(t)\;</math>» avec <br><math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;</math> « la densité volumique de résultante cinétique du système en<math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», <br>et <math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», <br>«<math>\;K(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\vec{P}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \cdot \vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude</u> : L'énergie cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire tel que <math>\;\vec{V}_{M}(t) =</math> <math>\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\big\}</math>, s'évaluant selon «<math>\;K(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> soit, en factorisant par <math>\;\dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}\;</math> et reconnaissant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans l'autre facteur <center>«<math>\;K(\text{syst. en transl.},\, t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />{{,}}<ref name="énergie cinétique d'un point" /> <br>ou encore, avec <math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math><ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> <br> «<math>\;K(\text{syst. en transl.},\, t) = \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude</u> : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire tel que <math>\;\vec{V}_{M}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t),\;\forall\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> avec <math>\;A\;\in\;\Delta\big\}\;</math><ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire - bis" />, s'évaluant selon «<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \cdot \vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="énergie cinétique d'un point" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation" /> ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de <math>\;M</math>, «<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation" /> ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance du produit mixte" /> «<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]\, d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> soit, en factorisant par <math>\;\dfrac{\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math> et en reconnaissant dans l'autre facteur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <center>«<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en rot.},\,t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> ou <br>«<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) = \dfrac{1}{2}\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en rot.},\,t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> dans laquelle <math>\;\overline{\Omega}(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> est la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>ou encore, avec <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst. en rot.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="non applicable en cinétique relativiste" />, <math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> étant le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br> «<math>\;K(\text{syst. en rot.},\, t) = \dfrac{\sigma_{\!\Delta}^{\,2}(\text{syst. en rot.})}{2\;J_\Delta}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
== Référentiel barycentrique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et cinétique associée ==

=== Notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Définition|titre=Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}<u>Le référentiel barycentrique</u> <math>\;\big(</math>ou du centre de masse<math>\big)\;</math> <math>\mathcal{R}^{*}\;</math> <u>du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» <u>est le référentiel lié au C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système <u>en translation par rapport au référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}</math>.}}
{{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\;G\;</math> étant immobile dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, le vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> y est nul soit «<math>\;\vec{V}_{/\,\mathcal{R}^{*}}(G,\,t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» noté plus succinctement «<math>\;\vec{V}^{\,*}\!(G,\,t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques :}} Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> le point <math>\;G</math>.

{{Al|5}}<u>Intérêt de son introduction</u> : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> en la considérant comme composée de deux mouvements :  

{{Al|8}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}<math>\;\succ\;</math>un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant <math>\;t</math>, à <math>\;\vec{V}_{/\,\mathcal{R}}\!(G,\,t)</math>, ce mouvement considérant le système à l'instant <math>\;t\;</math> comme un solide <math>\;\mathcal{S}_G(t)\;</math> et

{{Al|8}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}<math>\;\succ\;</math>un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide <math>\;\mathcal{S}_G(t)\;</math> lié au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}le solide <math>\;\mathcal{S}_G(t)\;</math> s'identifie au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, ce dernier étant lié à <math>\;G</math>, en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{/\,\mathcal{R}}\!(G,\,t)\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}la description de la cinématique du système se réduit donc à

{{Al|8}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}<math>\;\succ\;</math>celle du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et

{{Al|8}}{{Transparent|Intérêt de son introduction : }}<math>\;\succ\;</math>celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

=== Grandeurs cinétiques barycentriques du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

==== Résultante cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ====

{{Al|5}}<u>Définition</u> : La résultante cinétique barycentrique <math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» est la somme continue<ref name="somme continue" /> des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit <center>«<math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> avec <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;</math> la densité volumique de résultante cinétique barycentrique du système ou encore, <br>en cinétique classique, «<math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}\!(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
{{Al|5}}<u>Propriété</u> : «<math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> car «<math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^{\,*}\!(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> d'une part et «<math>\;\vec{V}_G^{\,*}\!(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» d'autre part ; on en déduit «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.

==== Moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque ====

{{Al|5}}<u>Définition</u> : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» évalué en un point <math>\;O\;</math> quelconque «<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» est la somme continue<ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> par rapport au même point <math>\;O\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{\sigma}_{O,\,\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> avec <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;</math> la densité volumique de vecteur moment cinétique barycentrique du système par rapport à <math>\;O</math> <br>ou encore, «<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}\!(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
{{Al|5}}<u>Propriété</u> : «<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» est <u>indépendant du point origine</u> <math>\;O\;</math> et simplement noté «<math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points <math>\;O\;</math> et <math>\;O'\;</math> distincts on obtient «<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}_{O'}^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}^{\,*}\!(t)\;</math>»<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> avec <math>\;\vec{P}^{\,*}\!(t) = \vec{0}\;</math><ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> d'où «<math>\;\vec{\sigma}_O^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}_{O'}^{\,*}\!(\text{syst},\,t),\;\;\forall\;t,\;\;\forall\; \left\lbrace O\,,\, O' \right\rbrace\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.

==== Énergie cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ====

{{Al|5}}<u>Définition</u> : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» «<math>\;K^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» est la somme continue<ref name="somme continue" /> des énergies cinétiques barycentriques de tous les pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;K^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="encore applicable en cinétique relativiste" /> avec <math>\;K_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;</math> la densité volumique d'énergie cinétique barycentrique du système ou encore, <br>en cinétique classique, «<math>\;K^{\,*}\!(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \vec{V}_{M}^{\,*} \right]^2\!(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\!(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\vec{P}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t) \cdot \vec{V}_{M}^{\,*}\!(t)}{2}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>
== Théorèmes de Kœnig (ou König) ==

{{Al|5}}Les théorèmes de Kœnig <math>\;\big(</math>ou König<math>\big)\;</math><ref name="Kœnig"> '''[[w:Johann_Samuel_König|Johann Samuel König]] (1712 - 1757)''' mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les [[w:Théorèmes_de_König_(mécanique)|théorèmes de Kœnig]] ainsi que dans celui des [[w:Statistique|statistiques]] et des [[w:Probabilité|probabilités]] le [[w:Théorème_de_König-Huygens|théorème de König-Huygens]] liant la [[w:Variance_(mathématiques)|variance]] et la [[w:Moyenne|moyenne]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' <math>\;\big[</math>ou '''Huyghens'''<math>\big]\;</math> est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

=== {{1er}} théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique) ===

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre={{1er}} théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)| contenu={{Al|5}}Le moment cinétique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» évalué à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> relativement à un point <math>\;O\;</math> quelconque «<math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» est la somme 
* du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «<math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>»<ref name="moment cinétique barycentrique indépendant du point origine"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_barycentrique_vectoriel_du_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_évalué_en_un_point_O_quelconque|moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> évalué à l'instant <math>\;t\;</math> et 
* du moment cinétique vectoriel du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système évalué au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même point <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>en attribuant au point fictif <math>\;G\;</math> la masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> «<math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(G,\,t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» soit, mathématiquement <center>«<math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + \vec{\sigma}_{O}\!(G,\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>}}
==== Démonstration ====

{{Al|5}}Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude<ref name="formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel" /> et l'appliquant entre un point <math>\;O\;</math> quelconque et le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système, on peut donc écrire «<math>\;\vec{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t) + \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> ;

{{Al|5}}il reste, pour terminer la démonstration du {{1er}} théorème de Kœnig<ref name="Kœnig" />, à établir que <u>le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système, à l'instant <math>\;t</math>, <u>dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système</u>, au même instant <math>\;t</math>, c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système, soit encore à établir «<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t)\; \overset{\text{?}}{=}\; \vec{\sigma}_{\!G}^{*}(\text{syst},\, t)\;</math>» ;

{{Al|5}}pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu<ref name="loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de translation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Lien_entre_vecteurs_vitesse_absolue_et_relative_(ou_loi_de_composition_newtonienne_des_vitesses)|lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)]] lors d'un entraînement de translation » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref>, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math>»<ref name="Terminologie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Terminologie|terminologie]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref>, le mouvement d'entraînement du centre <math>\;M\;</math> d'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque étant une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M\;</math> vérifie «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = \vec{V}_G(t),\;\forall\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right),\;\forall\;t\;</math>» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre <math>\;M\;</math> de pseudo-point s'écrit «<math>\;\vec{V}_{M}(t) =</math> <math>\vec{V}_{M}^{\,*}(t) + \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de translation" /> puis, <br>{{Al|5}}en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par <math>\;\overrightarrow{GM}(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> dans le membre de droite «<math>\,\overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t)\;d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{G}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math>», enfin <br>{{Al|5}}en faisant la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{GM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{G}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, « {{1er}} membre dans lequel on reconnaît <math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t)\;</math>» et 2<sup>nd</sup> membre dans lequel « le {{1er}} terme s'identifie à <math>\;\vec{\sigma}_{\!G}^{*}(\text{syst},\, t)</math>», le « 2<sup>ème</sup> terme se réécrivant <math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> en factorisant vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" /> soit <math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> par définition du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle d'où finalement «<math>\;\vec{\sigma}_{\!G}(\text{syst},\, t) = \vec{\sigma}_{\!G}^{*}(\text{syst},\, t)\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.

==== Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique) ====

{{Al|5}}Le mouvement général d'un système <math>\;\mathcal{S}\;</math> continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» <u>indéformable</u> <math>\;\big(</math>définissant un solide au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est un mouvement composé
* d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel <math>\;G\;</math> est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système et
* d'une rotation<ref name="caractère rotatif"> Le caractère rotatif provient du fait que le système est indéformable.</ref> autour de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du solide ;
{{Al|5}}l'application du {{1er}} théorème de Kœnig<ref name="Kœnig" /> à <math>\;\mathcal{S}\;</math> nous conduit à «<math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(\mathcal{S},\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) + \vec{\sigma}_{O}\!(G,\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) + \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\mathcal{S}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» dans lequel 
* <math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(G,\,t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\mathcal{S}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> provient du mouvement de translation de <math>\;\mathcal{S}\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, dans ce cas on parlerait de moment cinétique orbital<math>\big\}\;</math> et
* <math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t)</math>, dû à la rotation propre du solide <math>\;\mathcal{S}\;</math> autour du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre <math>\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t) = \overline{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t)\;\vec{u}_{\Delta_G}(t)\;</math> du solide <math>\;\mathcal{S}\;</math> autour de son {{Nobr|C.D.I<ref name="C.D.I." />.}} <math>\;G\;</math> selon «<math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) = J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S})\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t) - \overline{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{GH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\,</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> est le moment d'inertie de <math>\;\mathcal{S}\;</math> relativement à l'axe de rotation <math>\;\Delta_G(t)\;</math><ref name="axe non nécessairement fixe"> On note «<math>\;\Delta_G(t)\;</math>» pour traduire le fait que l'axe de rotation n'est pas nécessairement fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> ; une conséquence du fait que la rotation propre de <math>\;\mathcal{S}\;</math> puisse se faire autour d'un axe de direction variable serait que le moment d'inertie de <math>\;\mathcal{S}\;</math> dépende du temps <math>\;t</math>, il faudrait donc en toute rigueur noté <math>\;J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref> passant par <math>\;G\;</math>» avec <math>\;r = HM</math>, <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\Delta_G(t)</math>, le dernier terme de <math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t)\;</math> n'étant nul que <u>si l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta_G(t)\;</math> <u>est axe principal d'inertie du solide<ref name="définition d'un axe principal d'inertie" />, on peut alors écrire</u> «<math>\;\vec{\sigma}^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) = J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S})\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t)\;</math>».
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cas général où l'axe de rotation propre <math>\;\Delta_G(t)\;</math> n'est pas nécessairement un axe principal d'inertie du solide<ref name="définition d'un axe principal d'inertie" />, on peut appliquer la version du {{1er}} théorème de Kœnig<ref name="Kœnig" /> projetée sur <math>\;\Delta_G(t)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\Delta_O(t)\;</math> de même direction que <math>\;\Delta_G(t)\;</math> mais passant par <math>\;O\big]</math>, et on obtient «<math>\;\sigma_{\!\Delta_O}\!(\mathcal{S},\,t) = J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S})\;\overline{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t) + \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\mathcal{S}}\;\vec{V}_G(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}(t)\;</math>».

=== 2<sup>ème</sup> théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) ===

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=2<sup>ème</sup> théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)| contenu={{Al|5}}L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>»}} évalué à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;K(\text{syst},\,t)\;</math>» est la somme 
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «<math>\;K^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» évalué à l'instant <math>\;t\;</math> et 
* de l'énergie cinétique du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système évalué au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\;\big[</math>en attribuant au point fictif <math>\;G\;</math> la masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> «<math>\;K\!(G,\,t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t)\;</math>» soit, mathématiquement <center>«<math>\;K(\text{syst},\,t) = K^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + K\!(G,\,t) = K^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t)\;</math>»<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />.</center>}}
==== Démonstration ====

{{Al|5}}L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» étant définie, 
* à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon «<math>\;K(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}\!(t)\;d \mathcal{V}_M</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> et, 
* dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, au même instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;K^{*}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \vec{V}_{M_i}^{\,*} \right]^{\!2}\!(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" />,

{{Al|5}}nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu<ref name="loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de translation" />, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math>»<ref name="Terminologie" />, le mouvement d'entraînement du centre <math>\;M\;</math> d'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque étant une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M\;</math> vérifie «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = \vec{V}_G(t),\;\forall\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right),\;\forall\;t\;</math>» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre <math>\;M\;</math> de pseudo-point s'écrit «<math>\;\vec{V}_{M}(t) =</math> <math>\vec{V}_{M}^{\,*}(t) + \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de translation" /> puis, <br>{{Al|5}}en formant le carré scalaire <math>\;\big(</math>développé dans le membre de droite<math>\big)\;</math> et en multipliant par <math>\;\dfrac{\mu(M)}{2}\;d \mathcal{V}_M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{1}{2}\;\mu(M) \left\lbrace \left[ \vec{V}_{M}^{\,*} \right]^2\!(t) + \vec{V}_{M}^{\,*}(t) \cdot \vec{V}_{G}(t) + \dfrac{1}{2}\;\vec{V}_G^{\,2}(t) \right\rbrace \;d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, en développant le membre de droite, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \vec{V}_{M}^{\,*} \right]^2\!(t)\;d \mathcal{V}_M + \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t) \cdot \vec{V}_{G}(t)\;d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_G^{\,2}(t) \;d \mathcal{V}_M\;</math>», enfin <br>{{Al|5}}en faisant la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \vec{V}_{M}^{\,*} \right]^2\!(t)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t) \cdot \vec{V}_{G}(t)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;\vec{V}_G^{\,2}(t) \;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, « {{1er}} membre dans lequel on reconnaît <math>\;K(\text{syst},\, t)\;</math>» et 2<sup>nd</sup> membre dans lequel « le {{1er}} terme s'identifie à <math>\;K^{*}(\text{syst},\, t)\;</math>», le « 2<sup>ème</sup> terme se réécrivant <math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, en factorisant scalairement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.</ref> soit <math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_{M}^{\,*}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{V}_G(t) = \vec{P}^{\,*}(t) \cdot \vec{V}_G(t) = 0\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle et le « 3<sup>ème</sup> terme, en factorisant par <math>\;\dfrac{\vec{V}_G^{\,2}(t)}{2}</math>, se réécrivant <math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \dfrac{\vec{V}_G^{\,2}(t)}{2} = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t) = K(G,\,t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> d'où finalement «<math>\;K(\text{syst},\, t) = K^{*}(\text{syst},\, t) + \;K(G,\,t)\;</math> ou <math>\;K(\text{syst},\, t) =</math> <math>K^{*}(\text{syst},\, t) + \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t)\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.

==== Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique) ====

{{Al|5}}Le mouvement général d'un système <math>\;\mathcal{S}\;</math> continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» <u>indéformable</u> <math>\;\big(</math>définissant un solide au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est un mouvement composé
* d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel <math>\;G\;</math> est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système et
* d'une rotation<ref name="caractère rotatif" /> autour de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du solide ;
{{Al|5}}l'application du 2<sup>ème</sup> théorème de Kœnig<ref name="Kœnig" /> à <math>\;\mathcal{S}\;</math> nous conduit à «<math>\;K\!(\mathcal{S},\,t) = K^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) + K(G,\,t) = K^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) + \dfrac{1}{2}\; m_{\mathcal{S}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t)\;</math>» dans lequel 
* <math>\;K(G,\,t) = \dfrac{1}{2}\; m_{\mathcal{S}}\;\vec{V}_G^{\,2}(t)\;</math> provient du mouvement de translation de <math>\;\mathcal{S}\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, dans ce cas on parlerait d'énergie cinétique orbitale<math>\big\}\;</math> et
* <math>\;K^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t)</math>, due à la rotation propre du solide <math>\;\mathcal{S}\;</math> autour du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre <math>\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t) = \overline{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}(\mathcal{S},\,t)\;\vec{u}_{\Delta_G}(t)\;</math> du solide <math>\;\mathcal{S}\;</math> autour de son {{Nobr|C.D.I<ref name="C.D.I." />.}} <math>\;G\;</math> selon «<math>\;K^{\,*}\!(\mathcal{S},\,t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S})\;\vec{\Omega}_{\,/ \mathcal{R}^{*}}^{\,2}(\mathcal{S},\,t)\,</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_G(t)}(\mathcal{S}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> est le moment d'inertie de <math>\;\mathcal{S}\;</math> relativement à l'axe de rotation <math>\;\Delta_G(t)\;</math><ref name="axe non nécessairement fixe" /> passant par <math>\;G\;</math>» avec <math>\;r = HM</math>, <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\Delta_G(t)</math>.

== Notions de systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et leurs propriétés associées ==

{{Al|5}}Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière, ce dernier est envisagé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» ; de plus si le contenu du système reste inchangé <math>\;\big(</math>aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion<math>\big)</math>, le système est dit « fermé » <math>\;\big(</math>sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> dite « de contrôle »<math>\big)</math>.

{{Al|5}}Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste <math>\;\big(</math>une force devant être invariante par changement de référentiel<math>\big)\;</math> ainsi que toutes les autres notions associées « résultante, moments résultants vectoriel et scalaire, puissance, travaux élémentaire et fini, caractère conservatif d'une force et énergie potentielle associée ».

=== Résultante des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> de matière pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

{{Al|5}}<u>Remarques</u> : Nous avons vu dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Exemples|exemples]] (de forces appliquées sur un système discret fermé de points matériels) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » qu'il existe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}deux types de forces s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels, les « forces de champ » et les « forces de contact », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : deux types de forces }}sans différence formelle entre les deux dans le cas d'un système discret fermé de matière si ce n'est que les 1<sup>ères</sup> s'exercent sur tous les points alors que les 2<sup>ndes</sup> n'agissent que sur les points situés en périphérie du système ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de champ » s'exerçant sur tous les pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> sont réparties en volume et, bien que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, }}les « forces de contact » s'exerçant sur les pseudo-points de la périphérie du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> sont usuellement réparties en surface <math>\;\big(</math>ou encore localisée ponctuellement comme dans le cas de l'action du ressort ou d'une corde<math>\big)</math>, nous les considérerons aussi, de façon à ne pas alourdir la présentation, comme réparties en volume {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} une valeur nulle pour tous les pseudo-points hors périphérie du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /><math>\big)\;</math> simplification dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, }}l'absence pratique de distinction entre « forces de champ » et « forces de contact » dans ce qui suit pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\ldots</math>

==== Résultante du système de forces extérieures (ou résultante dynamique) appliqué(e) à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ====

===== Définition d'une force extérieure appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle =====

{{Al|5}}Une force <u>extérieure</u> est une force que l'extérieur «<math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math>» du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de ce système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>le système des forces extérieures</u> est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires <math>\;\left\lbrace d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right\rbrace_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> que « chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\Bigg[</math>ou encore <math>\;\left\lbrace d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right\rbrace_{\begin{array}{l}M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\\ k\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, p \right]\right]\end{array}}\!</math><ref name="définition de p"> <math>\;p\;</math> étant le nombre de systèmes <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)</math>.</ref><math>\Bigg]</math>.

{{Al|5}}La « force extérieure élémentaire <math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> que le système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, nous remplaçons la donnée du « système des forces extérieures <math>\;\left\lbrace d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right\rbrace_{\begin{array}{l}M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\\ k\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, p \right]\right]\end{array}}\!</math><ref name="définition de p" /> » par celle de la « densité volumique de force extérieure <math>\;\left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right\rbrace_{\begin{array}{l}M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\\ k\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, p \right]\right]\end{array}}\!</math><ref name="définition de p" /> » avec <center>la « densité volumique de force extérieure que le système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> exerce en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <br>définie par «<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} = \dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> en <math>\;N \cdot m^{-3}\;</math>».</center>
===== Définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle =====

{{Définition|titre=Résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}La <u>résultante dynamique</u> <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> appliquée à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>résultante des forces extérieures élémentaires</u> de densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> s'exerçant sur ce système de matière soit encore <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br><math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,p} \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math><ref name="définition de p" /> la somme des <br>densités volumiques de forces que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> exerce en <math>\;M \in \left( \mathcal{V} \right)</math>.</center>}}
==== Résultante du système de forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle ====

===== Définition d'une force intérieure appliquée à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle =====

{{Al|5}}Une force <u>intérieure</u> est une force qu'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur un autre pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de ce même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>le système des forces intérieures</u> est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires <math>\;\left\lbrace d^2\!\vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right\rbrace_{\left( M,\,M' \right)\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)^2}\;</math> que chaque pseudo-point <math>\;M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de ce même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.

{{Al|5}}La « force intérieure élémentaire <math>\;d^2\!\vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> que le pseudo-point <math>\;M'\,\left[ \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}</math>, nous remplaçons la donnée du « système des forces intérieures <math>\;\left\lbrace d^2\!\vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right\rbrace_{\left( M,\,M' \right)\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)^2}\;</math>» par celle de la « densité bivolumique de force intérieure <math>\;\left\lbrace \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right\rbrace_{\left( M,\,M' \right)\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)^2}\;</math>» avec <center>la « densité bivolumique de force intérieure que <math>\;M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <br>définie par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} = \dfrac{d^2\!\vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> en <math>\;N \cdot m^{-6}\;</math>».</center>
{{Al|5}}<u>Remarques</u> : Bien sûr, la distinction entre « forces extérieures » et « forces intérieures » impose de commencer par définir, <u>sans ambiguïté</u>, le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, c'est aussi la raison pour laquelle nous nous limitons aux systèmes fermés. 

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que le pseudo-point <math>\;M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> mais aussi l’action que le pseudo-point <math>\;M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point <math>\;M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> avec <math>\;M' \neq M</math> ; on parle alors d’<u>interactions entre les deux pseudo-points</u><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> et si l’une est appelée arbitrairement « <u>action</u> », l’autre est alors nommée « <u>réaction</u> ». Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' pour qui l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] fut la contribution principale dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment ; en optique '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.</ref> a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3<sup>ème</sup> brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n<ref name="p.f.d.n."> Principe Fondamental de la Dynamique Newtonienne.</ref>. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3<sup>ème</sup> loi de Newton<ref name="Newton" />.

===== Rappel du principe des actions réciproques (ou 3<sup>ème</sup> loi de Newton) =====

{{Al|5}}Le principe des actions réciproques <math>\;\big(</math>ou 3<sup>ème</sup> loi de Newton<ref name="Newton" /><math>\big)\;</math> a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques_et_commentaires|énoncé du principe des actions réciproques et commentaires]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », il ne s'agit donc que d'un rappel.

{{Théorème|titre=Principe des actions réciproques (ou 3<sup>ème</sup> loi de Newton)|contenu={{Al|5}}Pour deux points matériels <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> en interaction telle que <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> décrive l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points"> La force décrivant l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math> est encore notée <math>\;\vec{F}_{1\,,\,2}\;</math> et celle décrivant l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math> encore notée <math>\;\vec{F}_{2\,,\,1}\;</math> avec l'objet subissant l'action en {{1er}} indice et l'objet source de l'action en 2<sup>nd</sup>.</ref> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points" />, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2</math> : <center><math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math> <br>et<br><math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math><ref> Et, ce qui est équivalent à <math>\;\overrightarrow{M_2M_1} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}</math>.</ref>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : En « <u>dynamique newtonienne</u> »<ref name="dynamique newtonienne" > C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit à peu près <math>\;v_i \lesssim \dfrac{c}{10} \simeq 30000\;km \cdot s^{-1}</math>, la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».</ref> les forces étant <u>invariantes par changement de référentiel</u> et le déplacement relatif <math>\;\overrightarrow{M_1M_2}\;</math> en étant indépendant également, <u>le principe est applicable dans n'importe quel référentiel</u><ref> En <u>dynamique relativiste</u>, <u>le principe des actions réciproques reste applicable</u> dans la mesure où les forces utilisées sont <u>invariantes par changement de référentiel</u> <math>\;\big(</math>et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;</math> dans sa globalité<math>\big)</math>.</ref> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}la 2<sup>ème</sup> relation <math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math> peut s'écrire encore, en utilisant la {{1re}} relation, <math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}</math>, ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> sont identiques, de support commun <math>\;\left( M_1M_2 \right)</math>, la {{1re}} relation <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math> ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : À l'[[w:Physique_mésoscopique|échelle mésoscopique]] un pseudo-point d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> se comportant, des points de vue cinétique et dynamique, comme un point matériel, le principe des actions réciproques <math>\;\big(</math>ou 3<sup>ème</sup> loi de Newton<ref name="Newton" /><math>\big)\;</math> peut s'appliquer à un couple de pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />.

===== Définition de la résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété =====

{{Définition|titre=Résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}La <u>résultante du système des forces intérieures</u> <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue - bis"> Par intégrale sextuple <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#cite_note-intégrale_sextuple-62|<sup>62</sup>]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]\;</math> s'évaluant finalement par deux intégrales volumiques a priori emboîtées.</ref> de toutes les forces intérieures élémentaires</u> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> <u>qu'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>exerce sur un autre pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> soit encore <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math>»<ref name="intégrale sextuple"> Une intégrale sextuple est une intégrale sur un domaine d'espace sextidimensionnel représentant une généralisation du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_volumique|les deux types d'intégrale volumique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}une méthode de calcul d'une intégrale sextuple consiste à figer un {{1er}} sous-domaine tridimensionnel de façon à intégrer sur le sous-domaine complémentaire <math>\;\big(</math>l'intégrale en question étant volumique<math>\big)\;</math> puis intégrer sur le {{1er}} sous-domaine tridimensionnel restant <math>\;\big(</math>cette intégrale en question étant encore volumique<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}l'intégrale sextuple s'écrivant alors a priori sous la forme de deux intégrales volumiques emboîtées <math>\;\big(</math>cas où le domaine d'intégration de l'intégrale volumique intérieure, intégration sur le sous-domaine complémentaire au sous-domaine tridimensionnel figé, dépend de ce sous-domaine figé<math>\big)</math>, qui s'écrit parfois sous la forme d'un produit de deux intégrales volumiques <math>\;\big(</math>cas où le domaine d'intégration de l'intégrale volumique initialement intérieure est indépendant du sous-domaine tridimensionnel figé<math>\big)\;\ldots</math></ref> ou <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />.</center>}}
{{Al|5}}<u>Propriété</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#1ère_conséquence_du_principe_des_actions_réciproques_en_dynamique_newtonienne,_la_nullité_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|{{1re}} conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » établissant la propriété pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> » soit <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />, <br>ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système fermé<ref name="système déformable ou non"> En particulier le système continu fermé de matière peut être déformable ou indéformable.</ref>.</center>
{{Al|14}}{{Transparent|Propriété }}<u>Démonstration</u> : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon <math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> et <math>\;d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]}</math>, <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> se réécrit alors <math>\;\vec{F}_{\text{int}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \left\lbrace d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} + d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="facteur 1/2"> Le facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> résultant du fait qu'en faisant la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale sextuple<math>\big)\;</math> sur tous les couples <math>\;\left\lbrace M\,,\,M' \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2\;</math> on compte deux fois la contribution due à chaque force intérieure élémentaire.</ref> et d’après la {{1re}} relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a <math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} + d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} = \vec{0}\;</math> d’où la propriété énoncée <math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}</math>.

=== Moment résultant vectoriel des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Comme lors de l'introduction de la notion de résultante de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

==== Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique vectoriel) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ====

{{Définition|titre=Moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le <u>vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine</u> <math>\;O\;</math> quelconque<ref name="quelconque"> Au sens « fixe » ou « mobile ».</ref> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}\;</math> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est le <u>vecteur moment résultant des forces extérieures élémentaires</u> de densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement au point</u> <math>\;O\;</math> soit encore <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;\overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>» <br>le moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> de la densité volumique de force extérieure en <math>\;M</math>.</center>}}
==== Définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété ====

{{Définition|titre=Moment résultant vectoriel du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le <u>vecteur moment résultant du système des forces intérieures relativement au point origine</u> <math>\;O\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}}\;</math> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme {{Nobr|continue<ref name="somme continue - bis" />}} de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement au point</u> <math>\;O\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> <u>qu'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>exerce sur un autre pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> soit encore <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" /> <br>avec «<math>\;\overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right]\;</math>» le moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> <br>de la densité bivolumique en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Propriété</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_par_rapport_à_un_point_origine_A_quelconque|Vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » établissant la propriété pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />, <br>ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système fermé<ref name="système déformable ou non" />.</center>
{{Al|14}}{{Transparent|Propriété }}<u>Démonstration</u> : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon <math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> et <math>\;d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]}</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}}\;</math> se réécrit alors <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \left\lbrace  \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] +  \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="facteur 1/2" /> dans laquelle le {{1er}} terme vaut <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] =</math> <math>\overrightarrow{OM} \wedge d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> et le 2<sup>nd</sup> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} \right] = \overrightarrow{OM'} \wedge d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]}</math> ; <br>{{Al|14}}{{Transparent|Propriété Démonstration : }}d’après la {{1re}} relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a <math>\;d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} = -d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> soit, en substituant <math>\;d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]}\;</math> par <math>\;-d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math> et en factorisant vectoriellement à droite par <math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math><ref name="factorisation vectorielle" /> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM'}  \right] \wedge d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{M'M} \wedge d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Propriété Démonstration : }}enfin, d’après la 2<sup>ème</sup> relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \vec{0}\;</math> d'où la propriété énoncée <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} = \vec{0}</math>.

=== Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle a <u>une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nuls</u> <math>\;\big(</math>en effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine <math>\;O</math>, il l'est par rapport à tout autre point origine <math>\;O' \neq O\;</math> car la résultante l'est aussi<ref> Pour vérifier cela, il suffit d'utiliser la formule de changement d'origine <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O',\,\text{int}} + \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{F}_{\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O',\,\text{int}}\;\cancel{ +\; \overrightarrow{OO'} \wedge \vec{0}}</math>.</ref><math>\big)</math> ;

{{Al|5}}toutefois, dans le cas général, <u>le système des forces intérieures</u> appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <u>n'est pas équivalent à un système de forces nul</u> <math>\;\big(</math>en particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière déformable n’est pas nul<ref name="puissance développée par le système des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Conséquences|conséquences]] (des expressions de la puissance développée par le système des forces intérieures) » plus bas dans ce chapitre.</ref>, alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment<math>\big)</math>. 

=== Moment résultant scalaire des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Comme lors de l'introduction de la notion de résultante et de moment résultant vectoriel de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

==== Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci ====

{{Al|5}}Le moment scalaire d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, noté <math>\;\mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ \vec{F}(M) \right]\;</math> est le projeté, sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, du moment vectoriel de cette force par rapport à un point <math>\;O\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="définition du moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] », l'indépendance du point origine choisi sur l'axe étant justifiée dans le paragraphe qui le précède « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équiprojectivité_du_«_moment_vectoriel_d'une_force_»|équiprojectivité du moment vectoriel d'une force]] », tous deux du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <math>\;\forall\;O\;\in\,\left( \Delta \right)\;</math><ref name="diverses façons d'évaluer un moment scalaire de force"> Il existe en gros deux façons d'évaluer un moment scalaire de force
* l'une passant par la détermination du moment vectoriel de la force, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#1ère_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|{{1re}} méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] », du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » et
* l'autre utilisant la notion de bras de levier, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#2ème_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ,_notion_de_bras_de_levier_de_la_force_relativement_à_l'axe|2<sup>ème</sup> méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe]] », du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>.</center>
==== Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ====

{{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle |contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe</u> <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\;</math> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures élémentaires</u> de densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u> <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> soit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \mathcal{V}_M\;</math>», <math>\;\forall\;O\;\in\,\left( \Delta \right)\;</math> avec <br>«<math>\;\left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>» <br>le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> de la densité volumique de force extérieure en <math>\;M</math>.</center>}}
==== Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété ====

{{Définition|titre=Moment résultant scalaire du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant scalaire du système des forces intérieures relativement à l'axe</u> <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{int}}\;</math> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue - bis" /> de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement à l'axe</u> <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> <u>qu'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>exerce sur un autre pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> soit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right]\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" /> ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;\;\text{:}\;\left( O \in \Delta \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;\left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right]\;</math>» le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;\ni O\;</math> <br>de la densité bivolumique en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Propriété</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_par_rapport_à_un_axe_Δ_quelconque|Moment résultant scalaire des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » établissant la propriété pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « <u>la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> » soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{int}} = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M = 0\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />, <br>ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système fermé<ref name="système déformable ou non" />.</center>
{{Al|14}}{{Transparent|Propriété }}<u>Démonstration</u> : ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_du_moment_résultant_vectoriel_du_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_et_propriété|définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} = \vec{0}\;</math>» on en déduit aisément, en multipliant scalairement chaque membre par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta = \vec{0} \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» c'est-à-dire la propriété énoncée {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{int}} = 0\;</math>».}}

=== Puissance développée par des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Comme lors de l'introduction de la notion de résultante, de moments résultants vectoriel et scalaire de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> de matière pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

==== Puissance développée par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ====

===== Définition =====

{{Définition|titre=Puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, la <u>puissance développée par le système des forces extérieures</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme {{Nobr|continue<ref name="somme continue" />}} des puissances développées</u> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par les forces extérieures élémentaires</u> de densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> <u>s'exerçant</u>, au même instant <math>\;t</math>, <u>sur chaque pseudo-point</u><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit encore <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\,t \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_M(t) \right] \;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système discret de points matériels"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> <br>dans laquelle <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>avec «<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>» <br>la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> ou <br>la puissance volumique développée par les forces extérieures «<math>\;\mathcal{P}_{\text{volum},\,\text{ext}}(M,\,t)\;</math>» en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
===== Cas particuliers =====

* <u>{{1er}} cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>translation</u> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> : <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ;</center> {{Transparent|{{1er}} cas particulier, }}démonstration : il suffit de factoriser scalairement<ref name="factorisation scalaire" /> par <math>\;\vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans l'expression définissant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_M(t) \right] \;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système discret de points matériels" />, on obtient ainsi «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\right] \;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\;</math>», le facteur entre accolades s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="puissance développée par les forces extérieures à un système discret de points matériels en translation"> Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.
* <u>2<sup>ème</sup> cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>rotation</u> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> à l'instant <math>\;t\;</math> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> : <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> la vitesse angulaire de rotation, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>» ;</center> {{Transparent|2<sup>ème</sup> cas particulier, }}démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> avec <math>\;A\;\in\;\Delta\;</math><ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire - ter"> On utilise <math>\;\vec{V}_M(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math> avec <math>\;\forall\;A \in \Delta\;</math> voir la remarque du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> «<math>\;\vec{V}_{M}(t) =</math> <math>\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right] \right\rbrace \,d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \right\rbrace \,d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance du produit mixte" />, nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la densité volumique de force extérieure <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;</math> en <math>\;M\;</math> relativement au point <math>\;A\;</math> dans le facteur entre accolades <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \right\rbrace \,d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> obtenue en factorisant scalairement<ref name="factorisation scalaire" /> par <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> et enfin, en explicitant <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> en fonction de la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\; \vec{u}_\Delta\;</math>», on obtient «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left[ \overline{\Omega}(t)\; \vec{u}_\Delta \right] \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \overline{\Omega}(t) \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta \right] =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="puissance développée par les forces extérieures à un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe"> Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.
* <u>3<sup>ème</sup> cas particulier</u>, système continu fermé indéformable de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>mouvement quelconque</u> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> : <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_G(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t)\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <br>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par rapport au  C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t)\;</math> le vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" />, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_G(t)\;</math><ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans le référentiel barycentrique du solide <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou <br>dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre<math>\big)</math> ;</center> {{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, }}démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Application_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_indéformable_(solide_au_sens_de_la_mécanique)|application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)]] » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système continu fermé de matière «<math>\;\mathcal{S}\;</math>» indéformable <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est un mouvement composé <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}<math>\;\succ\;</math>d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel <math>\;G\;</math> est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système et <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}<math>\;\succ\;</math>d'une rotation<ref name="caractère rotatif" /> autour de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du solide d'où <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{V}_{M}(t) = \vec{V}_G(t) + \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \wedge \overrightarrow{GM}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'expression de la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\;t \right] = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_{M}(t) = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_G(t) + \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \wedge \overrightarrow{GM}(t) \right]\;</math>» et, en faisant la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance cherchée «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_G(t) \right]\,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \wedge \overrightarrow{GM}(t) \right] \right\rbrace\,d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ce qui donne <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}<math>\;\succ\;</math>dans le {{1er}} terme, après factorisation scalaire<ref name="factorisation scalaire" /> par <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{V}_G(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}<math>\;\succ\;</math>dans le 2<sup>ème</sup> terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance du produit mixte" />, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \right\rbrace\,d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> puis la factorisation scalaire<ref name="factorisation scalaire" /> par <math>\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t)</math>, «<math>\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \cdot \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace = \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;G\;</math> d'où <br>{{Transparent|3<sup>ème</sup> cas particulier, démonstration : }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_G(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G(t)}(t)\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.

==== Puissance développée par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ====

===== Définition et autres expressions =====

{{Définition|titre=Puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}La <u>puissance développée</u>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par le système des forces intérieures</u>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>, appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme {{Nobr|continue<ref name="somme continue - bis" />}} de toutes les puissances développées par les forces intérieures élémentaires</u> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> <u>qu'un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>exerce sur un autre pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque du système</u>, au même instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, soit encore <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale sextuple" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un système discret de points matériels"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.</ref> <br>avec «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'},\, t \right]\;</math>» la puissance développée à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par <br>la densité bivolumique en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'</math> <br><math>\big\{</math>ou puissance bivolumique de forces intérieures «<math>\;\mathcal{P}_{\text{bivolum},\,\text{int}}(M\,\leftarrow\,M',\,t)\;</math>» en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'\big\}</math>, <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Autres expressions</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière ne retenant que la 2<sup>ème</sup> expression se faisant aisément.</ref> : <math>\;\succ\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right]\;</math>» est la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par la force que le pseudo-point <math>\;M'\, \left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» ;

{{Al|17}}{{Transparent|Autres expressions : }}<u>démonstration</u> : découle du  regroupement par couple <math>\;\left( M\,,\, M' \right)\;</math> des termes de la double somme continue<ref name="somme continue" /> avec utilisation de «<math>\;d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} =</math> <math>-d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;</math>»<ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Rappel_du_principe_des_actions_réciproques_(ou_3ème_loi_de_Newton)|rappel du principe des actions réciproques (ou 3<sup>ème</sup> loi de Newton]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \vec{V}_M(t)\\ \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]} \cdot \vec{V}_{M'}(t) = -d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \vec{V}_{M'}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] + \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \left[ \vec{V}_M(t) - \vec{V}_{M'}(t) \right]\;</math> en factorisant scalairement par le facteur commun<ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Autres expressions : démonstration : }}ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M}(t) - \vec{V}_{M'}(t)\;</math>» soit «<math>\;\vec{V}_{M}(t) - \vec{V}_{M'}(t) = \left[ \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t) - \left[ \dfrac{d \overrightarrow{OM'}}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t) =</math> <math>\left[ \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM'}]}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t) = \left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{M'M}}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles<ref name="Chasles" /><math>\big)</math>, c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M'M}(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, « vecteur position de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, avec <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{M'M}}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t) = \left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{M'M}}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\!(t)\;</math>»<ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> noté <math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» soit finalement {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t) - \vec{V}_{M'}(t)\;</math>}} <math>= \vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» nous obtenons «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] + \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\, \leftarrow\, M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right]\;</math>» ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|Autres expressions : démonstration : }}la double intégration volumique de la grandeur précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right]\;</math>» sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> conduisant à compter deux fois chaque couple, il est nécessaire de compenser ceci par le « facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.

{{Al|11}}{{Transparent|Autres expressions : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\, t \right]\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\, t \right]\;</math>» est la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par la densité bivolumique en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\Big[</math>encore appelée puissance bivolumique de forces intérieures en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}</math>, notée «<math>\;\mathcal{P}_{\text{bivolum},\,\text{int}\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(M\,\leftarrow\,M',\,t)\;</math>»<math>\Big]\;</math> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\, t \right] =</math> <math>\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) = \mathcal{P}_{\text{bivolum},\,\text{int}\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(M\,\leftarrow\,M',\,t)\;</math>» R.Q.F.V<ref name="R.Q.F.V."> Relation Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.

===== Conséquences =====

* <u>{{1re}} conséquence</u> : «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> et non de leur origine <math>\;M'</math>, <u>a même valeur</u> dans tout référentiel en translation par rapport aux <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, en particulier <u>dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <u>le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.
* <u>2<sup>ème</sup> conséquence</u> : Dans le cas général «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> est «<math>\;\neq 0\;</math>» car dépendant des vitesses relatives des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>et celles-ci sont non nulles si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est déformable<math>\big]</math>.
* <u>3<sup>ème</sup> conséquence</u> : <u>Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <u>est indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire si c'est un solide au sens de la mécanique<math>\big)</math>, la puissance développée par les forces intérieures à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right) = 0\;</math>» car «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} = \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» par 2<sup>ème</sup> relation du principe des actions réciproques<ref name="principe des actions réciproques" /> et la composante sur <math>\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math> de <math>\;\vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> étant <math>\;\dot{r}_{M'\,,\,M}(t)\;</math> avec <math>\;r_{M'\,,\,M} = M'M = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{r}_{M'\,,\,M}(t) = 0\;</math> d'où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» se réécrivant {{Nobr|«<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;\;\dot{r}_{M'\,,\,M}(t)</math>}} <math>= 0\;\;\forall \left( M\,,\, M' \neq M \right)\;</math>» et finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable ».

=== Travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Comme lors de l'introduction de la notion de puissance développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> de matière pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

{{Al|5}}Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail élémentaire <math>\;\delta W\;</math> d'un système de forces correspondant à une durée élémentaire <math>\;dt\;</math> d'action du système de forces développant une puissance instantanée <math>\;\mathcal{P}(t)\;</math> sera «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t) \times dt\;</math>»<ref name="lien entre puissance et travail élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire du développement de cette dernière]] (agissant sur un seul point matériel) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la définition pour un système de points matériels utilisant la propriété commune d'« additivité » de la puissance et du travail élémentaire.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce qui suit notre point de départ }}pour définir le travail <math>\;W_{\text{sur }\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\;</math> d'un système de forces correspondant à un intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> d'action du système de forces développant une puissance instantanée <math>\;\mathcal{P}(t)\;</math> sera «<math>\;W_{\text{sur }\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{P}(t) \times dt\;</math>»<ref name="somme continue - ter"> C.-à-d. obtenue en ajoutant toutes les contributions élémentaires successives ce qui correspond à une intégrale sur un intervalle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_de_l'intégrale_de_Riemann_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_réelle_sur_un_intervalle_fermé|définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]]{{Nobr| »<math>\big]</math> ;}}<br>{{Al|3}}'''[[w:Bernhard_Riemann|Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la géométrie différentielle <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps<math>\big)</math>.</ref>.

==== Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ====

===== Définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude =====

{{Définition|titre=Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail élémentaire développé par le système des forces extérieures</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est le <u>produit de la puissance développée par le système des forces extérieures</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par la durée élémentaire de l'action</u> <math>\;dt</math>, soit <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\,t \right] \right\rbrace dt\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\,t \right] = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» la puissance volumique <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{volum},\,\text{ext}}(M,\,t)\;</math>» développée par les forces extérieures en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» étant la densité volumique de force extérieure en <math>\;M\;</math> <br>et «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : «<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\,t \right] \right\rbrace dt = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_M(t) \right]\, dt \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \left[ \vec{V}_M(t)\; dt \right] \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> soit {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> est le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant aussi le travail élémentaire développé par la densité volumique de force extérieure <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;</math> appliqué en <math>\;M\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="définition du travail élémentaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> <math>\;\big(</math>ou travail élémentaire volumique des forces extérieures en <math>\;M\big)</math>, nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.

{{Définition|titre=Définition équivalente du travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail élémentaire développé par le système des forces extérieures</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue" /> des travaux élémentaires développés</u> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par les forces extérieures élémentaires</u> de densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math> <u>s'exerçant</u>, pendant le même intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <u>sur chaque pseudo-point</u> <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \delta W\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\, t \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br>avec «<math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math>» sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
===== Cas particuliers =====

* <u>{{1er}} cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>translation</u> d'un vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d \mathit{l}}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\,, t + dt \right]\;</math> par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{d \mathit{l}}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ;</center> {{Transparent|{{1er}} cas particulier, }}démonstration : il suffit d'utiliser <math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> avec «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système continu de matière en translation"> Voir le paragraphe « {{1er}} [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers|cas particulier]] (système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en translation) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on obtient ainsi «<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \left[ \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t) \right] dt\;</math>» ou encore, {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}(t)\; dt \right] = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{d \mathit{l}}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}\;</math>» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. »<ref name="R.Q.F.D." />.
* <u>2<sup>ème</sup> cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>rotation</u> d'un angle élémentaire <math>\;d \theta\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\,, t + dt \right]\;</math> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ;</center> {{Transparent|2<sup>ème</sup> cas particulier, }}démonstration : il suffit d'utiliser <math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> avec «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> la vitesse angulaire de rotation, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>»<ref name="puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système discret de points matériels en rotation"> Voir le paragraphe « 2<sup>ème</sup> [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers|cas particulier]] (système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on obtient ainsi «<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\left[ \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; \overline{\Omega}(t) \right] dt\;</math>» ou encore, «<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\, \left[ \overline{\Omega}(t)\; dt \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta\;</math>» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. »<ref name="R.Q.F.D." />.

==== Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude ====

===== Définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude =====

{{Définition|titre=Travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail développé par le système des forces extérieures</u> <math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue - ter" /> de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces extérieures sur l'intervalle de temps</u> <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit <center>«<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{ext}}(t') = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t')\;dt' = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\;t' \right] \right\rbrace dt'\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br>avec «<math>\;\dfrac{\mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)},\;t \right]}{d \mathcal{V}_M} = \mathcal{P}_{\text{volum},\,\text{ext}}(M,\,t) = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \vec{V}_{M}(t)\;</math>» <br>la puissance volumique développée par les forces extérieures en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_du_travail_élémentaire_développé_par_le_système_de_forces_extérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;\delta W_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}(t) \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}(t') \cdot \overrightarrow{dM}(t') \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» dans laquelle le pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de centre décrivant une trajectoire spécifique <math>\;\left( \Gamma_M \right)\;</math> a une position paramétrée par <math>\;t\;</math> avec une position initiale notée <math>\;M_{0}\;</math> et une finale notée <math>\;M_{f}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en permutant les intégrations volumique et temporelle, conséquence de la linéarité de ces opérations «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}(t') \cdot \overrightarrow{dM}(t') \right] \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en reconnaissant dans le terme entre accolades la paramétrisation d'une intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}(t') \cdot \overrightarrow{dM}(t') = \displaystyle\int\limits_{{M_{0} \overset{(\Gamma_M)}{\rightarrow} M_{f}}} \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}(t') \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.

{{Définition|titre=Définition équivalente du travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail développé par le système des forces extérieures</u> <math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue" /> de tous les travaux développés</u> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par les forces extérieures élémentaires s'exerçant</u>, pendant le même intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, <u>sur chaque pseudo-point</u><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> soit <center>«<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} W_{\text{sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;W_{\text{sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \displaystyle\int\limits_{{M_{0} \overset{(\Gamma_M)}{\rightarrow} M_{f}}} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> <br>le travail développé par «<math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <br>quand <math>\;M\;</math> se déplace sur <math>\;\left( \Gamma_M \right)\;</math> de <math>\;M_{0}\;</math> à <math>\;M_{f}\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
===== Cas particuliers =====

* <u>{{1er}} cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>translation</u> telle qu'un point quelconque <math>\;A</math>, lié à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, suit la trajectoire <math>\;\left( \Gamma_A \right)\;</math> de <math>\;A_0\;</math> à <math>\;A_f\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> : <center>«<math>\;W_{\text{sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int\limits_{A_0 \overset{(\Gamma_A)}{\rightarrow} A_f} \vec{F}_{\text{ext}}(A) \cdot \overrightarrow{dA}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(A)\;</math> est la résultante dynamique appliquée en <math>\;A\; \in \left( \mathcal{S} \right)\;</math> en une position générique de <math>\;\left( \Gamma_A \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overrightarrow{dA}\;</math> le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;A\; \in \left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur <math>\;\left( \Gamma_A \right)\;</math>» ;</center> {{Transparent|{{1er}} cas particulier, }}démonstration : il suffit d'utiliser «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} W_{\text{sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{{M_{0} \overset{(\Gamma_M)}{\rightarrow} M_{f}}} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="travail développé par les forces extérieures appliquées à un système continu fermé de matière sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_du_travail_développé_par_le_système_de_forces_extérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_sur_une_durée_finie_dans_le_référentiel_d'étude|définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude]] (définition équivalente) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle «<math>\;\overrightarrow{dM}\;\;\forall\;M\;</math> est égal à <math>\;\overrightarrow{dA}\;</math> au point d'application près », «<math>\;M\;</math> suivant <math>\;\left( \Gamma_M \right)\;</math> déduite de <math>\;\left( \Gamma_A \right)\;</math> par translation de vecteur <math>\;\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{A_0M_{0}} = \overrightarrow{A_fM_{f}}\;</math>» d'où, en permutant les intégrations volumique et curviligne, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM}\,\, \left( \Gamma_M \right) \right\rbrace\;</math> par <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dA}\,\, \left( \Gamma_A \right) \right\rbrace\;</math>» «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int\limits_{A_0 \overset{(\Gamma_A)}{\rightarrow} A_f} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dA} \right]\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" /> ou encore, après factorisation scalaire<ref name="factorisation scalaire" /> par <math>\;\overrightarrow{dA}\;</math> dans la fonction à intégrer «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int\limits_{A_0 \overset{(\Gamma_A)}{\rightarrow} A_f} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \cdot \overrightarrow{dA} = \displaystyle\int\limits_{A_0 \overset{(\Gamma_A)}{\rightarrow} A_f} \vec{F}_{\text{ext}}(A) \cdot \overrightarrow{dA}\;</math>» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. »<ref name="R.Q.F.D." />.
* <u>2<sup>ème</sup> cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>rotation</u> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> telle qu'un point quelconque <math>\;A</math>, lié à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> mais <math>\;\notin \left( \Delta \right)</math>, tourne de <math>\;A_0\;</math> à <math>\;A_f\;</math> autour du <math>\;H_A</math>, le projeté orthogonal de <math>\;A\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)</math>, l'abscisse angulaire de <math>\;A\;</math> dans le plan de sa trajectoire <math>\;\theta_A = \widehat{\left( \overrightarrow{H_AA_{\text{réf}}}\,,\,\overrightarrow{H_AA} \right)}\;</math> variant de <math>\;\theta_{A,\,0}\;</math> à <math>\;\theta_{A,\,f}\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> : <center>«<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{\theta_{A,\,0}}^{\theta_{A,\,f}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(\theta_A)\, d \theta_A\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(\theta_A)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en <math>\;A\; \in \left( \mathcal{S} \right)\;</math> en une position générique du cercle décrit » et <br>«<math>\;d \theta_A\;</math> la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique <math>\;A\; \in \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» ;</center> {{Transparent|2<sup>ème</sup> cas particulier, }}démonstration : il suffit d'utiliser «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} W_{\text{sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{{M_{0} \overset{(\mathcal{C}_M)}{\rightarrow} M_{f}}} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="travail développé par les forces extérieures appliquées à un système continu fermé de matière sur une durée finie" /> dans laquelle <math>\;\left( \mathcal{C}_M \right)\;</math> est le cercle suivi par <math>\;M\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, son vecteur déplacement élémentaire le long de <math>\;\left( \mathcal{C}_M \right)\;</math> ou, <math>\;M\;</math> se déplaçant sur un cercle <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\displaystyle\int\limits_{{M_{0} \overset{(\mathcal{C}_M)}{\rightarrow} M_{f}}} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \cdot \overrightarrow{dM} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_{M,\,0}}^{\theta_{M,\,f}} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;d \theta_M\;</math>»<ref name="travail élémentaire d'une force quand M décrit un cercle"> En effet la puissance développée par une force <math>\;\vec{F}\;</math> dont le point d'application <math>\;M\;</math> se déplace sur un cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}\!(\vec{F}) = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})\;\overline{\Omega}\;</math>» dans laquelle <math>\;\overline{\Omega}\;</math> est la vitesse angulaire du point et <math>\;\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})\;</math> le moment scalaire de la force relativement à l'axe de rotation <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « expression de la puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>, il suffit de multiplier la relation explicitant la puissance développée «<math>\;\mathcal{P}\!(\vec{F}) = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})\;\overline{\Omega}\;</math>» de part et d'autre par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la relation cherchée «<math>\;\delta W\!(\vec{F}) = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F})\;d \theta\;</math>» avec <math>\;d \theta = \overline{\Omega}\;dt\;</math> et <math>\;\delta W\!(\vec{F}) = \mathcal{P}\!(\vec{F})\;dt</math>.</ref>, d'où «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\int_{\theta_{M,\,0}}^{\theta_{M,\,f}} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;d \theta_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle «<math>\;d \theta_M\;\;\forall\;M\;</math> est égal à <math>\;d \theta_A\;</math> au point d'application près », «<math>\;M\;</math> suivant <math>\;\left( \mathcal{C}_M \right)\;</math> déduite de <math>\;\left( \mathcal{C}_A \right)\;</math> par composition d'une homothétie de centre <math>\;H_A</math>, le projeté orthogonal de <math>\;A\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, d'une translation de vecteur <math>\;\overrightarrow{H_AH_M}</math>, <math>\;H_M\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'une rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> d'un angle <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{H_AA_0}\,,\, \overrightarrow{H_MM_{0}} \right)}\;</math>» d'où, en permutant les intégrations volumique et angulaire, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant <math>\;\left\lbrace d \theta_M\,,\, \theta_M \in \left[ \theta_{M,\,0}\,,\,\theta_{M,\,f} \right] \right\rbrace\;</math> par <math>\;\left\lbrace d \theta_A\,,\, \theta_A \in \left[ \theta_{A,\,0}\,,\,\theta_{A,\,f} \right] \right\rbrace\;</math> «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{\theta_{A,\,0}}^{\theta_{A,\,f}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] d \theta_A \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou, <math>\;d \theta_A\;</math> pouvant être sorti de l'intégrale volumique, «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{\theta_{A,\,0}}^{\theta_{A,\,f}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \right\rbrace d \theta_A\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, soit finalement «<math>\;W_{\text{ext. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{\theta_{A,\,0}}^{\theta_{A,\,f}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(\theta_A)\, d \theta_A\;</math>» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. »<ref name="R.Q.F.D." />.

==== Travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude ====

===== Diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude =====

{{Définition|titre=Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail élémentaire développé par le système des forces intérieures</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}(t)\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est le <u>produit de la puissance développée par le système des forces intérieures</u> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>par la durée élémentaire de l'action</u> <math>\;dt</math>, soit <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}}(t) = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \left\lbrace\;\;\; \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace dt\;</math><ref name="intégrale sextuple" /> <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un système discret de points matériels" /> <br>avec «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'},\, t \right]\;</math>» la puissance développée à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par <br>la densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'</math> <br><math>\big\{</math>ou puissance bivolumique de forces intérieures «<math>\;\mathcal{P}_{\text{bivolum},\,\text{int}}(M\,\leftarrow\,M',\,t)\;</math>» en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'\big\}</math>, <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Autres expressions</u><ref name="autres expressions du travail des forces intérieures utilisant les référentiels RM'"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 2) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière ne retenant que la 2<sup>ème</sup> expression avec le facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> se faisant aisément.</ref> : <math>\;\succ\;</math>à partir de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans laquelle <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec «<math>\;\mathcal{P}_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par la force que le pseudo-point <math>\;M'\, \left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>» nous en déduisons, en multipliant les expressions précédentes par la durée élémentaire <math>\;dt</math>, le travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;\delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» <br>le travail élémentaire développé, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, par la force que le pseudo-point <math>\;M'\, \left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce <br>sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\Big(\overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> étant le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\Big)</math> ;</center>
{{Al|11}}{{Transparent|Autres expressions : }}<math>\;\succ\;</math>en utilisant «<math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> est la densité bivolumique de forces intérieures en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'</math>, le travail élémentaire développé par les forces intérieures se réécrit sous la forme <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\,t \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;\delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\,t \right] = \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math>» <br>le travail élémentaire développé, à l'instant <math>\;t</math>, par la densité bivolumique de forces intérieures en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'</math>, <br>évalué dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> <math>\;\Big(\overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> étant le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\Big)</math>.</center> 
{{Al|5}}<u>Avec un repérage sphérique de</u> <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> <u>dans le repère associé au référentiel</u> <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> : les coordonnées sphériques de <math>\;M\;</math> dans le repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> étant «<math>\;\left( r_{M',\,M}\,,\,\theta_{M',\,M}\,,\,\varphi_{M',\,M} \right)\;</math>» et la base locale sphérique associée «<math>\;\left( \vec{u}_{r_{M',\,M}} = \vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M} = \vec{u}_{M',\,M}\,,\,\vec{u}_{\theta_{M',\,M}}\,,\,\vec{u}_{\varphi_{M',\,M}} \right)\;</math>», on en déduit l'explicitation de «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} = \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;\vec{u}_{M',\,M}\;</math>» par 2<sup>ème</sup> relation du principe des actions réciproques<ref name="principe des actions réciproques" /> et celle de «<math>\;\overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}} =</math> <math>d \overrightarrow{M'M} = dr_{M',\,M}\;\vec{u}_{M',\,M} + r_{M',\,M}\;d \theta_{M',\,M}\;\vec{u}_{\theta_{M',\,M}} + r_{M',\,M}\;\sin(\theta_{M',\,M})\;d \varphi_{M',\,M}\;\vec{u}_{\varphi_{M',\,M}}\;</math>»<ref name="composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W_{\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'},\,t \right] =</math> <math>\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) = \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;dr_{M',\,M}(t)\;</math>» et par suite la réécriture du travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;dr_{M',\,M}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />.</center>
{{Al|11}}{{Transparent|Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : }}<u>Remarques</u> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>Si la force d'interaction entre <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> est « attractive », «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : }}si {{Al|3}}{{Transparent|la force d'interaction entre M et M' }}elle est « répulsive », «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>». <br>{{Al|11}}{{Transparent|Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>De l'explicitation du travail élémentaire <math>\;\delta W_{\text{int}}(t)\;</math> du système des forces intérieures appliqué au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{\delta W_{\text{int}}(t)}{dt}\;</math> on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> utilisant le repérage sphérique du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> dans le repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;\dot{r}_{M',\,M}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />.</center>
{{Al|11}}{{Transparent|Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>De ces expressions appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>indéformable</u> on vérifie que «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>».

===== Diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude =====

{{Définition|titre=Travail développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie|contenu= {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le <u>travail développé par le système des forces intérieures</u> <math>\;W_{\text{int. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]}\;</math> appliqué sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> est la <u>somme continue<ref name="somme continue - ter" /> de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces intérieures sur l'intervalle de temps</u> <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit <center>«<math>\;W_{\text{int. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{int}}(t') = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \left\lbrace\;\;\; \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M,\,M' \right)\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t' \right] \right\rbrace dt'\;</math><ref name="intégrale sextuple" /> <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;= \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t')\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt'\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un système discret de points matériels" /> <br>avec «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'},\, t \right]\;</math>» la puissance développée à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par <br>la densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> en <math>\;M\;</math> de forces intérieures en interaction avec <math>\;M'</math> <br><math>\big\{</math>ou puissance bivolumique de forces intérieures «<math>\;\mathcal{P}_{\text{bivolum},\,\text{int}}(M\,\leftarrow\,M',\,t)\;</math>» en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'\big\}</math>, <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Autres expressions</u><ref name="autres expressions du travail des forces intérieures utilisant les référentiels RM'" /> : ces expressions résultent de l'addition continue<ref name="somme continue - ter" /> des « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Diverses_expressions_du_travail_élémentaire_développé_par_le_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] (sous-paragraphe “ autres expressions ”) » établies plus haut dans ce chapitre d'où

{{Al|11}}{{Transparent|Autres expressions : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;W_{\text{int. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{int}}(t') = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec la grandeur à intégrer doublement volumiquement «<math>\;\delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right]\;</math> égale à <math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> définissant le travail élémentaire développé, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]</math>, par la force que le pseudo-point <math>\;M'\, \left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\Big(\overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\;</math> étant le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\Big)\;</math>», ce travail élémentaire s'écrivant encore «<math>\;\delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] = \overline{d^2\,F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;dr_{M',\,M}(t)\;</math>» en utilisant le repérage sphérique de <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> dans le repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double intégration volumique et de l'intégration sur un intervalle, à l'aide d'une intégrale curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> selon <center>«<math>\;W_{\text{int. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{M_{0}\,\overset{\left(\Gamma_{M,\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\right)}{\longrightarrow}\,M_{f}} \overline{d^2\,F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\;dr_{M',\,M} \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" /> <br>avec <math>\;\left( \Gamma_{M,\,/\,\mathcal{R}_{M'}} \right)\;</math> la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié à <math>\;M'\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> ;</center>
{{Al|11}}{{Transparent|Autres expressions : }}<math>\;\succ\;</math>en utilisant «<math>\;d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> est la densité bivolumique de forces intérieures en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'</math>, le travail développé par les forces intérieures sur une durée finie se réécrit, en utilisant le repérage sphérique de <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> dans le repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> <math>\;\Big[</math>avec «<math>\;r_{M',\,M} =</math> <math>M'M\;</math>» et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'} = \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;\vec{u}_{M',\,M}\;</math>» par 2<sup>ème</sup> relation du principe des actions réciproques<ref name="principe des actions réciproques" />, «<math>\;\vec{u}_{M',\,M}\;</math> étant le vecteur unitaire radial du repérage sphérique lié à <math>\;M\;</math> de pôle <math>\;M'\;</math>»<math>\Big]</math> <center>«<math>\;W_{\text{int. sur}\,\left[ t_0\,,\, t_f \right]} = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{M_{0}\,\overset{\left(\Gamma_{M,\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\right)}{\longrightarrow}\,M_{f}} \overline{f}_{\text{bivolum}\,M\, \leftarrow\, M'}\;dr_{M',\,M} \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />.</center>
=== Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergies potentielles associées du système continu de matière ===

{{Al|5}}<u>Préliminaires</u> : Le caractère conservatif d'un système de forces n'est introduit que pour un système de forces <u>ne dépendant pas explicitement du temps</u> <math>\;\big[</math>il est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons<math>\big]</math>.

{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : }}Comme lors de l'introduction de la notion de travail élémentaire développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus <u>fermés</u> pour garder une présentation simple, en effet 

{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : }}dans le cas d'un système ouvert de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math>, un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> qui est situé d'un côté de <math>\;\left( S_{\text{cont}} \right)</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> peut être situé de l'autre côté à un instant <math>\;t_2</math>, ce qui fait qu'il peut être extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_1\;</math> et <math>\;\in\;</math> à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_2\;\ldots</math>

==== Système de forces extérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu de matière dans ce champ de forces extérieures conservatif ====

===== Définitions =====

{{Définition|titre=Système de forces extérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu={{Al|5}} <u>Le système de forces extérieures</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» appliqué au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» <u>est conservatif</u> ssi <u>son travail élémentaire</u> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;d \mathcal{V}_M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right)</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <u>est une différentielle exacte</u> <math>\;\big(</math>ou totale<math>\big)\;</math> des coordonnées de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Distinction_entre_une_«_forme_différentielle_»_et_une_«_différentielle_de_fonction_scalaire_»_(exposée_dans_le_cas_de_deux_variables_indépendantes)|distinction entre une “ forme différentielle ” et une “ différentielle de fonction scalaire ” (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », <br>{{Al|3}}la généralisation de cette distinction à plus de <math>\;2\;</math> variables indépendantes s'admettant sans difficulté et <br>{{Al|3}}celle au cas où la forme différentielle n'est plus une somme discrète de formes différentielles du type <math>\;\vec{A}_i(M_1,\,..\,M_j,\,..\,M_n) \cdot \overrightarrow{dM}_i\;</math> mais une somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math> du type <math>\;\vec{A}_M\! \left[ M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right) \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant admise sans soulever de difficulté <math>\;\ldots</math></ref> ou,

{{Al|5}}«<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> ne dépendant pas <math>\;M' \neq M\;</math>» <math>\Rightarrow</math> chaque forme différentielle<ref name="forme différentielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes “ x, y et z ”]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la généralisation éventuelle à plus de <math>\;3\;</math> variables indépendantes se faisant sans difficulté.</ref> volumique «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;d \mathcal{V}_M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}{d \mathcal{V}_M} =</math> <math>\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»  est indépendante des autres, <u>le système de forces extérieures est conservatif</u> ssi <u>chaque forme différentielle volumique</u> «<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <u>est une différentielle de fonction scalaire</u> des <math>\;3\;</math> coordonnées de <math>\;M\;</math><ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" />.}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les C.N<ref name="C.N."> Conditions Nécessaires.</ref>. pour que la forme différentielle volumique «<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> soit une différentielle de fonction scalaire<ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" /> peuvent être étudiées dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », le caractère suffisant de ces C.N<ref name="C.N." />. étant usuellement vérifié pour les fonctions vectorielles <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}(M)\;</math> utilisées <math>\;\big[</math>mais néanmoins, il faut savoir que les C.N<ref name="C.N." />. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.

{{Définition|titre=Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif|contenu={{Al|5}} <u>L'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces extérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>est la fonction scalaire</u> <math>\;\big(</math>définie à une constante additive près<math>\big)\;</math> des coordonnées de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de densité volumique «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» <u>telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité volumique du système de forces extérieures conservatif <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> dont elle « dérive »</u><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la généralisation éventuelle de cette définition au potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à plus de <math>\;3\;</math> dimensions s'admet sans difficulté <math>\;\big\{</math>le travail élémentaire d'un champ de force est un cas particulier de circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>, un champ de force conservatif étant un cas particulier de champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}quand le champ vectoriel à circulation conservative est un « système de forces conservatif », le potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative prend le nom d'« énergie potentielle dont dérive le système de forces conservatif ».</ref> soit mathématiquement <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right] = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» avec «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> <br>l'énergie potentielle volumique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> dans le champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif » <br><math>\;\big(</math>celle-ci nécessitant de préciser sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>volumique ou non<math>\big)\;</math> est choisie nulle.</ref> pour être définie sans ambiguïté<math>\big)</math> ;</center>
{{Al|5}}<u>l'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces extérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est <u>la somme continue<ref name="somme continue" /> des énergies potentielles volumiques</u> «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» <u>dont dérive chaque densité volumique de force conservative</u> <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Big[</math>avec choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> de <math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\Big]</math> <br> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM} \right] d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ -du_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right] d \mathcal{V}_M</math> <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; = -d \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br>soit finalement «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = -dU_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" />.</center>}}

{{Définition|titre=Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif|contenu={{Al|5}} <u>L'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces extérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>est la fonction scalaire</u> <math>\;\big(</math>définie à une constante additive près<math>\big)\;</math> des coordonnées de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de densité volumique «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» <u>telle que l'opposé de son gradient<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire]] »  du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la généralisation de cette définition au cas d'un espace à plus de <math>\;3\;</math> dimensions s'admet sans difficulté.</ref> est égal au champ du système des densités volumiques des forces extérieures conservatif dont elle « dérive »</u><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2<sup>ème</sup> définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la généralisation de cette définition au potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à plus de <math>\;3\;</math> dimensions s'admet sans difficulté <math>\;\big\{</math>le travail élémentaire d'un champ de force est un cas particulier de circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>, un champ de force conservatif étant un cas particulier de champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}quand le champ vectoriel à circulation conservative est un « système de forces conservatif », le potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative prend le nom d'« énergie potentielle dont dérive le système de forces conservatif ».</ref> soit mathématiquement <center>«<math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} = -\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right]\;\;\forall\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> ;</center>
{{Al|5}}<u>l'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces extérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est <u>la somme continue<ref name="somme continue" /> des énergies potentielles volumiques</u> «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» <u>dont dérive chaque densité volumique de force conservative</u> <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Big[</math>avec choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> de <math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\Big]</math> <br> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} = \vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M = -\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right] d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{Al|12}} <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= -\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, M'\,\neq\,M}\! \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{,}}<ref name="signification des indices de grad"> Les indices figurant en bas et à droite de <math>\;\overrightarrow{\text{grad}}\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\,M'\,\neq\,M}</math> <math>\;\Big\{</math>ou <math>\;\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, \left( N',\,N \right)\,\neq\,\left( M',\,M \right)}\Big\}\;</math> signifie que ces variables restent figées le temps de la prise du gradient, la dérivation n'est donc faite que par rapport aux coordonnées de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\Big\{</math>ou dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> à <math>\;M'\;</math> fixé<math>\Big\}</math>.</ref> <br>soit finalement «<math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} = -\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, M'\,\neq\,M}\! \left[ U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)} \right]\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative - bis" />{{,}}<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{,}}<ref name="signification des indices de grad" />.</center>}}

===== Cas particuliers =====

{{Al|5}}<u>{{1er}} cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>translation</u> d'un vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d \mathit{l}}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\,, t + dt \right]\;</math> par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> pour lequel <u>le système de forces extérieures</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>résultant de l'action du système</u> <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>est conservatif</u> c'est-à-dire tel que «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(t) \cdot \overrightarrow{d \mathit{l}}_{\left( \mathcal{S} \right)\,\text{en transl.}}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par un système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers_2|cas particulier]] d'un système en translation » plus haut dans ce chapitre.</ref> est une différentielle de fonction scalaire avec «<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> la résultante du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>», <u>ce travail élémentaire</u> s'écrivant encore «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(t) \cdot \overrightarrow{dA}\;</math> avec <math>\;A\;</math> un point quelconque lié à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <u>s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>dans le champ du système des forces extérieures</u> <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> notée <math>\;U_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(A)\;</math> fonction des <math>\;3\;</math> coordonnées du point <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k} \cdot \overrightarrow{dA} = -dU_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(A)\;</math>» <br><math>\Updownarrow</math> <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k} = -\overrightarrow{\text{grad}}\! \left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k} \right](A)\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> est la résultante du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}{{Transparent|{{1er}} cas particulier, }}l'expression de l'énergie potentielle du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le champ du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)</math> <math>\;\big(</math>au choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> près<math>\big)\;</math> ne dépend pas du choix du point <math>\;A\;</math> lié au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>usuellement on choisit pour <math>\;A\;</math> le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]\;\ldots</math>

{{Al|5}}<u>2<sup>ème</sup> cas particulier</u>, système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> en <u>rotation</u> d'un angle élémentaire <math>\;d \theta\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\,, t + dt \right]\;</math> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> pour lequel <u>le système de forces extérieures</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>résultant de l'action du système</u> <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>est conservatif</u> c'est-à-dire tel que «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(t)\; d \theta\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par un système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers_2|cas particulier]] d'un système en rotation » plus haut dans ce chapitre.</ref> est une différentielle de fonction scalaire avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right](t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> le moment résultant scalaire du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», <u>ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>dans le champ du système des forces extérieures</u> <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> notée <math>\;U_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(\theta)\;</math> fonction de l'abscisse angulaire de rotation <math>\;\theta\;</math> selon <center>«<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_k \right) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(\theta)\; d \theta = -dU_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(\theta)\;</math>» <br><math>\Updownarrow</math> <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext},\,\mathcal{F}_k}(\theta) = -\dfrac{dU_{\text{ext},\,\mathcal{F}_k}}{d \theta}(\theta)\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext},\,\mathcal{F}_k} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right]\;</math><ref name="intégrale volumique" /> est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}{{Transparent|2<sup>ème</sup> cas particulier, }}l'expression de l'énergie potentielle du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation dans le champ du système des forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)</math> <math>\;\big(</math>au choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> près<math>\big)\;</math> ne dépend pas du choix de la direction, liée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation <math>\;\theta\;\ldots</math>

==== Système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu fermé de matière dans ce champ de forces intérieures conservatif (ou énergie potentielle d'interaction du système de matière) ====

===== Définition d'un système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle =====

{{Définition|titre=Système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu={{Al|5}} <u>Le système de forces intérieures</u> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, correspondant à « une interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q"> Ce peut être une interaction gravitationnelle, une interaction électrique parmi celles pouvant exister entre molécules, atomes ou ions, ou encore une interaction nucléaire dans la mesure où cette interaction à courte portée entre [[w:Nucléon|nucléons]] est modélisée dans le cadre de la mécanique newtonienne <math>\;\ldots</math></ref> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> à savoir «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) =</math> <math>\left\lbrace d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right\rbrace_{\left( M,\,M'\,\neq\,M \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2}\;</math>» <u>est conservatif</u> ssi <u>son travail élémentaire</u> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \delta W_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]},\, t \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="travail élémentaire des forces d'interaction entre pseudo-points d'un système"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Diverses_expressions_du_travail_élémentaire_développé_par_le_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] ({{1re}} autre expression) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>avec <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big)\;</math> <math>= \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou, en introduisant la densité bivolumique «<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} = \dfrac{d^2\!\vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_{M} \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math>» de forces en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'</math>, «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /><math>\Bigg\}\;</math> <u>est une différentielle exacte</u> <math>\;\big(</math>ou totale<math>\big)\;</math> des coordonnées de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans les référentiels <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;(M'\, \neq\, M)\;</math>»<ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" /> ;

{{Al|5}}«<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> figés ne dépendant que de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>» et non des autres points <math>\Rightarrow</math> chaque forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> bivolumique «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{\left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}} \right] d \mathcal{V}_{M'}\; d \mathcal{V}_M}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math>» est indépendante des autres, <u>le système de forces intérieures</u> correspondant à « une interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <u>est conservatif</u> ssi <u>chaque forme différentielle volumique</u> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <u>est une différentielle de fonction scalaire</u> des <math>\;3\;</math> coordonnées relatives de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math><ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" />.}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Avec un repérage sphérique de <math>\;M\;</math> dans le repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math><ref name="repérage sphérique" />, nous avons établi dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Diverses_expressions_du_travail_élémentaire_développé_par_le_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] (avec un repérage sphérique …) » plus haut dans ce chapitre une expression du travail élémentaire de la force intérieure que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> adaptable, dans le cas présent, selon «<math>\;\delta W_{\text{bivolum}\,/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'},\, t \right] = \dfrac{1}{2}\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \cdot \overrightarrow{dM}_{/\,\mathcal{R}_{M'}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;dr_{M',\,M}\;</math>» avec «<math>\;r_{M',\,M} = M'M\;</math> la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>»<ref name="repérage sphérique" /> et «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> la seule composante radiale de <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> appliquée à <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>», d'où

{{Définition|titre=Définition équivalente d'un système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu={{Al|5}} <u>Le système de forces intérieures</u> appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, correspondant à « une interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> à savoir «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» <u>est conservatif</u> ssi <u>son travail élémentaire</u> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M} \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} <math>\;r_{M',\,M} = M'M\;</math> la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, le référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> la seule composante radiale de <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> appliquée à <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}\big)\;</math> <u>est une différentielle exacte</u> <math>\;\big(</math>ou totale<math>\big)\;</math> des coordonnées radiales de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans les référentiels <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> liés à <math>\;M'\,\neq\,M\;</math> en translation relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>»<ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" /> ;

{{Al|5}}«<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> figés ne dépendant que de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>» et non des autres points <math>\Rightarrow</math> chaque forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> bivolumique «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{\left[ \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M} \right] d \mathcal{V}_{M'}\; d \mathcal{V}_M}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M}\;</math>» est indépendante des autres, <u>le système de forces intérieures</u> correspondant à « une interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <u>est conservatif</u> ssi <u>chaque forme différentielle volumique</u> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M}\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <u>est une différentielle de fonction scalaire</u> de la coordonnée radiale relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math><ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" />.}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Les C.N.</u><ref name="C.N." /> <u>pour que la forme différentielle</u> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M}\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <u>soit une différentielle de fonction scalaire</u><ref name="distinction forme différentielle et différentielle de fonction" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]\;</math> <u>donnent, dans le cas présent, que</u> «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}</math>, <u>la seule composante radiale de</u> <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> appliquée à <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, <u>doit être indépendante des coordonnées angulaires</u> <math>\;\left( \theta_{M',\,M}\,,\, \varphi_{M',\,M} \right)\;</math> <u>de</u> <math>\;M\;\;</math> <u>dans le repérage sphérique</u><ref name="repérage sphérique" /> <u>lié à</u> <math>\;M\;</math> <u>associé au référentiel</u> <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math>»<ref name="indépendance des coordonnées angulaires"> En effet la forme différentielle «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; \left( r_{M',\,M}\,,\,\theta_{M',\,M}\,,\, \varphi_{M',\,M} \right)\;dr_{M',\,M}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; \left( r_{M',\,M}\,,\,\theta_{M',\,M}\,,\, \varphi_{M',\,M} \right)\;dr_{M',\,M} + \ldots</math> <math>\ldots\;0\;d \theta_{M',\,M} + 0\;d \varphi_{M',\,M}\;</math>» l'égalité des dérivées croisées <math>\;\big(</math>C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]\;</math> donne <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}}{\partial \theta_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\varphi_{M',\,M}} = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial r_{M',\,M}} \right)_{\!\theta_{M',\,M},\,\varphi_{M',\,M}} = 0\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}}{\partial \varphi_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\theta_{M',\,M}} = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial r_{M',\,M}} \right)_{\!\theta_{M',\,M},\,\varphi_{M',\,M}} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\bigg[</math>la 3<sup>ème</sup> égalité de dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\theta_{M',\,M}} = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\varphi_{M',\,M}}\;</math> n'ajoutant aucune condition<math>\bigg]</math>, soit finalement <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}}{\partial \theta_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\varphi_{M',\,M}} = 0 \Leftrightarrow \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;\text{indépendant de}\;\theta_{M',\,M}\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}}{\partial \varphi_{M',\,M}} \right)_{\!r_{M',\,M},\,\theta_{M',\,M}} = 0 \Leftrightarrow \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;\text{indépendant de}\;\varphi_{M',\,M}\end{array}\right\rbrace</math>.</ref>, le caractère suffisant de ces C.N<ref name="C.N." />. étant usuellement vérifié pour les fonctions scalaires <math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}(r_{M',\,M})\;</math> utilisées <math>\;\big[</math>mais néanmoins, il faut savoir que les C.N<ref name="C.N." />. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.

===== Définition de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un champ de forces intérieures conservatif =====

{{Définition|titre=Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif|contenu={{Al|5}} <u>L'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces intérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» <math>\;\big[</math>interaction entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]\;</math> <u>est la fonction scalaire</u> <math>\;\big(</math>définie à une constante additive près<math>\big)\;</math> des coordonnées radiales relatives de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans les référentiels <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> <math>\;\big\{</math>liés à <math>\;M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big\}</math>, <u>de densité bivolumique</u> «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>» <u>telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité bivolumique</u> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math> dont <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> « dérive »</u><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> soit mathématiquement <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} \right] = \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M} = -du_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\;</math>» <br><math>\;\big(</math>avec <math>\;r_{M',\,M} = M'M\;</math> la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, <br><math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> la composante radiale de <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, <br><math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> étant le référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big)</math> ;</center>
{{Al|5}}l'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces intérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de « densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» est <u>la somme continue<ref name="somme continue - bis" /> des énergies potentielles bivolumiques</u> «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\;</math>» <u>dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative</u> <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> soit mathématiquement, avec le facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> compensant le dédoublement des termes <center>«<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M}) \; d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br><math>\;\Big[</math>avec choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> de <math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\Big]</math> <br> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) = \dfrac{1}{2}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M} \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> <br><math>\qquad\qquad\qquad\;\;= \dfrac{1}{2}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ -du_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'} \right] d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace d \mathcal{V}_M</math> <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\; d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /></center> 
{{Al|17}}soit finalement «<math>\;\delta W\!\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right) = -dU_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" />.}}
{{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, dans le champ du système de forces intérieures conservatif <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> étant définie à une constante additive près, il faut « <u>préciser la référence de cette énergie potentielle</u> »<ref name="référence d'énergie potentielle" /> : usuellement « <u>la référence de</u> <math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\;</math>» <u>est choisie pour les centres des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>éloignés à l'infini les uns des autres</u> c'est-à-dire « pour <math>\;r_{M',\,M} = \infty\;\;\forall\;\left( M,\, M' \neq M \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}L'énergie potentielle du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, dans le champ du système de forces intérieures conservatif <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> ne dépendant que des distances mutuelles séparant les différents centres des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système entre eux et celles-ci étant indépendantes du référentiel dans lesquelles elles sont définies, on en déduit que «<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\;</math> <u>est invariante par changement de référentiel</u> ».

{{Définition|titre=Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif|contenu={{Al|5}} <u>L'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>dans le champ du système de forces intérieures conservatif</u> «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» <math>\;\big[</math>interaction entre pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]\;</math> <u>est la fonction scalaire</u> <math>\;\big(</math>définie à une constante additive près<math>\big)\;</math> des coordonnées radiales relatives de <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans les référentiels <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> <math>\;\big\{</math>liés à <math>\;M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big\}</math>, <u>de densité bivolumique</u> «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>» <u>telle que l'opposé de son gradient</u><ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;M\;</math> en repérage sphérique de pôle <math>\;M'\;</math><ref name="repérage sphérique" /> du repère associé au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\big\}\;</math> <u>est égal au champ du système des densités bivolumiques de forces intérieures conservatif dont elle « dérive »</u><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative - bis" /> soit mathématiquement <center>«<math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\!\left( r_{M',\,M} \right) = -\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'} \right]\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> ;</center>
{{Al|5}}<u>l'énergie potentielle du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de « densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» est <u>la somme continue<ref name="somme continue - bis" /> des énergies potentielles bivolumiques</u> «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>» <u>dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative</u> <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math> soit mathématiquement, avec le facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> compensant le dédoublement des termes <center>«<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M}) \; d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br><math>\;\Big[</math>avec choix de la référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> de <math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\Big]</math> <br> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; d \mathcal{V}_{M'} \; d \mathcal{V}_M\;</math>{{Al|7}} <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad= -\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'} \right]\; d \mathcal{V}_{M'} \; d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> <br><math>\qquad\quad\;\;= \dfrac{1}{2} \left[ -\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, \left( N',\,N \right)\,\neq\,\left( M',\,M \right)}\! \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{N\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{N'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,N\,\leftarrow\,N'}(r_{N',\,N}) \; d \mathcal{V}_{N'} \right] d \mathcal{V}_N \right\rbrace \right]\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{,}}<ref name="signification des indices de grad" />{{,}}<ref name="justification du facteur un demi"> Facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> car «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math>» apparaît deux fois dans les deux intégrales volumiques emboîtées <math>\;\ldots</math></ref> <br><math>\quad= -\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, \left( N',\,N \right)\,\neq\,\left( M',\,M \right)}\! \left\lbrace \dfrac{1}{2} \displaystyle\iiint\limits_{N\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{N'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,N\,\leftarrow\,N'}(r_{N',\,N}) \; d \mathcal{V}_{N'} \right] d \mathcal{V}_N \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{,}}<ref name="signification des indices de grad" /> <br>soit finalement «<math>\;d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = -\overrightarrow{\text{grad}}_{\,\forall\, \left( N',\,N \right)\,\neq\,\left( M',\,M \right)}\!\left[ U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)} \right]\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" />{{,}}<ref name="signification des indices de grad" />{{,}}<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" />.</center>}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : avec le choix de « référence pour <math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math>»<ref name="référence d'énergie potentielle" /> «<math>\;r_{M',\,M} = \infty\;</math>», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ du système de forces intérieures conservatif <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> si chaque composante radiale de densité bivolumique de force <math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}(r_{M',\,M})\;</math> est de <math>\;\big(</math>même<math>\big)\;</math> variation monotone à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\succ\;</math>si les forces d'interaction de type <math>\;_q\;</math> sont « purement attractives »<ref name="impossibilité pratique"> Cette hypothèse est en fait non réaliste car si toutes les forces d'interaction étaient « purement attractives » sans contre-partie, le système de matière s'effondrerait <math>\;\big(</math>il faut donc une composante répulsive aux faibles distances<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Cette hypothèse est en fait non réaliste car }}si toutes les forces d'interaction étaient « purement répulsives » sans contre-partie, le système de matière exploserait <math>\;\big(</math>il faut donc une composante attractive aux grandes distances<math>\big)</math>.</ref> «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}(r_{M',\,M})\;</math> est <math>\;< 0,\;\;\forall\;r_{M',\,M}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math> étant <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;r_{M',\,M} \nearrow\;</math> jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math> est <math>\;< 0,\;\;\forall\;r_{M',\,M}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)} < 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\succ\;</math>si les forces d'interaction de type <math>\;_q\;</math> sont « purement répulsives »<ref name="impossibilité pratique" /> «<math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}(r_{M',\,M})\;</math> est <math>\;> 0,\;\;\forall\;r_{M',\,M}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math> étant <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;r_{M',\,M} \nearrow\;</math> jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M})\;</math> est <math>\;> 0,\;\;\forall\;r_{M',\,M}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)} > 0\;</math>».

== Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle applicables en référentiel galiléen ==

{{Al|5}}Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, ce dernier est envisagé sous la forme d'un système continu de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» de masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math>» ;

{{Al|5}}de plus, pour que les théorèmes de la dynamique newtonienne soient applicables au système sous les formes énoncées, le contenu de ce dernier doit rester inchangé <math>\;\big(</math>aucune entrée ou sortie de pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans le système<math>\big)</math>, le système doit donc être « <u>fermé</u> »<ref name="dynamique newtonienne - bis"> La dynamique newtonienne des systèmes continus ouverts de matière d'expansion tridimensionnelle ne sera pas abordée dans ce chapitre.</ref>.

{{Al|5}}Dans ce paragraphe, le référentiel d'étude de la dynamique newtonienne du système est exclusivement « <u>galiléen</u> ».

=== Théorème de la résultante cinétique et celui du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie) ===

==== Théorème de la résultante cinétique ====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Théorème_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_fermé_de_points_matériels|théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

{{Théorème|titre=Théorème de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridiemensionnelle|contenu={{Al|5}}« <u>Dans un référentiel galiléen</u> <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>la résultante dynamique</u> <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée, à l'instant <math>\;t</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>est égale à la dérivée temporelle de sa résultante cinétique</u> <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> au même instant <math>\;t</math> » soit <center><math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma"> Notation maintenue pour la surface de contrôle, à ne pas confondre avec les systèmes extérieurs <math>\;(\Sigma_k)\;</math> exerçant une action sur le système ouvert de matière <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> En effet, si la résultante cinétique à l'instant <math>\;t\;</math> du système ouvert <math>\;(\mathcal{S})_t\;</math> intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> est effectivement la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math> des quantités de mouvement des pseudo-points qui sont présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, la grandeur <math>\;\dfrac{d \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{P}_{(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) - \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> ne traduit que la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math>des quantités de mouvement des pseudo-points présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + \delta t \right]</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, si }}la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> de la résultante cinétique du système ouvert devant être traduite selon <math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{P}_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) =</math> <math>\vec{P}_{(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) + \delta \vec{P}_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]} - \delta \vec{P}_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}\;</math> d'où <math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{P}_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t} =</math> <math>\dfrac{d \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{P}_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t} - \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{P}_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}</math>, ces deux derniers termes définissant les débits de quantités de mouvement entrant et sortant <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}D \vec{P}_{\text{entrant à }\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{P}_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\\D \vec{P}_{\text{sortant à}\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{P}_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\end{array}\right\rbrace</math>, on en déduit que le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant <math>\;t\;</math> est égal à <math>\;\dfrac{d \vec{P}_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + D \vec{P}_{\text{entrant à}\;t} - D \vec{P}_{\text{sortant à}\;t}\;\ldots</math></ref>.

{{Al|5}}<u>Démonstration</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Démonstration|démonstration]] (du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.</ref> : Le référentiel d'étude étant <u>galiléen</u>, on peut appliquer, à chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système continu <u>fermé</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la r.f.d.<ref name="r.f.d."> Relation Fondamentale de la Dynamique <math>\;\big(</math>newtonienne ou relativiste<math>\big)</math>.</ref> soit «<math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \dfrac{d \left( d \vec{p}_{M} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> «<math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\;</math>» y est la résultante des forces exercées par chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]</math> <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire <math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} =</math> <math>\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,p} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math> avec <math>\;p\;</math> le nombre de systèmes <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\Big]</math>.</ref> puis

{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut }}en faire la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{d \left( d \vec{p}_{M} \right)}{dt}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> la réécriture du 2<sup>ème</sup> membre résultant de la permutation de l'intégration volumique<ref name="intégrale volumique" /> et de la dérivation temporelle<ref name="permutation dérivation temporelle et intégration volumique"> Cette permutation est possible parce que la définition de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est indépendante du temps <math>\;t\;</math> dans la mesure où le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est fermé <math>\;\Big\{</math>la définition de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> indépendante de <math>\;t\;</math> ne veut pas dire que le volume de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est une constante mais qu'il n'y a aucune entrée ou sortie de pseudo-points<math>\Big\}</math>.</ref>, 
* le {{1er}} terme du {{1er}} membre étant la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> s'exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, 
* le 2<sup>ème</sup> terme du {{1er}} membre, la résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit <math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math> et 
* le 2<sup>nd</sup> membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu fermé de matière soit <math>\;\dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> d'où
<center>pour un système continu <u>fermé</u> de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel <u>galiléen</u>, <br><math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) + \vec{0} = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> ou <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> (C.Q.F.D.)<ref name="C.Q.F.D." />,<br>applicable sous cette forme en dynamique <u>newtonienne</u> ou <u>relativiste</u>.</center>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut vérifier l'inapplicabilité de ce théorème à un système continu « ouvert » de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#En_complément,_inapplicabilité_du_théorème_de_la_résultante_cinétique_à_un_système_ouvert_de_points_matériels|en complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus ouverts de matière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut }}avoir un aperçu des « modifications » à lui apporter pour le rendre applicable.

==== Théorème du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie) ====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Théorème_du_mouvement_du_centre_d'inertie_d'un_système_fermé_de_points_matériels|théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

{{Théorème|titre=Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle (cadre de la dynamique newtonienne)|contenu={{Al|5}}« <u>Dans un référentiel galiléen</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> et dans le cadre de la <u>dynamique newtonienne</u>, <u>la résultante dynamique</u> <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée, à l'instant <math>\;t</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>est égale au produit de la masse</u> <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)</math> <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> <u>du système par le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_{G_{\text{syst}}}(t)\;</math> de son C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G_{\text{syst}}\;</math> <u>au même instant</u> <math>\;t</math> » soit <center><math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{G_{\text{syst}}}(t)</math>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème s'applique exclusivement, en <u>dynamique newtonienne</u>, à un système <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne, <u>à un système ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" /> car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> ne s'applique pas à un système ouvert <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}<u>Démonstration</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Démonstration_2|démonstration]] (du théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.</ref> : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, du théorème de la résultante cinétique au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> soumis, à l'instant <math>\;t</math>, à la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> soit <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> est la résultante cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> et, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : Cela découle }}de la propriété liant, dans le cadre de la <u>cinétique newtonienne</u>, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)</math>, la masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)</math> <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{G_{\text{syst}}}(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système à savoir <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G_{\text{syst}}}(t)\;</math> dont on déduit, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : }}<math>\;\dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{G_{\text{syst}}}(t)</math>, la masse de tout système <u>fermé</u> étant constante, soit, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : }}par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{G_{\text{syst}}}(t)\;</math> (C.Q.F.D.)<ref name="C.Q.F.D." />.

==== Théorèmes de l'inertie ====

{{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique <math>\;\ldots</math>

{{Théorème|titre=Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne ou relativiste)|contenu={{Al|5}}« <u>Il existe au moins un référentiel d'espace-temps</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans lequel <u>la résultante cinétique</u> <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}\;</math> <u>d'un système continu fermé de matière isolé</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>est conservée</u> au cours du temps du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> », ce référentiel étant qualifié de « galiléen <math>\;\big(</math>ou inertiel<math>\big)\;</math>».}}
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> quelconque de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>le système étant isolé<math>\big]\;</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \dfrac{d \left( d \vec{p}_{M} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> d'où, en faisant la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ainsi que la définition de la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après avoir permuté intégration volumique<ref name="intégrale volumique" /> et dérivation temporelle selon <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{d \left( d \vec{p}_{M} \right)}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t)\;</math><ref name="permutation dérivation temporelle et intégration volumique" />, on établit <math>\;\vec{0} = \dfrac{d \vec{P}_{\text{syst}}}{dt}(t)\;</math> soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé<ref> Dans le cadre de la dynamique relativiste ce théorème suppose que le principe des actions réciproques est applicable dans le référentiel considéré et il y est car les forces utilisées sont invariantes par changement de référentiel <math>\;\big(</math>et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;</math> dans sa globalité<math>\big)</math>.</ref>.

{{Théorème|titre=Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)|contenu={{Al|5}}« <u>Il existe au moins un référentiel d'espace-temps</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans lequel <u>le C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <u>d'un système continu fermé de matière isolé</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <u>est animé d'un mouvement rectiligne uniforme</u> », ce référentiel étant qualifié de « galiléen <math>\;\big(</math>ou inertiel<math>\big)\;</math>».}}
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Appliquant le théorème de l'inertie au système continu fermé isolé <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans lequel la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservée au cours du temps puis, comme <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;m_{\text{syst}} = cste\;</math> pour un système fermé, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de <math>\;G</math>.

==== Conséquences ====

{{Al|5}}<u>Conséquence du théorème de la résultante cinétique</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Conséquence_sur_les_systèmes_fermés_de_points_matériels_«_pseudo-isolés_»_:_conservation_de_leur_résultante_cinétique|conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolés : conservation de leur résultante cinétique]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle ;<br>{{Al|3}}y est également exposé le cas où le système discret de points matériels pseudo-isolé serait ouvert, défini comme le contenu intérieur, à l'instant <math>\;t</math>, de la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)</math>, l'adaptation aux systèmes continus ouverts de matière y étant encore possible.</ref> : Si le système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « <u>pseudo isolé</u> » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que <math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}</math>, l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps <math>\;t</math>, <center>« <u>la conservation de la résultante cinétique du système</u> »<ref> C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système continu fermé de matière isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système continu fermé de matière pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème de la résultante cinétique <math>\big(</math>même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques<math>\big)</math>.</ref> soit <math>\;\vec{P}_{\text{syst fermé}}(t) = \overrightarrow{\text{cste}}\;\;\forall\;t</math> ; <br>cette conclusion est applicable en dynamique <u>newtonienne</u> ou <u>relativiste</u>.</center>
{{Al|5}}<u>Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Conséquence_sur_les_systèmes_fermés_de_points_matériels_«_pseudo-isolés_»_dans_le_cadre_de_la_dynamique_newtonienne_:_mouvement_rectiligne_uniforme_de_leur_C.D.I.|conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolés dans le cadre de la dynamique newtonienne : mouvement rectiligne uniforme de leur C.D.I.]] (centre d'inertie) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.</ref> : Si le système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « <u>pseudo isolé</u> » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que <math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}</math>, l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps <math>\;t</math>, <center>« <u>la conservation du vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système</u> »<ref> C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système continu fermé de matière isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système continu fermé de matière pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. du système <math>\big(</math>même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques<math>\big)</math>.</ref> soit <math>\;\vec{V}_{G_{\text{syst}}}(t) = \overrightarrow{\text{cste}}\;\;\forall\;t</math> ; <br>cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique <u>newtonienne</u>.</center>
=== Théorème du moment cinétique vectoriel ===

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\;O\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;O\;</math> <u>appliqué</u>, à l'instant <math>\;t</math>, <u>au système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même point <math>\;O</math>, au même instant <math>\;t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Considérant le système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen et un point <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,  

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système continu <u>fermé</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, moments évalués relativement au point <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="théorème du moment cinétique vectoriel du point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>, s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="extérieur du système exprimé relativement aux différents systèmes extérieurs"> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>» y est le moment résultant vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> des forces exercées par chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]</math> {{Nobr|<math>\;\bigg\{</math>c'est-à-dire}} <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,p} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right]\;</math> avec <math>\;p\;</math> le nombre de systèmes <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\bigg\}</math>.</ref>, 

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on en fait la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace\; \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) \right\rbrace = \dfrac{d \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, la réécriture du 2<sup>ème</sup> membre résultant de la permutation de l'intégration volumique<ref name="intégrale volumique" /> et de la dérivation temporelle<ref name="permutation dérivation temporelle et intégration volumique" />, on y reconnaît dans
* « le {{1er}} terme du {{1er}} membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> évalué en <math>\;O\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>», 
* « le 2<sup>ème</sup> terme du {{1er}} membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière évalué au même point <math>\;O\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment résultant vectoriel des forces intérieures sur un système continu de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_du_moment_résultant_vectoriel_du_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_et_propriété|définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété]] » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.</ref> et 
* « le 2<sup>ème</sup> membre » la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière évalué au même point <math>\;O\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> à savoir «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>».
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref> En effet, si le vecteur moment résultant cinétique à l'instant <math>\;t\;</math> par rapport au point origine <math>\;O\;</math> du système ouvert <math>\;(\mathcal{S})_t\;</math> intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> est effectivement la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math> des moments cinétiques vectoriels par rapport à <math>\;O\;</math> des pseudo-points qui sont présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, la grandeur <math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) - \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> ne traduit que la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math>des moments cinétiques vectoriels par rapport à <math>\;O\;</math> des pseudo-points présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + \delta t \right]</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, si }}la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> du moment résultant cinétique vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> du système ouvert devant être traduite selon <math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) =</math> <math>\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) + \delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]} - \delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}\;</math> d'où <center><math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t} = \dfrac{d \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t} - \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}</math>,</center> 
{{Al|3}}{{Transparent|En effet, si }}ces deux derniers termes définissant les débits de moment cinétique vectoriel, par rapport à <math>\;O</math>, entrant et sortant <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}D \vec{\sigma}_{O,\,\text{entrant à}\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\\D \vec{\sigma}_{O,\,\text{sortant à}\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta \vec{\sigma}_{O,\,\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\end{array}\right\rbrace</math>, on en déduit que le taux horaire de variation du moment résultant cinétique vectoriel par rapport à <math>\;O_;</math> du système ouvert défini à l'instant <math>\;t\;</math> est égal à <math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + D \vec{\sigma}_{O,\,\text{entrant à}\;t} - D \vec{\sigma}_{O,\,\text{sortant à}\;t}\;\ldots</math></ref>.

==== Conséquence ====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « condition de [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_vectoriel_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_point_O_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

{{Al|5}}Il y a <u>conservation du moment cinétique vectoriel</u> d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué par rapport à un point <math>\;O\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>» <u>si le vecteur moment résultant dynamique</u> en <math>\;O\;</math> appliqué au système <u>est nul à tout instant</u> <math>\;t\;</math> c'est-à-dire si {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>»}}, cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système continu fermé de matière en un point <math>\;O\;</math> fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» dans lequel la nullité du {{1er}} membre conduit à celle du 2<sup>ème</sup> membre c'est-à-dire à «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t</math>» ;

{{Al|5}}le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière par rapport au point <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen peut être nul par <center>« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système continu fermé de matière est <u>isolé</u>, <br>« des forces extérieures toutes <u>centrales par rapport au point fixe</u> <math>\;O\;</math>»<ref name="centrale"> C.-à-d. de direction passant par le même point fixe <math>\;O</math>.</ref> ou <br>« des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe <math>\;O\;</math> <u>se compensent</u> »<ref name="système pseudo isolé en rotation autour d'un point"> On pourrait qualifier le système continu fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un point » dans la mesure où la compensation des moments vectoriels des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée <math>\;\ldots</math></ref>.</center>
==== Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude ====

{{Al|5}}Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en un point origine <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen n'est pas à mémoriser quand le point origine <math>\;A\;</math> a un mouvement quelconque relativement au système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ; 

{{Al|5}}toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.

===== Théorème =====

{{Théorème|titre=Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine A d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\;A\;</math> <u>mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\;A\;</math> appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au même point <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>» et du produit vectoriel «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> dans lequel <math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière.

{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière <math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est lié à la vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et à la masse de ce dernier <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> par <math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Résultante_cinétique_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> d'un système continu fermé de matière et le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> du {{Nobr|système<ref> Voir la note traitant d'un système discret fermé de points matériels à adapter à un système continu fermé de matière « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#cite_note-32|<sup>32</sup>]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » où on rappelle l'expression <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> avec <math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M_i}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M_i</math>, alors que l'expression de la vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système s'exprime, comme en cinématique newtonienne, selon <math>\;\vec{V}_{\!G}(t) =</math> <math>\dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\;</math> d'où aucun lien dans le cas général<math>\Bigg]</math> <math>\;\ldots\;</math> sauf dans le cas où le système de points matériels est en translation car tous les points matériels <math>\;M_i\;</math> ont la même vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> donc le même facteur de Lorentz <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> d'où, après factorisation par ce dernier ainsi que par la vitesse commune <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst. en transl.},\,t \right) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>}} d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.

===== Démonstration =====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » à adapter aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle..

{{Al|5}}Considérant le système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> étudié dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen et un point <math>\;A\;</math> mobile dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ; 

{{Al|5}}exprimons d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, moments évalués relativement au point <math>\;A\;</math> mobile dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Complément,_expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_appliquée_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_mobile_A_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>, en écrivant ce théorème relativement à un point origine <math>\;O\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \right]}{dt}(t)\;\;\left(\mathfrak{a}\right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extérieur du système exprimé relativement aux différents systèmes extérieurs" /> puis on effectue le changement d'origine sur les deux moments vectoriels de forces et sur le moment cinétique vectoriel de façon à faire apparaître la nouvelle origine <math>\;A\;</math> mobile dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \!\!&=&\!\! \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] \!\!&+&\!\! \overrightarrow{OA}(t) \wedge d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] \!\!&=&\!\! \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] \!\!&+&\!\! \overrightarrow{OA}(t) \wedge d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}\\ d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \!\!&=&\!\! d \overrightarrow{\sigma}_{A}(M) \!\!&+&\!\! \overrightarrow{OA}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» que l'on reporte dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> après dérivation de la dernière expression selon «<math>\;\dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M) \right]}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M) \right]}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge d \vec{p}_{\!M}(t) + \overrightarrow{OA}(t) \wedge \dfrac{d \left[ d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t)\;</math>», ce qui donne, après factorisation vectorielle<ref name="factorisation vectorielle" /> partielle à gauche par <math>\;\overrightarrow{OA}(t)\;</math> dans le 2<sup>ème</sup> terme <center>«<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] + \overrightarrow{OA}(t) \wedge d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right\rbrace + \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] + \overrightarrow{OA}(t) \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] \right\rbrace</math> <br><math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= \dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M) \right]}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge d \vec{p}_{\!M}(t) + \overrightarrow{OA}(t) \wedge \dfrac{d \left[ d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t),\;\;\left(\mathfrak{a}'\right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />,</center>
{{Al|5}}ou encore, en appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} = \dfrac{d \left[ d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> soit, en multipliant vectoriellement à gauche par <math>\;\overrightarrow{OA}(t)</math>, «<math>\;\overrightarrow{OA}(t) \wedge d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} + \overrightarrow{OA}(t) \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] = \overrightarrow{OA}(t) \wedge \dfrac{d \left[ d \vec{p}_{M} \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> d'où la réécriture de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right]</math>}} <math>= \dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M) \right]}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge d \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />

{{Al|5}}soit, en faisant la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> des relations <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> définies en chaque <math>\;M</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right] \right\rbrace</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{d \left[ d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M) \right]}{dt}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \vec{V}_{\!A}(t) \wedge d \vec{p}_{\!M}(t) \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, on reconnaît dans 
* « le {{1er}} terme du {{1er}} membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> évalué au point origine <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>mobile dans <math>\;\mathcal{R}\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>», 
* « le 2<sup>ème</sup> terme du {{1er}} membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> évalué au même point <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>mobile dans <math>\;\mathcal{R}\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment résultant vectoriel des forces intérieures sur un système continu de matière" />, 
* « le {{1er}} terme du 2<sup>ème</sup> membre » égal, après « permutation de l'intégration volumique<ref name="intégrale volumique" /> et de la dérivation temporelle<ref name="permutation dérivation temporelle et intégration volumique" />, à «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière par rapport au même point <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>mobile dans <math>\;\mathcal{R}\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> et enfin
* « le 2<sup>ème</sup> terme du 2<sup>ème</sup> membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par <math>\;\vec{V}_{\!A}(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{\!M}(t) \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> reconnaissant dans le 2<sup>ème</sup> facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» d'où la réécriture de ce terme selon «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» ;
{{Al|5}}finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, moments évalués relativement à un point <math>\;A\;</math> mobile dans <math>\;\mathcal{R}</math>, prend la forme «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» d'où l'énoncé <math>\;\big(</math>qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est<math>\big)</math>.

===== Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle) dans le référentiel d'étude =====

{{Al|5}}C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math> dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen car le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est mobile <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big[</math>le seul cas où <math>\;G\;</math> y serait fixe est «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale »<math>\big]</math> :

{{Al|5}}le prolongement du théorème dans lequel on utilise «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle|résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, conduit donc à «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\; \cancel{+\; \vec{V}_{\!G}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t) \right]}\;</math>» d'où l'énoncé :

{{Théorème|titre=Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I.  G du système dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> étudié dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\;G\;</math> appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, au système «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de ce dernier au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>» soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big[</math>et non dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, lequel est en général non galiléen<ref> Même si nous voyons dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Théorème_du_moment_cinétique_barycentrique_vectoriel|théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel]] » plus loin dans ce chapitre qu'il s'applique également dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> non galiléen, mais ce n'est pas ce qui est exposé ici <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]</math>.

=== Théorème du moment cinétique scalaire ===

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\Delta\;</math> <u>appliqué</u>, à l'instant <math>\;t</math>, <u>au système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\Delta</math>, au même instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Considérant le système continu fermé de matière «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen et un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe <math>\;\Delta\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta}</math>, 

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, moments évalués relativement à un point <math>\;O\;</math> quelconque, fixe sur <math>\;\Delta\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Énoncé_3|énoncé]] (du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>», 

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta} = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta}\;</math>» et on reconnaît 
* dans « le {{1er}} membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système continu fermé de matière évalué par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» et 
* dans « le 2<sup>ème</sup> membre » se transformant en «<math>\;\dfrac{d \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst}) \cdot \vec{u}_{\Delta} \right]}{dt}(t)\;</math>» compte-tenu de la constance de <math>\;\vec{u}_{\Delta}</math>, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière par rapport au même axe <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>».

{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref> En effet le théorème du moment cinétique vectoriel n'étant pas applicable à un système ouvert de matière <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#cite_note-123|<sup>123</sup>]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et le théorème du moment cinétique scalaire se déduisant du précédent par multiplication scalaire par <math>\;\vec{u}_{\Delta}</math>.</ref>.

==== Cas d'un solide en rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans le référentiel d'étude ====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « application du théorème du moment cinétique scalaire au [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».

===== Théorème =====

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\Bigg\{</math>soit «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c'est-à-dire de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref> où <math>\;r\;</math> est la distance orthogonale séparant <math>\;M\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\Bigg\}</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaire</u> : sous cette forme, ce théorème applicable en <u>dynamique newtonienne</u> à un système continu <u>fermé</u> de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> En effet nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-9|<sup>9</sup>]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) =</math> <math>J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.

===== Démonstration =====

{{Al|5}}Ayant rappelé, dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_par_rapport_à_un_axe_Δ|moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ]] (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right)</math>, la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> de rotation et le moment d'inertie <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math> à savoir «<math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>», il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas où le système est en rotation en tenant compte du fait que le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation est une constante, soit «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» et par suite «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />.

===== Remarque =====

{{Al|5}}Sachant <math>\;\big[</math>voir le paragraphe «  [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_de matière_d'expansion_tridimensionnelle_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> que «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation" />{{,}}<ref name="non applicable en cinétique relativiste" /> dans laquelle «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas<math>\big]\;</math> du centre <math>\;M\;</math> du pseudo-point générique du système <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r}\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]\;</math><ref name="repérage cylincro-polaire" />, <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="moment d'inertie"> Défini selon «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <math>\;\Big[</math>avec <math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> le moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c'est-à-dire de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\Big]</math>.</ref>, <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> le vecteur rotation instantanée du système à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t) =</math> <math>\vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système au même instant <math>\;t</math>, nous constatons que, dans le cas général, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \neq J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}}{dt}(\text{syst},\,t) \neq J_\Delta\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{d \vec{\sigma}_{A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \neq J_\Delta\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>dans le cas général où l'axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>n'est pas un axe principal d'inertie du système</u><ref name="axe principal d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Simplification_dans_le_cas_où_l'axe_Δ_de_rotation_du_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_est_«_axe_principal_d'inertie_du_système_»|simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système discret fermé de points matériels est axe principal d'inertie du système]] » plus haut dans ce chapitre pour la définition d'un axe principal d'inertie.</ref> ; 

{{Al|5}}par contre, <u>dans le cas particulier où l'axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>fixe dans le référentiel d'étude galiléen</u>, <u>est un axe principal d'inertie</u><ref name="axe principal d'inertie" /> <u>du système continu fermé de matière autour duquel il est en rotation</u>, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;\vec{u}_\Delta = J_\Delta\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>», <math>\;A\;</math> étant un point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>.

===== Conséquence =====

{{Al|5}}<u>Si le moment résultant dynamique scalaire</u> du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <u>est nul</u> c'est-à-dire si «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = 0\;</math>», le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps</u> c'est-à-dire «<math>\;\overline{\Omega}(t) = cste,\;\;\forall\;t\;</math>».

==== Prolongement, solide en rotation autour d'un axe (Δ) de direction fixe dans le référentiel d'étude ====

{{Al|5}}Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen {{Nobr|<math>\;\big[</math>ce}} qui a pour conséquence que le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est un vecteur constant dans <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> n'est pas mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;

{{Al|5}}il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en un point origine <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<ref> Voir le paragraphe « prolongement du [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Théorème|théorème]] (du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <math>\;A\;</math> étant choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de façon à ce que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\\ \sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\end{array}\right\rbrace\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est la résultante cinétique du système » et «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;A\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» définis tous deux à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle on reconnaît
* dans le {{1er}} membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»,
* dans le {{1er}} terme du 2<sup>ème</sup> membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> car «<math>\;\dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d \left[ \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)\;</math>» compte-tenu du fait que <math>\;\vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\text{cste}}\;</math> soit «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» et
* dans le 2<sup>ème</sup> terme du 2<sup>ème</sup> membre, un produit mixte «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> a priori <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="produit mixte de trois vecteurs" /> ou encore, «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> a priori <math>\;\neq 0\;</math>» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance du produit mixte" />,  
{{Al|5}}soit finalement, sans utiliser le caractère rotatif du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» ;

{{Al|5}}pour un système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation, à l'instant <math>\;t</math>, à la vitesse angulaire <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> se translatant dans <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big[</math>donc gardant une direction fixe<math>\big]</math>, le moment cinétique scalaire du système à l'instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, s'exprimant selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="moment d'inertie" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» d'où l'énoncé du prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen.

{{Théorème|titre=Prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math> a un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>de direction fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» est égal à la somme du produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="moment d'inertie" /> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> et d'un terme correctif, a priori non nul, tenant compte de la translation de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de la résultante cinétique du système <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>», <br><math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;A\;</math> un point quelconque fixe sur cet axe.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : sous cette forme, ce prolongement de théorème applicable en <u>dynamique newtonienne</u> à un système continu <u>fermé</u> de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste" />.

{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>Le terme correctif</u> «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» se réécrivant, en tenant compte de «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Résultante_cinétique_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, «<math>\;m_{\text{syst}} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <u>est nul</u> dans le cas de nullité d'un produit mixte<ref name="produit mixte de trois vecteurs" /> c'est-à-dire <u>dans le cas où</u>
* l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> glisse sur lui-même <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{\!A}(t)\;</math> du point fixe <math>\;A\;</math> de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> ou,
* l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> se translate parallèlement au mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{\!A}(t)\;</math> du point fixe <math>\;A\;</math> de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> ou encore,
* l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passe par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;\big[</math>ce qui est certainement le cas le plus fréquemment rencontré<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{\!A}(t)\;</math> du point fixe <math>\;A\;</math> de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> ;
{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}en conclusion le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen prend la forme simplifiée «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <u>dans le cas où l'axe de rotation</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>glisse sur lui-même</u> <u>ou si la translation de l'axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>se fait parallèlement à la trajectoire du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système <math>\;\big[</math>dont un <u>cas particulier</u> est <u>l'axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>passant par</u> <math>\;G\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\left( \Delta \right) = \left( \Delta_G \right)\;</math>»<math>\big]</math>.

=== Théorème de la puissance cinétique ===

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref> En effet, si l'énergie cinétique à l'instant <math>\;t\;</math> du système ouvert <math>\;(\mathcal{S})_t\;</math> intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> est effectivement la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math> des énergies cinétiques des pseudo-points qui sont présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à cet instant <math>\;t</math>, la grandeur <math>\;\dfrac{d K_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{K_{(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) - K_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> ne traduit que la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale volumique<math>\big)\;</math> des énergies cinétiques des pseudo-points présents dans <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + \delta t \right]</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, si }}la variation entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \delta t\;</math> de l'énergie cinétique du système ouvert devant être traduite selon <math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{K_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - K_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t}\;</math> dans laquelle <math>\;K_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) =</math> <math>K_{(\mathcal{S})_t}(t + \delta t) + \delta K_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]} - \delta K_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}\;</math> d'où <math>\;\lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{K_{(\mathcal{S})_{t + \delta t}}(t + \delta t) - K_{(\mathcal{S})_t}(t)}{\delta t} =</math> <math>\dfrac{d K_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta K_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t} - \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta K_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}</math>, ces deux derniers termes définissant les débits d'énergie cinétique entrant et sortant <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}D K_{\text{entrant à}\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta K_{\text{entrant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\\D K_{\text{sortant à}\;t} = \lim\limits_{\delta t\,\rightarrow\,0} \dfrac{\delta K_{\text{sortant sur}\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]}}{\delta t}\end{array}\right\rbrace</math>, on en déduit que le taux horaire de variation de l'énergie cinétique du système ouvert défini à l'instant <math>\;t\;</math> est égal à <math>\;\dfrac{d K_{(\mathcal{S})_t}}{dt}(t) + D K_{\text{entrant à}\;t} - D K_{\text{sortant à}\;t}\;\ldots</math></ref>.

{{Al|5}}<u>Démonstration</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Démonstration|démonstration]] (du théorème de la puissance cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] » à adapter aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.</ref> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système continu <u>fermé</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>, soit <center>«<math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \mathcal{P}\! \left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\!(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right]\!(t),\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extérieur du système exprimé relativement aux différents systèmes extérieurs - bis"> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right]\;</math>» y est la puissance des forces exercées par chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\;</math> sur le pseudo-point <math>\;M\, \left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]</math> <math>\;\bigg\{</math>c'est-à-dire dont la définition est <math>\;\mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right] = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,p} \mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right]\;</math> avec <math>\;p\;</math> le nombre de systèmes <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> de <math>\;\left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)\bigg\}</math>.</ref> puis </center> {{Al|15}}{{Transparent|Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme continue<ref name="somme continue" /> sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> définies en chaque centre <math>\;M\;</math> des pseudo-points du système <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{d K_M}{dt}(t)</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou, en permutant l'intégration volumique<ref name="intégrale volumique" /> et la dérivation temporelle<ref name="permutation dérivation temporelle et intégration volumique" /> «<math>\;\dfrac{d \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d K_M \right]}{dt}(t)</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace\; \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, on y reconnaît dans
* le {{1er}} membre la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d K_M(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> à l'instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, 
* le {{1er}} terme du 2<sup>nd</sup> membre «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \text{ext de }\;\mathcal{S} \right)} \right](t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et 
* le 2<sup>ème</sup> terme du 2<sup>nd</sup> membre «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace\; \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ d^2 \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]} \right](t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>», 
{{Al|15}}{{Transparent|Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle.

==== Cas particulier d'un solide ====

{{Al|5}}Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ». 

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique se simplifie dans le cas particulier d'un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> <u>indéformable</u> c'est-à-dire d'un solide <math>\;\big(</math>au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> car nous avons établi au paragraphe « 3<sup>ème</sup> [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Conséquences|conséquence]] (de l'évaluation de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un solide) » plus haut dans ce chapitre que celle-ci est nulle soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}\,\text{syst. indéform.}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où l'énoncé du théorème :

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système continu fermé <u>indéformable</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaire</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé indéformable</u> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}<u>Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide</u> <math>\;\succ\;</math><u>Solide en translation</u> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation<ref> Voir le paragraphe « {{1er}} [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers|cas particulier]] (de la puissance développée par les forces extérieures) » plus haut dans ce chapitre.</ref> s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» avec «<math>\;F_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Énergie_cinétique_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;K_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2}(t)\;</math>» avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation<ref> Il est inutile de préciser que le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est indéformable car tout système en translation ne se déforme pas.</ref> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen se réécrit «<math>\;\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2} \right]}{dt}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t)\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en rotation</u> de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe<ref> Voir le paragraphe « 2<sup>ème</sup> [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers|cas particulier]] (de la puissance développée par les forces extérieures) » plus haut dans ce chapitre.</ref> s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique scalaire appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Énergie_cinétique_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle]] (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;K_{(\mathcal{S})\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(\mathcal{S})\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta}(\mathcal{S})\;</math> le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe<ref> Il est inutile de préciser que le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est indéformable car tout système en rotation autour d'un axe fixe ne se déforme pas.</ref> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen se réécrit «<math>\;\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(\mathcal{S})\;\overline{\Omega}^{\,2} \right]}{dt}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en mouvement quelconque</u> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen, mouvement composé d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <math>\;G\;</math> étant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide, et d'une rotation de vecteur rotation instantanée, au même instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G}(t)\;</math> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math> : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en mouvement quelconque<ref> Voir le paragraphe « 3<sup>ème</sup> [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particuliers|cas particulier]] (de la puissance développée par les forces extérieures) » plus haut dans ce chapitre.</ref> s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_G(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G}(t)\;</math>» avec «<math>\;F_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique vectoriel appliquée à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> évalué par rapport à <math>\;G\;</math>» et l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en mouvement quelconque s'évaluant par utilisation du 2<sup>ème</sup> théorème de Kœnig<ref name="2ème théorème de Kœnig"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Énoncé_2|énoncé]] (du 2<sup>ème</sup> théorème de Kœnig) » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;K_{(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}^{\,*}(t) + \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2(t)\;</math>» avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du solide », «<math>\;K_{(\mathcal{S})}^{\,*}(t)\;</math> l'énergie cinétique barycentrique du solide laquelle est égale à <math>\;K_{(\mathcal{S})}^{\,*}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\mathcal{S})\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G}^{\,2}(t)</math>, <math>\;J_{\Delta_G}(\mathcal{S})\;</math> étant le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»<ref> Bien que l'énergie cinétique soit la somme de grandeurs définies dans deux référentiels différents, la définition de la puissance cinétique comme la dérivée temporelle de l'énergie cinétique ne pose aucune difficulté car on dérive une grandeur scalaire <math>\;\big(</math>et même si on dérivait une grandeur vectorielle, on obtiendrait la même dérivée dans l'un ou l'autre des référentiels car les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre<math>\big)</math>.</ref>, le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé indéformable de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2 + \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\mathcal{S})\;\vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G}^{\,2} \right]}{dt}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_G(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\,/\,\Delta_G}(t)\;</math>».</center>

=== Théorème de l'énergie cinétique ===

{{Al|5}}La forme « intégrée » associée à la forme « locale » du « théorème de la puissance cinétique » est le « théorème de l'énergie cinétique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre “ forme locale de la dynamique ” et “ forme intégrée associée à cette forme locale ”]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.

==== Théorème de l'énergie cinétique sur une durée élémentaire ====

{{Al|5}}Pour passer d'une « forme locale de la dynamique écrite à l'instant <math>\;t\;</math>» à la « forme intégrée écrite sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> associée à cette forme locale », il suffit de multiplier la forme locale par <math>\;dt\;</math> d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire <math>\;\big[</math>après utilisation de <math>\;\mathcal{P}(t)\;dt = \delta W\;</math><ref name="lien entre travail et puissance"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Travail_développé_par_des_systèmes_de_forces_appliqués_à_un_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'une part et <math>\;\dot{K}(t)\;dt = dK\;</math><ref name="différentielle d'une fonction d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable|différentielle d'une fonction d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> d'autre part<math>\big]</math> :

{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref name="inapplicabilité du théorème de la puissance cinétique"> En effet sa forme locale associée « le théorème de la puissance cinétique » n'étant pas applicable à un système continu ouvert de matière, voir la note « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#cite_note-139|<sup>139</sup>]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> : de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> on déduit <math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;</math><ref name="travail de forces intérieures appliquées à un solide"> Voir la « 3<sup>ème</sup> remarque du paragraphe [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Diverses_expressions_du_travail_élémentaire_développé_par_le_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_le_référentiel_d'étude|diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude]] (avec un repérage sphérique de M dans le repère associé au référentiel lié à M') » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où l'énoncé du théorème :

{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un système continu fermé <u>indéformable</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en translation</u> de vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathit{l}} = \vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t)\;dt\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : {{Nobr|«<math>\;d \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2}(t) \right]</math>}} <math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{d \mathit{l}}\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en translation"> Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particulier_d'un_solide|cas particulier d'un solide]] (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en translation) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du solide » et «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant <math>\;t\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en rotation</u> de déplacement angulaire élémentaire «<math>\;d \theta = \overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : «<math>\;d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particulier_d'un_solide|cas particulier d'un solide]] (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en rotation) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math> le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du solide par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> appliqué au solide à l'instant <math>\;t\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en mouvement quelconque</u> composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dG} = \vec{V}_G(t)\;dt\;</math>» et d'un déplacement angulaire élémentaire «<math>\;d \theta_{/\,\Delta_G} = \overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : «<math>\;d \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2(t) \right] + d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\vec{\Omega}_{/\,\Delta_G}^{\,2}\!(t) \right] =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG} + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\; d \theta_{/\,\Delta_G}\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en mouvement quelconque"> Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Cas_particulier_d'un_solide|cas particulier d'un solide]] (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en mouvement quelconque) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du solide », «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math> le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du solide par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué au solide au même instant <math>\;t\;</math>».

==== Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie ====

{{Al|5}}Pour mémoire « le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue<ref name="somme continue" /> de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «<math>\;W_{\left[ t_0\,,\,t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W(t)\;</math>» d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :

{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_f) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_0)\;</math>» est égale à la somme du travail développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]} =</math> {{Nobr|<math>\displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="travail développé par les forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_du_travail_développé_par_le_système_de_forces_extérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion tridimensionnelle_sur_une_durée_finie_dans_le_référentiel_d'étude|définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>}} et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]} =</math> {{Nobr|<math>\displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{int}}(t)\;</math>»<ref name="travail développé par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Diverses_expressions_du_travail_développé_par_le_système_de_forces_intérieures_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_sur_une_durée_finie_dans_le_référentiel_d'étude|diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]} + W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref name="inapplicabilité du théorème de la puissance cinétique" />.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> : de <math>\;\delta W_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> on déduit <math>\;W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]} = 0\;</math> d'où l'énoncé du théorème :

{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière <u>indéformable</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) =</math> <math>\dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, à savoir «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math> {{Nobr|<math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_f) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_0)\;</math>»}} est égale au travail développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]}</math> <math>= \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="travail développé par les forces extérieures" /> soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right]}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en translation</u> de vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathit{l}} = \vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}(t)\;dt\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2}(t) \right]</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2}(t_f) - \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{(\mathcal{S})\,\text{en transl.}}^{\,2}(t_0) = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{d \mathit{l}}(t)\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en translation" /> avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du solide » et «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant <math>\;t\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en rotation</u> de déplacement angulaire élémentaire «<math>\;d \theta = \overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : «<math>\;\Delta \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t_f) - \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t_0) = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> avec «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math> le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du solide par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> appliqué au solide à l'instant <math>\;t\;</math>».

{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : }}<math>\;\succ\;</math><u>Solide en mouvement quelconque</u> composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dG} = \vec{V}_G(t)\;dt\;</math>» et d'un déplacement angulaire élémentaire «<math>\;d \theta_{/\,\Delta_G} = \overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen : «<math>\;\Delta \left[ \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2(t) \right] + \Delta \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\vec{\Omega}_{/\,\Delta_G}^{\,2}\!(t) \right] =</math> <math>\left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2(t_f) + \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\vec{\Omega}_{/\,\Delta_G}^{\,2}\!(t_f) \right\rbrace - \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G^2(t_0) + \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\vec{\Omega}_{/\,\Delta_G}^{\,2}\!(t_0) \right\rbrace = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG} + \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\; d \theta_{/\,\Delta_G}\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en mouvement quelconque" /> avec «<math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse du solide », {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>}} le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du solide par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math> le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué au solide au même instant <math>\;t\;</math>».

=== Théorème de la variation de l'énergie mécanique ===

{{Al|5}}Théorème déduit du « théorème de l'énergie cinétique » dans le cas où « le système de forces résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> étudié » ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> « celui de forces intérieures correspondant à une interaction <math>\;_q\;</math> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> est <math>\;\big(</math>sont<math>\big)\;</math> <u>conservatif(s)</u><ref name="système de forces conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Systèmes_de_forces_conservatifs_appliqués_à_un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_et_énergies_potentielles_associées_du_système_continu_de_matière|Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergies potentielles associées du système continu de matière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\ldots</math> 

==== Définition de l'énergie mécanique d'un système continu fermé de matière dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ====

{{Al|5}}Dans le cas où le système de forces résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> ainsi qu'éventuellement celui de forces intérieures correspondant à une interaction <math>\;_q\;</math> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> sont conservatifs<ref name="système de forces conservatif" />, on définit 
* l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ du système de forces extérieures conservatif «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» de « densité volumique <math>\;\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} =</math> <math>\dfrac{d \vec{F}_{M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» résultant de l'action du système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> soit «<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\; d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="énergie potentielle d'un système dans un champ de forces extérieures conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définitions|définitions]] (de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle «<math>\;u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>» est la densité volumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces extérieures conservatif «<math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math>» définie en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;du_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} = -\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)} \right] = -\vec{f}_{\text{volum},\,M\,\leftarrow\, \left( \Sigma_k \right)}\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> <math>\;\big(</math>en précisant la référence de l'énergie potentielle volumique<ref name="référence d'énergie potentielle" /><math>\big)\;</math> ainsi que, si nécessaire, 
* l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ <math>\;\big(</math>éventuel<math>\big)\;</math> du système des forces intérieures conservatif correspondant à une interaction <math>\;_q\;</math> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> de densité bivolumique <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'} = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\text{interact}_q,\,M\,\left[ \mu(M)\,d \mathcal{V}_M \right]\, \leftarrow\, M'\,\left[ \mu(M')\,d \mathcal{V}_{M'} \right]}}{d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> en <math>\;M\;</math> en interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> avec <math>\;M'\;</math>» soit, avec «<math>\;u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>» la densité bivolumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces intérieures conservatif d'interaction <math>\;_q\;</math> entre pseudo-points de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> «<math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math>» définie en <math>\;M\;</math> en interaction avec <math>\;M'\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;du_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}</math>}} <math>= \overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\; dr_{M',\,M}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\text{grad}}\!\left[ u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'} \right]\!\left( r_{M',\,M} \right) = -\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\!\left( r_{M',\,M} \right)\;</math>»<ref name="définition du gradient d'une fonction scalaire" /> <math>\;\big(r_{M',\,M} = M'M\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans le repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, <math>\;\overline{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> la composante radiale de <math>\;\vec{f}_{\text{bivolum},\,\text{interact}_q,\,M\,\leftarrow\, M'}\;</math> dans le même repère associé à <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> étant le référentiel lié à <math>\;M'\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big)</math>, «<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right] = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivolum},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right),\,M\,\leftarrow\,M'}(r_{M',\,M}) \; d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="énergie potentielle d'un système dans un champ de forces intérieures conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Définition_de_l'énergie_potentielle_d'un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_dans_un_champ_de_forces_intérieures_conservatif|définition de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en précisant la référence de l'énergie potentielle bivolumique<ref name="référence d'énergie potentielle" /><math>\big)</math> puis
* dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'énergie mécanique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatives selon <center>«<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>» <br>avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>.</center>

==== Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée élémentaire ====

{{Al|5}}Pour établir, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir, }}on écrit, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, en distinguant parmi les forces extérieures ainsi que celles intérieures les forces conservatives dont on veut utiliser le caractère conservatif de celles qui ne le sont pas <math>\;\big(</math>ou qui le sont mais dont on ne souhaite pas utiliser l'aspect conservatif<math>\big)\;</math> soit <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \delta W_{\text{ext},\,\text{forces conserv.}} + \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}} + \delta W_{\text{int},\,\text{forces conserv.}} + \delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» et </center>
{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir, }}on utilise la définition de l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ de forces extérieures conservatif ainsi que celle dans le champ de forces intérieures conservatif soit <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{forces conserv.}} = -dU_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_{\text{conserv.}} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>»<ref name="énergie potentielle d'un système dans un champ de forces extérieures conservatif" /> et «<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{forces conserv.}} = -dU_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{conserv.}} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>»<ref name="énergie potentielle d'un système dans un champ de forces intérieures conservatif" />, <br><math>\Downarrow</math> <br>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = -dU_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_{\text{conserv.}} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right] + \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}} - dU_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{conserv.}} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right] + \delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» puis,</center>
{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir, }}en ne laissant que les travaux élémentaires des forces non conservatives dans le membre de droite et en utilisant la définition, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, de l'énergie mécanique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>» soit <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}} + \delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» d'où l'énoncé du théorème :</center>
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire développé par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif"> Ou conservatives mais dont on n'utilise pas le caractère conservatif.</ref> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» et de celui développé par les forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}} + \delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif et <br>«<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» celle associée, à l'instant <math>\;t</math>, au champ de forces intérieures d'interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> conservatif.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref name="inapplicabilité du théorème de l'énergie cinétique"> En effet le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire n'étant pas applicable à un système continu ouvert de matière car la forme locale dont il découle ne l'est pas voir la note « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#cite_note-139|<sup>139</sup>]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> : utilisant <math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;</math><ref name="travail de forces intérieures appliquées à un solide" /> on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> d’un système continu fermé <u>indéformable</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans le champ de forces extérieures conservatif, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire développé par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif.</center>}}
==== Théorème de la puissance mécanique, forme locale associée à la forme intégrée du « théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire ou sur une durée finie » ====

{{Al|5}}Pour passer d'une « forme intégrée de la dynamique écrite sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» à la « forme locale écrite à l'instant <math>\;t\;</math> associée à cette forme intégrée », il suffit de diviser la forme élémentaire de la forme intégrée par <math>\;dt\;</math> d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique <math>\;\bigg[</math>après utilisation de <math>\;\mathcal{P}(t) = \dfrac{\delta W}{dt}\;</math><ref name="lien entre travail et puissance" /> d'une part et <math>\;\dot{E_m}(t) = \dfrac{dE_m}{dt}\;</math><ref name="différentielle d'une fonction d'une variable" /> d'autre part<math>\bigg]</math> :

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs, est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif et <br>«<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» celle associée, à l'instant <math>\;t</math>, au champ de forces intérieures d'interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> conservatif.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref name="inapplicabilité du théorème de la variation de l'énergie mécanique"> En effet le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire n'est pas applicable à un système ouvert de matière, d'où la forme locale en découlant non plus.</ref>.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> : utilisant <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}} = 0\;</math><ref name="puissance développée par le système des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système continu fermé <u>indéformable</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans le champ de forces extérieures conservatif, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif.</center>}}
==== Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie ====

{{Al|5}}Pour mémoire « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue<ref name="somme continue - ter" /> de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «<math>\;W_{\left[ t_0\,,\,t_f \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W(t)\;</math>» d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>,  de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> d’un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t_f) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t_0)\;</math>» est égale à la somme du travail développé par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» et de celui développé par les forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,\text{forces non conserv.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,\text{forces non conserv.}} + W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,\text{forces non conserv.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif et <br>«<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» celle associée, à l'instant <math>\;t</math>, au champ de forces intérieures d'interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> conservatif.</center>}}
{{Al|5}}<u>Commentaires</u> : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u>, à un système continu <u>fermé</u> <math>\;\big(</math>déformable ou non<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}<u>il n'est pas applicable</u>, en dynamique newtonienne ou relativiste, <u>à un système continu ouvert</u> de matière défini à l'instant <math>\;t\;</math> comme le contenu intérieur à la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name=Sigma" />{{,}}<ref name="inapplicabilité du théorème de la variation de l'énergie mécanique - bis"> En effet le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire n'est pas applicable à un système continu ouvert de matière, d'où la forme intégrée sur une durée finie en découlant non plus.</ref>.

{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle</u><ref> C.-à-d. d'un solide au sens de la mécanique.</ref> : de <math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{forces non conserv.}}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> on déduit <math>\;W_{\text{int sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,\text{forces non conserv.}} = 0\;</math> d'où l'énoncé du théorème :

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation, sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]</math>, de l'énergie mécanique d’un système continu fermé <u>indéformable</u> de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> dans le champ de forces extérieures conservatif «<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t_f) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t_0)\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatif" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle de temps <math>\;\left[ t_0\,,\, t_f \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,,\,\text{forces non conserv.}}</math> <math>= \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \delta W_{\text{ext},\,\text{forces non conserv.}}(t)\;</math>»<ref name="travail développé par les forces extérieures" /> soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext sur}\,\left[ t_0\,,\,t_f \right],\,,\,\text{forces non conserv.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec<br> «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right]\;</math>», <br>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>«<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif.</center>}}
{{Al|5}}<u>Cas particulier d'un système continu fermé (déformable ou non) de matière d'expansion tridimensionnelle conservatif</u> : Un système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> étant dit « <u>conservatif</u> » ssi « toutes les forces extérieures et intérieures sont conservatives ou, dans le cas de présence de forces extérieures et intérieures non conservatives, celles-ci ne travaillent pas »<ref name="système conservatif"> Il s'agit de la généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de la définition d'un « point à mouvement conservatif » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]</math>.</ref> on en déduit aisément, par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> étudié, la <u>conservation de l'énergie mécanique du système continu fermé de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>conservatif</u> soit «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = cste,\;\;\forall\;t\;</math>» avec «<math>\;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) + U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\, t \right] + U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right),\,t \right]\;</math>»<ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures en travaillant pas]] »  du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>, <math>\;\Big\{</math>«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» étant l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;U_{\text{ext},\,\left( \mathcal{F}_k \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» l'énergie potentielle de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, associée au champ de forces extérieures <math>\;\left( \mathcal{F}_k \right)\;</math> conservatif <math>\;\big(</math>les autres forces extérieures éventuelles ne travaillant pas<math>\big)\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)}\!\left[ \left( \mathcal{S} \right) \right]\;</math>» celle associée, à l'instant <math>\;t</math>, au champ de forces intérieures d'interaction <math>\;_q\;</math><ref name="interaction de type q" /> <math>\;\left( \mathcal{F}_{\text{interact}_q} \right)\;</math> conservatif <math>\;\big(</math>les autres forces intérieures éventuelles ne travaillant pas<math>\big)\Big\}</math>.

== Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus de matière d'expansion tridimensionnelle applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}<u>Dans le cas général d'un système continu fermé de matière</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, ce dernier n'étant <u>ni isolé, ni pseudo-isolé</u>, son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen et par suite <u>le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Notion_de_référentiel_barycentrique_(ou_du_centre_de_masse)_d'un_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle|notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <u>du système n'est pas galiléen</u> ; 

{{Al|5}}on en déduit qu'<u>a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne</u> des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle <u>ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique</u> du système, 

{{Al|5}}le fait que le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> soit en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement élémentaire appliquée sur chaque pseudo-point <math>\;M\, \left[ dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système {{Nobr|«<math>\;d \vec{f}_{\text{in. e},\,M}(t)</math>}} <math>= -\mu(M)\;\vec{a}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="pseudo-force d'inertie d'entraînement de translation"> Voir le paragraphe « pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Dynamique_du_point_matériel_dans_un_référentiel_non_galiléen#Cas_d'un_référentiel_d'entraînement_en_translation_relativement_au_référentiel_absolu_galiléen|cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref> pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> dans la mesure où ce dernier est non galiléen<ref> La forme de tous ces théorèmes est exposée, dans le cas où le système est réduit à un point matériel <math>\;\big(</math>mais la généralisation à un pseudo-point se devine aisément<math>\big)\;</math> dans le chap.<math>2</math> intitulé « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Dynamique_du_point_matériel_dans_un_référentiel_non_galiléen|Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen]] » de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref>, toutefois <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}<u>Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> d'un système continu fermé de matière ni isolé, ni pseudo-isolé, d'expansion tridimensionnelle c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système<ref name="théorème du moment cinétique vectoriel par rapport à G"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_en_G_(centre_d'inertie_du_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle)_dans_le_référentiel_d'étude|théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle) dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, voir ci-après.

=== Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel ===

==== Énoncé et démonstration ====

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle avec son C.D.I. G pour origine d'évaluation des moments des forces dans son référentiel barycentrique a priori non galiléen|contenu={{Al|5}}Dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> du système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> avec un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments de forces le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\;G\;</math> appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, au système «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique barycentrique de ce dernier au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»<ref name="moment cinétique barycentrique vectoriel indépendant de l'origine"> On rappelle que le moment cinétique barycentrique vectoriel ne dépend pas de l'origine d'évaluation de ce moment <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_barycentrique_vectoriel_du_système_continu_fermé_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_évalué_en_un_point_O_quelconque|moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique barycentrique vectoriel indépendant de l'origine" /> dans le référentiel barycentrique<ref name="référentiel barycentrique" /> a priori <u>non galiléen</u>, <br>la seule condition d'applicabilité de ce théorème étant que le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit galiléen.</center>}}
{{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant galiléen, on peut appliquer au système continu fermé de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}(M)\;</math> le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<ref name="théorème du moment cinétique vectoriel par rapport à G" />, avec</center> 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\;G\;</math> appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>» le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par rapport à <math>\;G\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on applique le {{1er}} théorème de Kœnig<ref name="Kœnig" /> au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude<ref name="1er théorème de Kœnig"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Énoncé|énoncé]] (du {{1er}} théorème de Kœnig) » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;\vec{\sigma}_{O}\!(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t) + \overrightarrow{OG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t),\;\;\forall\;O</math>» soit, en prenant <math>\;O\;</math> en <math>\;G</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_{G}\!(\text{syst},\,t) = \vec{\sigma}^{\,*}\!(\text{syst},\,t)\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}«<math>\;\left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!G}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}}\!(t) = \left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}^{*}}\!(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre<math>\big]\;</math> d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \left[ \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt} \right]_{/\,\mathcal{R}^{*}}\!(t)\;</math>» ou simplement «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» R.Q.F.D<ref name="R.Q.F.D." />. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.

==== Cas particuliers ====

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Il y a <u>conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel</u> d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle à savoir «<math>\;\overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="moment cinétique barycentrique vectoriel indépendant de l'origine" /> <br>{{Al|10}}<u>si le vecteur moment résultant dynamique</u> appliqué au système par rapport à <math>\;G</math>, C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système, <u>est nul à tout instant</u> <math>\;t\;</math> c'est-à-dire si «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>», <br>{{Al|10}}cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel barycentrique {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" />}} a priori non galiléen, le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant, quant à lui, galiléen soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» dans lequel la nullité du {{1er}} membre conduit à celle du 2<sup>ème</sup> membre c'est-à-dire à {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)</math>}} <math>= \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\overrightarrow{\sigma^{*}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t</math>».

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est <u>en rotation autour de</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <u>de direction fixe</u> orientée par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> et passant par <math>\;G</math>, on peut déduire <br>{{Al|10}}du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> a priori non galiléen, le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant, quant à lui, galiléen, <br>{{Al|10}}le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> a priori non galiléen, <br>{{Al|10}}en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma^{*}}\!\left( \text{syst} \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}  \right]}{dt}(t)\;</math>», <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces<ref name="moment scalaire de force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Rappel_de_la_définition_d'un_moment_scalaire_de_force_à_partir_du_moment_vectoriel_de_celle-ci|rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et du moment cinétique scalaire<ref name="moment cinétique scalaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_par_rapport_à_un_axe_Δ|moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \dfrac{d \sigma_{\Delta_G}^{\,*}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» avec <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> du système, <br><math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> étant a priori non galiléen, le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant, quant à lui, galiléen ;</center>
{{Al|10}}le système étant en rotation autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe, on peut écrire «<math>\;\sigma_{\Delta_G}^{\,*}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math> le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> du système » et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_continu_de_matière#Moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_de_matière_d'expansion_tridimensionnelle_par_rapport_à_un_axe_Δ|moment cinétique scalaire du système du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ]] (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big[J_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math> étant une constante<math>\big]\;</math> soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> du système, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» avec <br><math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> axe de rotation fixe dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> a priori non galiléen, <br>le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> étant, quant à lui, galiléen ;</center>
{{Al|10}}si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> du système, avec le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, <center><u>la conservation de la vitesse angulaire instantanée de rotation</u> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> <u>du système autour de l'axe</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <u>fixe dans le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" /> <br>soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \text{cste},\;\;\forall\;t\;</math>», le système étant donc en <u>rotation uniforme</u> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique" />.</center>

== Notes et références ==

<references/>

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  | idfaculté = physique
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