Voir la source de Calcul avec les nombres complexes/Annexe/Démonstration de la formule d'Euler

{{Annexe
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 13
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}

Le but de cette leçon annexe est, sans réellement la démontrer, de donner quelques explications sur la formule d'Euler admise dans le cours, avec les connaissances d'un niveau de Terminale S. 

Cette leçon est aussi l’occasion d'aller un peu plus loin dans le cours et ainsi d’aborder la dérivée (à valeurs complexes) d'une fonction <math>f:\R\to\Complex</math>, associant à un réel un complexe.

{{Prérequis
| idfaculté = mathématiques
| sujet = Équation différentielle y' = ky
| cours =Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
|}}

== Préliminaires ==
=== Formule d'Euler ===
{{Définition
 | titre = Formule d'Euler
 | contenu ={{Wikipédia|Formule d'Euler}}
Dans le plan complexe, la formule d'Euler relie l'exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus :
:<math>\forall t \in \R\quad\mathrm e^{\mathrm it}=\cos t+\mathrm i\sin t</math>.
Ainsi dans ce même plan, <math>\mathrm e^{\mathrm it}</math>, quand ''t'' parcourt <math>]-\pi,\pi]</math>, '''décrit un cercle''' : celui de rayon 1 et ayant pour origine le centre du repère, c'est-à-dire le cercle trigonométrique.
}}

=== Fonction du temps  ===
Considérons la fonction <math>\forall t \in \R\quad f(t)=\cos t+\mathrm i\sin t</math>.
Elle associe à tout ''t'' un point du cercle trigonométrique.


Les fonctions que l’on avait l'habitude de voir étaient de la forme <math>y = f(x)</math>, ainsi on associait à chaque abscisse une ordonnée.

Ce nouveau type de fonction peut être mis en relation avec les courbes dites ''paramétrées'' : '''on associe à chaque instant ''t'' un point''' (avec une abscisse et une ordonnée), c'est-à-dire que l’on a deux fonctions qui varient au fil du temps.


Notre fonction ''f'' renvoie un nombre sous la forme <math>x+\mathrm iy</math>. On peut donc associer à chaque instant ''t'' un point dans le plan complexe d'affixe <math>f(t) = \cos t+\mathrm i\sin t</math>.

=== Fonction vectorielle  ===
On peut considérer que les fonctions qui renvoient un nombre complexe renvoient en fait l'affixe d'un vecteur qui, s'il est non nul, a un module et un argument.

La fonction en question, ''f'', est plutôt simple, car le module est 1 et l'argument le même que ''t''.

=== Notion de dérivée complexe  ===
La dérivée de ''f'' est aussi une fonction qui retourne un nombre complexe, et se calcule avec les mêmes méthodes que d'habitude.

''f'''(''t'') fournit '''des informations sur le déplacement du point''' d'affixe ''f''(''t'') en fonction de ''t'' : la direction, le sens et la norme.
Ces trois informations sont regroupées dans le vecteur d'affixe ''f'''(''t'') avec le module et l'argument, si le vecteur n’est pas nul.

== Démonstration et explications  ==
=== Dérivée de la fonction ===
<math>\forall t\in\R\quad f(t)=\cos t+\mathrm i\sin t</math>.

Dérivons ''f'' avec les outils habituels : <math>\cos't= -\sin t</math> et <math>\sin't=\cos t</math>.

D'où <math>\forall t \in \R\quad f'(t)=-\sin t+\mathrm i\cos t</math>.

On remarque alors qu'en multipliant ''f'' par '''i''', '''on retrouve ''f'''''' :
<math>\forall t \in \R\quad\mathrm if(t)=\mathrm i(\cos t+\mathrm i\sin t) =\mathrm i\cos t+\mathrm i^2\sin t=-\sin t+\mathrm i\cos t</math>.

Ainsi :
{{Propriété
 | titre = Équation différentielle.
 | contenu = 
On a l'équation différentielle : <math>f'=\mathrm if</math>.
}}
=== Explication géométrique  ===
{|
|-
| 
* La direction du vecteur vitesse d'un point qui tourne uniformément sur un cercle est '''perpendiculaire''' à la droite entre le point et le centre du cercle en question, au point en question.
 || 
[[Fichier:TournerAutourCercleVecteurVitesse.gif|frame|Un point qui tourne uniformément sur un cercle, et son vecteur vitesse instantanée.]]
|}
{|
|-
| 
* On sait que <math>\arg(\mathrm  i) = \frac{\pi}2\pmod{2\pi}</math> et <math>|\mathrm i|=1</math>.<br />D'après la multiplication complexe, <math>\forall z \in \Complex\quad\arg(\mathrm  iz)=\frac{\pi}2+\arg(z)\pmod{2\pi}</math> et <math>|\mathrm iz| = |z|</math>.<br />Le point d'affixe ''z'' a donc subi '''une rotation d'angle droit''' orienté <math>\frac{\pi}2</math> et de centre O (le centre du repère).
|| 
[[Fichier:NombreComplexe_MultiplicationImaginaire.png|frame|La multiplication par le nombre imaginaire i d'un nombre complexe quelconque.]]
|}

Ainsi, on peut faire la relation entre <math>f'(t)=\mathrm if(t)</math> et le vecteur vitesse d'un objet qui tourne régulièrement sur le cercle trigonométrique (cf. animation).

[[Fichier:NombreComplexe_FormuleEulerDerivéeCercle2.gif|frame|Explication géométrique de l'équation différentielle.]]
{{Clr}}

=== Résolution de l'équation différentielle dans le cas général  ===
L'équation différentielle <math>y'=ky</math> se résout avec la [[fonction exponentielle]]. Cette résolution fait partie du cours de Terminale S.

Plus précisément : lorsque ''k'' est un réel, l'unique fonction ''g'' telle que <math>g'=kg</math> et <math>g(0)=1</math> est donnée par <math>\forall t \in \R\quad g(t) =\mathrm e^{kt}</math>.

Pour ''k'' = 1, cela constitue une définition de la fonction exponentielle. Pour ''k'' un réel quelconque, on peut alors vérifier en dérivant ''g'' : <math>g'(t) = k\operatorname e^{kt}=kg(t)</math>.

=== Résolution de notre équation différentielle  ===
On va admettre ici le passage de ''k'' à un complexe (en l’occurrence le nombre imaginaire '''i''') :
{{Définition|titre=Théorème (admis) et définition|contenu=Il existe une unique fonction dérivable <math>g:\R\to\Complex</math> telle que <math>g'=\mathrm ig</math> et <math>g(0)=1</math>. Cette fonction est notée <math>g(t)=\operatorname e^{\mathrm it}</math>.
}}

C'est l'unicité de cette fonction <math>g</math> qui est admise et donne un sens à la définition et à la notation <math>\operatorname e^{\mathrm it}</math>, mais l'existence vient d'être démontrée : la fonction <math>f(t)=\cos t+\mathrm i\sin t</math> est une solution de l'équation différentielle et <math>f(0)=\cos0+\mathrm i\sin0=1</math>. D'où <math>g=f</math>, c'est-à-dire :

{{Propriété
 | titre = Résolution de l'équation différentielle.
 | contenu = 
<math>\forall t\in\R\quad\mathrm e^{\mathrm it}=\cos t+\mathrm i\sin t</math>.
}}

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  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}