Voir la source de Application multilinéaire/Formes n-linéaires

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Définitions/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
  | niveau    = 15
}}

Dans ce chapitre, <math>E</math> est un <math>K</math>-espace vectoriel de dimension finie <math>n</math> et <math>e=(e_1,\dots,e_n)</math> une base de <math>E</math>. On note <math>A_n(E,F)</math> l'espace vectoriel des applications <math>n</math>-linéaires alternées de <math>E</math> dans <math>F</math>.
{{Clr}}
{{Définition|contenu=Le déterminant dans la base <math>e</math> d'un <math>n</math>-uplet de vecteurs <math>x=(x_1,\dots,x_n)\in E^n</math>, noté <math>{\det}_e(x)</math>, est le déterminant de sa matrice dans <math>e</math> :

si <math>\forall j\in[\![1,n]\!]\quad x_j=\sum_{i=1}^na_{i,j}e_i</math> alors <math>\mathrm{det}_e(x)=\sum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j),j}</math>.
}}

{{Théorème|titre=Théorème fondamental|contenu=
Pour tout <math>K</math>-espace vectoriel <math>F</math>, l'application linéaire
:<math>A_n(E,F)\to F,\ f\mapsto f(e_1,\dots,e_n)</math>
est un isomorphisme, d'isomorphisme réciproque
:<math>F\to A_n(F,E),\ y\mapsto{\det}_e(\cdot)y</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
Ces deux applications sont clairement linéaires. Montrons que leurs deux composées sont, respectivement, l'application identité de <math>F</math> et celle de <math>A_n(E,F)</math>.
*Soit <math>y\in F</math>. Considérons l'application <math>f:={\det}_e(\cdot)y</math>. Alors, <math>f(e_1,\dots,e_n)={\det}_e(e)y=y</math>.
*Soit maintenant <math>f\in A_n(E,F)</math>. Considérons le vecteur <math>y:=f(e_1,\dots,e_n)</math> et vérifions que <math>f={\det}_e(\cdot)y</math>.
:Pour tout <math>x\in E^n</math>, de matrice <math>(a_{i,j})</math> dans <math>e</math>, on a :
:<math>\begin{align}
f(x)&=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in[[1,n]]^n}\left(\prod_{j=1}^na_{i_j,j}\right)f(e_{i_1},\dots,e_{i_n})\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\prod_{j=1}^na_{\sigma(j),j}\right)f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\prod_{j=1}^na_{\sigma(j),j}\right)\epsilon(\sigma)f(e_1,\dots,e_n)\\
&={\det}_e(x)y.
\end{align}</math>
}}

{{Corollaire|contenu=
L'espace vectoriel <math>A_n(E,K)</math> des formes <math>n</math>-linéaires alternées sur <math>E</math> est une droite vectorielle, de vecteur directeur <math>{\det}_e(\cdot)</math>.
}}

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}}