Voir la source de Application (mathématiques)/Famille

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro=4
  | précédent = [[../Graphe/]]
  | suivant   = [[../Application caractéristique/]]
  | niveau=14
}}

Étant donné un ensemble ''E'' quelconque, nous voulons indicer certains éléments de ''E'', pas forcément avec des [[Nombre entier naturel|entiers naturels]] comme avec les [[w:Suite (mathématiques)|suites]], mais avec les éléments d’un ensemble ''I''. Nous allons donc définir une ''famille'' d'éléments de ''E'' comme une application de ''I'' dans ''E'', ce qui va autoriser, comme pour les suites, à attribuer plusieurs indices à un même élément de ''E''.
{{clr}}

== Définition et exemples ==
{{Définition|contenu={{Wikipédia|Famille (mathématiques)|Famille}}
Soient ''E'' et ''I'' deux ensembles. On appelle '''famille''' d'éléments de ''E'' '''indexée par''' ''I'', toute application de ''I'' dans ''E''. L'ensemble ''I'' s’appelle '''ensemble des indices'''. Si <math>x:i\mapsto x(i)</math> est une famille, on note ''x<sub>i</sub>'' l'image de ''i'' par ''x'' et <math>(x_i)_{i\in I}</math> cette famille.
}}

{{Attention|Une famille n’est pas nécessairement [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|injective]], et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de ''E''.}}

{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
*Si ''I'' est une partie de <math>\N</math>, alors la famille est une suite.
*Si l'ensemble ''I'' est fini, alors la famille est dite finie.
*Si <math>E=\mathcal P(X)</math> pour un certain ensemble ''X'', alors la famille est une famille de parties de ''X''.
*Soient ''E'' un ensemble et ''A'' une partie de ''E''. L'injection <math>\begin{matrix}\iota: & A & \rightarrow & E\\& x & \mapsto & x\end{matrix}</math> est une famille indexée par ''A'' et se note généralement <math>(x)_{x\in A}</math>. Elle est appelée « famille canoniquement associée à la partie ''A'' ».
}}

== Opérations sur les familles  ==
{{Définition|contenu={{Wikipédia|Union (mathématiques)#Union d'une famille d'ensembles|Union d'une famille d'ensembles}}{{Wikipédia|Intersection (mathématiques)#Intersection d'une famille d'ensembles|Intersection d'une famille d'ensembles}}
Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E''. On appelle :
*[[Ensemble (mathématiques)/Opérations#Réunion|réunion]] de la famille <math>(A_i)_{i\in I}</math> l'ensemble <math>\left\{x\in E\mid\exists i\in I\quad x\in A_i\right\}</math>, noté <math>\bigcup_{i\in I}A_i</math>.
*[[Ensemble (mathématiques)/Opérations#Intersection|intersection]] de la famille <math>(A_i)_{i\in I}</math> l'ensemble <math>\left\{x\in E\mid\forall i\in I\quad x\in A_i\right\}</math>, noté <math>\bigcap_{i\in I}A_i</math>.
}}
{{Attention|1=Si <math>I=\varnothing</math> alors l'ensemble <math>\bigcap_{i\in I}A_i</math> n'est pas défini en général (tandis que <math>\bigcup_{i\in I}A_i=\varnothing</math>). Mais dans ce contexte (intersection d'une famille de ''parties d'un ensemble E fixé''), on a convenu, par la définition ci-dessus, que l'intersection d'une famille vide de parties de ''E'' est égale à ''E''.}}

== Changement d'indice  ==
{{Proposition|contenu=
Soient <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E'', et <math>s:J\to I</math> une [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|surjection]]. Alors :
*<math>\bigcup_{j\in J}A_{s(j)}=\bigcup_{i\in I}A_i</math> ;
*<math>\bigcap_{j\in J}A_{s(j)}=\bigcap_{i\in I}A_i</math>.
}}

== Associativité ==
{{Proposition|contenu=
Soient <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E'' et <math>(J_k)_{k\in K}</math> un [[#Recouvrement, partition|recouvrement]] de ''I''. Alors :
*<math>\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{k\in K}\bigcup_{i\in J_k}A_i</math> ;
*<math>\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcap_{k\in K}\bigcap_{i\in J_k}A_i</math>.
}}

== Distributivité ==
{{Proposition|contenu=
Soient <math>(B_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E'' et <math>A</math> une partie de ''E''. Alors :
*<math>A\cap\bigcup_{i\in I}B_i=\bigcup_{i\in I}(A\cap B_i)</math> ;
*<math>A\cup\bigcap_{i\in I}B_i=\bigcap_{i\in I}(A\cup B_i)</math>.
}}

Plus généralement, on a l'égalité <math>\bigcap_{i\in I}{\bigcup_{j\in J_i}{A_{i,j}}}=\bigcup_{f\in\left(\prod_{i\in I}{J_i}\right)}{\bigcap_{i\in I}{A_{i,f(i)}}}</math> (dans laquelle l'inclusion <math>\supset</math> est immédiate mais l'inclusion <math>\subset</math> utilise l'[[w:Axiome du choix|axiome du choix]] si <math>I</math> est infini), ainsi que l'égalité [[#Passage au complémentaire|duale]]<ref>{{Ouvrage|auteur=Robert L. Vaught|titre=Set Theory: An Introduction|numéro d'édition=2|année première édition=1985|éditeur=Birkhäuser|année=2001|url=https://books.google.fr/books?id=sqxKHEwb5FkC&pg=PA21|passage=21}}.</ref>.

== Passage au complémentaire  ==
{{Proposition|titre=Proposition ([[Ensemble (mathématiques)/Propriétés|lois de De Morgan]])|contenu=
Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E''. Alors :
*<math>\complement_E\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}\complement_E A_i</math> ;
*<math>\complement_E\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I} \complement_E A_i</math>.
}}

== Recouvrement, partition  ==
{{Définition|titre=Définition (recouvrement d’un ensemble)|contenu={{Wikipédia|Recouvrement (mathématiques)|Recouvrement}}
Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties d'un ensemble ''E''. On dit que cette famille forme un '''recouvrement''' de ''E'' si la réunion des parties de la famille est égale à ''E'', c'est-à-dire si
<math>\bigcup_{i\in I}A_i=E</math>.
}}

{{Définition|titre=Définition (partition d’un ensemble)|contenu={{Wikipédia|Partition d'un ensemble}}
Soit <math>(A_i)_{i\in I}</math> un recouvrement d'un ensemble ''E''. On dit que cette famille constitue une '''partition''' de ''E'' si ''de plus'' :
*aucune des parties <math>A_i</math> n'est vide ;
*les parties <math>A_i</math> sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire <math>\forall (i, j)\in I^2\quad\left(i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing\right)</math>.
}}

== Image directe et image réciproque  ==
{{Proposition|contenu=
Soient ''E'' et ''F'' deux ensembles, ''f'' une application de ''E'' dans ''F'', <math>(A_i)_{i\in I}</math> une famille de parties de ''E'' et <math>(B_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de ''F''. Alors :
# <math>f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I} f(A_i)</math> ;
# <math>f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset\bigcap_{i\in I} f(A_i)</math> ;
# <math>f^{-1}\left(\bigcup_{j\in J}B_j\right)=\bigcup_{j\in J} f^{-1}(B_j)</math> ;
# <math>f^{-1}\left(\bigcap_{j\in J}B_j\right)=\bigcap_{j\in J} f^{-1}(B_j)</math>.
}}

== Référence ==
{{Références}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Graphe/]]
  | suivant   = [[../Application caractéristique/]]
}}